黃象珊

(浙江經(jīng)濟職業(yè)技術(shù)學院 汽車技術(shù)學院，杭州 310018)

?

基于適應性空間填充曲線生成刀具路徑的技術(shù)研究

黃象珊

(浙江經(jīng)濟職業(yè)技術(shù)學院 汽車技術(shù)學院，杭州 310018)

空間填充曲線還沒有被廣泛應用于五軸數(shù)控系統(tǒng)中，因為在描述標準空間填充曲線樣式時，由于尖角轉(zhuǎn)向會產(chǎn)生很大的誤差。為了消除較大運動誤差和尖角轉(zhuǎn)向的過度切削，將適應性空間填充曲線生成思想融入路徑生成過程中，提出基于適應性的空間填充曲線刀具路徑生成方法，在矩形網(wǎng)格上以最短Hamiltonian軌跡算法為指導來生成填充曲線，達到優(yōu)化適應性填充曲線刀具路徑的目的，通過實例驗證了方法的可行性。

刀具路徑；適應性空間填充曲線；Hamiltonian

0 引言

應用最為廣泛的空間填充曲線(SFC)需要考慮很多因素，包括刀具軌跡設(shè)計的遞歸Hilbert曲線。Hilbert曲線特別具有吸引力的是刀具軌跡設(shè)計，因為它的精細性可以被用于適當?shù)卦黾勇窂降拿芏?。然而，每條基于Hilbert曲線的刀具軌跡的精細性都在精確區(qū)域內(nèi)增加刀具軌跡密度，由于增加了刀具軌跡的長度，從而導致了較低的加工效率。另外，Hilbert曲線還有一個容易使刀具不斷改變方向的特點，這就使得加工過程緩慢而且會引起很大的運動誤差。

為了彌補這些缺陷，本文提出利用適應性空間填充曲線生成刀具路徑的方法。適應性空間填充曲線被用于生成刀具路徑。對其特點描述如下：首先，適應性空間填充曲線總是遵循局部優(yōu)化方向；第二，相對于常規(guī)的SFC，適應性空間填充曲線只在需要時轉(zhuǎn)向，也就是當優(yōu)化方向改變的時候；第三，適應性空間填充曲線消除了較大運動誤差的出現(xiàn)和由于尖角轉(zhuǎn)向而引起的過度切削；最后，適應性空間填充曲線的局部精細化處理以與常規(guī)SFC的實現(xiàn)方式一樣。

適應性空間填充曲線生成的一個問題是以Hamiltonian路徑關(guān)于在(u，v)平面中包括CC點在內(nèi)的網(wǎng)格圖表為例進行精確描述的。運算法則包括三步：構(gòu)造網(wǎng)格、空間填充曲線的生成和更正刀具路徑。

1 空間填充曲線刀具路徑

1.1 填充曲線的描述

空間填充曲線[1-2]起源于1878年，George Cantor(1845—1918)證明了空間任意有限維的任何兩個光滑流形具有相同的基數(shù)。Cantor的發(fā)現(xiàn)表明了單位線段[0，1]可以被雙射到單位正方形[0，1]2上。然而1879年，Eugen Netto(1848—1919)證明了這種映射必須是不連續(xù)的，不能稱之為曲線。如果不滿足這個雙射條件，Giuseppe Peano(1858—1932)在1890年發(fā)現(xiàn)了一個區(qū)間到平面的映射。這是空間填充曲線的第一例子，如圖1所示；后來更多的例子被Hilbert(1891年，如圖2所示)。

圖1 Peano空間填充曲線的3次迭代

圖2 Hilbert空間曲線的6次迭代

1.2 空間填充曲線刀具路徑生成

當確定好填充曲線的類型后，根據(jù)加工質(zhì)量的要求，選擇合適的填充曲線的階次，經(jīng)過干涉處理后 ，便可作為加工刀具的走刀路徑。

2 空間填充曲線刀具路徑生成

2.1 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造

圖3所示為由兩個等參數(shù)刀具路徑疊加而得的網(wǎng)格[3-4]m×n。等參數(shù)路徑的生成是通過計算最小刀具軌跡間隔并將其作為下一個刀具路徑的連續(xù)偏移。刀具路徑間隔依賴于局部表面形狀、切削刀具的形狀和尺寸以及允許的皺褶高度。此外，兩個相鄰切削刀具路徑的加工帶寬度必須重疊，以保證加工表面的誤差(皺褶高度)在公差范圍內(nèi)。此外，網(wǎng)格被看作是一個每兩個相鄰頂點都用邊緣線連接起來的無向圖，如圖3d所示。圖的頂點相當于最初的一系列在必需平面上的CC點，而兩個相連接頂點間的距離就是在三維空間R3內(nèi)對應的CC點之間的距離。注意切削刀具沿著在任意兩個相連接頂點之間的路徑滿足皺褶深度約束。這個特征允許依靠空間填充曲線來優(yōu)化刀具路徑。

(a)在V方向上的等參數(shù)刀具路徑(b)在u方向上的等參數(shù)刀具路徑(c)兩個等參數(shù)刀具路徑的迭代(d)最終的網(wǎng)格圖3 兩個等參數(shù)刀具路徑疊加而得的網(wǎng)絡(luò)

2.2 空間填充曲線刀具路徑的生成

2.2.1 Hamiltonian回路形成原因

網(wǎng)格構(gòu)造被看作是Hamiltonian路徑問題來確切描述的。找一條距離很短的路徑只不過是個旅問題。既然這是個NP-hard問題，尋找最優(yōu)化方案的算法求解較慢且效率低。Hamiltonian軌跡運算是一種簡單且計算效率高的法則，該算法是基于由Dafner等為了二維圖像掃描而開發(fā)的覆蓋合并算法，Hamiltonian軌跡算法被應用擴展到任意矩形網(wǎng)格中[5]。

2.2.2 矩形網(wǎng)格上Hamiltonian路徑的求解算法

算法思路：首先，不相交的回路經(jīng)過所有頂點，然后回路被合并為單獨的Hamiltonian回路。最初的回路是由小矩形環(huán)狀軌跡通過相鄰4個頂點連接起來的，然后將偶數(shù)行和列的頂點和奇數(shù)行和列上的頂點連接起來，如圖4a所示。另外，如果m或n是奇數(shù)，則將頂點沿著邊界用短劃線連接成虛線回路，如圖4b所示。相鄰回路可連接一個較大的回路。合并的代價按照下式計算。

Cost(A，B)=∣s∣+∣t∣-∣e∣-∣f∣

其中，∣e∣表示在R3中由邊緣線e連接兩個頂點間的距離。

合并兩個虛線回路的代價設(shè)為-∞，即所有的虛線回路開始時都被連接起來。這樣就保證了刀具路徑從Hamiltonian軌跡移除虛線邊后依然是連續(xù)的。而且，實線回路A可與一個虛線回路D合并，僅當A與位于相反方向的實線回路C合并時。為了實現(xiàn)這個合并屬性，將A與D的合并代價等于A與C的合并代價。這個合并屬性被用于減少沿著邊界有大量拐點的不合適的狹窄的之字形刀具路徑生成的可能性。

對偶圖G′首先被構(gòu)造出來以合并所有小回路，如圖4b所示。G中的每個小回路在G′中都定義了一個頂點，而且G中連接A與B兩個小回路的兩條邊s和t在G′中也定義了一個邊v′。

(a)被初始回路覆蓋的無向圖G (b)對偶圖G′

如圖5所示除了構(gòu)造對應的最小生成樹之外，還闡明了合并算法[6-7]。在所有回路都被合并為Hamiltonian回路后，通過移除所有回路邊緣而生成了刀具軌跡，具體如圖5c所示。令T為一系列邊緣最小生成樹，合并算法如下。

1)設(shè)T=φ，將G′的邊按合并代價以升序排序。如果出現(xiàn)一個結(jié)，將連接兩個頂點的邊排在前面。

2)考慮第一個未通過的邊線。將其包括在T中，當且僅當它其他T的邊在對偶圖G′中沒形成回路，且也不違背合并屬性。

3)若邊放入T中，合并G中的兩個回路，其相當于用新增加的邊連接G′中的兩個頂點，然后進入第4步，否則返回第2步。

4)如果T包括n-1條邊(其中n代表G′中頂點的數(shù)量)，停止并輸出Hamiltonian回路的結(jié)果，否則返回到第2步。

2.2.3 刀具路徑更正

按照上面的步驟生成的刀具路徑還有兩方面需要修改[8-9]：第一，刀具路徑的軌跡應該被修改以消除底切；第二，當?shù)毒吒淖兎较驎r，刀具方向也要作仔細調(diào)整。

刀具路徑的調(diào)整是必要的，因為當?shù)毒吒淖兎较驎r，空間填充曲線刀具路徑上的轉(zhuǎn)向會致使刀具錯過某些加工表面區(qū)域。在每一個轉(zhuǎn)向處，兩條相鄰刀具路徑沿不同方向切削形成的切削帶不會重疊而形成底切，或重疊部分不足而產(chǎn)生了很明顯的褶皺(如圖6所示)。

(a)通過小回路合并構(gòu)造的Hamiltonian回路(b)最小生成樹 (c)生成的刀具軌跡圖5 刀具軌跡的生成

圖6 在相鄰刀具路徑上通過使用空間填充曲線生成的加工帶(短畫線)

3 舉例應用

一個曲面控制頂點給出，要求加工表面公差h=0.01mm ，用半徑R=3mm 的平頭刀進行加工，應用上述算法實現(xiàn)的刀具路徑結(jié)果。

例： 如圖7所示，一個三次Bezier表面，既有凸形區(qū)域又有凹形區(qū)域。這個表面被描述為：

(a)例子中表面在(u，v)區(qū)域兩個等參數(shù)刀具路徑的重疊

其中，Px，Py，Pz是16個控制點的x，y，z坐標。利用重疊兩個等參數(shù)軌跡構(gòu)造的網(wǎng)格如圖7所示。刀具軌跡的結(jié)果如圖8和圖9所示。刀具軌跡更正用于切削加工前、后的加工結(jié)果，如圖10和圖11所示。很明顯，在保證表面質(zhì)量的同時，這種方法能將未被移除的多余材料去除。表1所示為就刀具軌跡長度而言，空間填充曲線(SFC)刀具路徑對等參數(shù)刀具路徑的情況。

(a)例子中表面在(u，v)區(qū)域中的SFC刀具路徑(b)例子中的表面在工件坐標系中的SFC刀具路徑圖8 對于例子中的表面在(u，v)區(qū)域和工件坐標系中的SFC刀具路徑

圖9 對于例子中刀具路徑的合并和不合并的情況(a)例子中刀具路徑的合并情況(b)例子中刀具路徑的不合并情況

刀具路徑刀具軌跡長度/mm例在v方向上的等參數(shù)3917．31在u方向上的等參數(shù)2648．12SFC刀具路徑2637．54

總之例如加工一個像以上例子中的簡單表面，不需要很多帶有銳角變化的拐點。因此，相應的SFC刀具軌跡無論是從刀具軌跡長度方面還是加工時間方面都比常規(guī)的等參數(shù)刀具軌跡要好。但是對于復雜形狀的表面，當角速度未被約束時，尖角拐點會減緩加工進程。對于這樣的表面，SFC方法更適用于有高速旋轉(zhuǎn)軸的銑床上。

圖10 應用沒修正過的SFC刀具路徑的實際加工 圖11 應用修正過的SFC刀具路徑的實際加工

4 結(jié)論

在參數(shù)線法刀具路徑生成的基礎(chǔ)上結(jié)合適應性空間填充曲線生成思想，提出適應性填充曲線刀具路徑成方法[10]；以加工要求為指導生成，兩方向上的參數(shù)線路徑，然后疊加形成網(wǎng)格，在Hamiltonian路徑生成算法的引導下，完成網(wǎng)格的依次連接，最后在網(wǎng)上自然的呈現(xiàn)出適應性空間填充曲線路徑，該路徑即為適應性空間填充曲線刀具路徑；通過實例應用，證實所提出方法的可行性及設(shè)計算法的正確性。

[1] 趙玉剛，李偉，郭峰,等. 基于Cox-de Boor 遞推的任意次NURBS曲線插補算法的研究與仿真[J].組合機床與自動化加工技術(shù)，2012(6):45-49.

[2] Sagan,H.(1994). Space-Filling Curves. Springer-Verlag, New York.

[3] 何晶晶，夏銘，黃志勇. 三次樣條曲線回轉(zhuǎn)的車削加工[J].組合機床與自動化加工技術(shù).2011(4):106-109.

[4] 周永情，李德明，孫軍偉. 自由曲線輪廓數(shù)控加工路徑生成及加工[J]. 組合機床與自動化加工技術(shù).2011(4):94-97.

[5] 馬哈諾夫，安諾泰派布.五軸數(shù)控銑床切削加工先進數(shù)值優(yōu)化方法[M].北京：機械工業(yè)出版社，2013.

[6] 淡卜綢，李德信.基于Hilbert填充曲線的自由曲面刀具路徑規(guī)劃研究[J]. 機械設(shè)計與制造,2010(12)：233-236

[7] 周濟，周艷紅.數(shù)控加工技術(shù)[M]. 北京：國防工業(yè)出版社，2002.

[8] 張文博. 基于填充曲線的曲面數(shù)控刀具軌跡自動生成算法研究[D].長春：長春理工大學，2006.

[9] 叢萌.數(shù)控刀具軌跡自動生成技術(shù)的研究[D]長春：長春理工大學，2004.

[10] 淡卜綢，趙亞寧，魯開講. 基于參數(shù)線法的填充曲線刀具路徑生成方法研究[J].機械設(shè)計與制造,2010(12)：230-232.

(編輯 李秀敏)

Research of Technology Tool Path Based on the Adaptability Space Filling Curve Comes into being Cutter Route′s

HUANG Xiang-shan

(College of Automotive Technical ，Zhejiang Technology Institute of Economy，Hangzhou 310018，China)

Space- filling curve， not having a quilt broad apply to among the five scrolls of numerical control system, when because of the form filling up a curve in the space describing a standard since that's the point angle gets lost may produce very big error. For removing excessive cutting that motion error and the point angle change to more, the curve come into being thought adaptability space is filled up melts to enter route come into being process middle , suggests that method comes to generate the filling curve being guided by the shortest Hamiltonian trajectory algorithm owing to that the adaptability space fills up the curve cutter route come into being on rectangle net lattice , reaches the purpose optimizing adaptability filling up curve cutter route , the feasibility by the fact that the example has verified method .

the tool path；adaptability space- filling curve；hamiltonian

1001-2265(2014)01-0053-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.015

2013-04-21;

2013-05-30

黃象珊(1976—)，男，浙江溫州人，浙江經(jīng)濟職業(yè)技術(shù)學院講師，工學碩士，主要從事機電一體化方面教學與研究，(E-mail)hxshan98@163.com。

TH162;TG71

A