于 夫

（92941部隊96分隊 葫蘆島 125000）

1 Petri網(wǎng)簡介

Petri網(wǎng)的概念最早在1962年Carl Adam Petri的博士論文中提出來。Petri的工作引起了歐美學(xué)術(shù)界與工業(yè)界的注意。1970年～1975年，MIT的計算結(jié)構(gòu)研究小組積極參與Petri網(wǎng)相關(guān)的研究。到現(xiàn)在已出版了包括高級網(wǎng)在內(nèi)的許多Petri網(wǎng)專著［1］。

這里首先引出Petri網(wǎng)的一般概念：

定義1 當(dāng)一個三元組N＝（S，T；F）是一個Petri網(wǎng)if（當(dāng)且僅當(dāng)）：

1）S∪T≠φ（網(wǎng)非空）；

2）S∩T≠φ（二元性）；

3）F?（S×T）∪（T×S）（流關(guān)系僅在S與T的元素之間）；

4）dom（F）∪cod（F）＝S∪T（沒有孤立元素）。

在網(wǎng)中，F(xiàn)的元素叫弧，dom（F）＝｛x｜?y：（x，y）∈F｝，cod（F）＝｛x｜?y：（y，x）∈F｝。

在圖形上，S元素用一個圓圈表示，代表位置；T元素用一個四方形或者長方形表示，但常常為了節(jié)省空間，僅用一段黑線表示。在X元素之間的流關(guān)系由帶箭頭的弧表示，其方法如下：

定義2 隨機Petri網(wǎng)SPN（stochastic Petri net）

近年來，人們以各種方式把時間引入Petri網(wǎng)，其中常見的有兩種引入方式：一是每個位置相關(guān)聯(lián)一個時間參數(shù)；二是每個變遷相關(guān)聯(lián)一個時間參數(shù)。另外一種在Petri網(wǎng)中引入時間參數(shù)的方法是：在每個變遷的可實施與實施之間聯(lián)系一個隨機的延遲時間，這種類型的Petri網(wǎng)叫做隨機Petri網(wǎng)。

給Petri網(wǎng)的每個變遷相關(guān)聯(lián)一個實施速率（firing rate），得到的模型就是SPN［2］。

在連續(xù)時間隨機Petri網(wǎng)中，一個變遷從可實施到實施需要延時，即從一個變遷t變成可實施的時刻到它實施時刻之間被看成是一個連續(xù)隨機變量xi（取正實數(shù)值），且服從于一個分布函數(shù)：

在不同類型的連續(xù)時間隨機網(wǎng)中，這個分布函數(shù)的定義是不一樣的。當(dāng)相關(guān)于每個變遷的分布函數(shù)定義成一個指數(shù)分布函數(shù)：

其中實參數(shù)λt＞0是變遷t的平均實施速率，變量x≥0?？勺C明：

1）兩個變遷在同一時刻實施的概率為零；

2）SPN的可達圖同構(gòu)于一個齊次 MC，因而可用馬爾可夫隨過程求解。

指數(shù)分布是滿足馬爾可夫特性的連續(xù)隨機變量的惟一分布函數(shù)。因此，要想把馬爾可夫隨機過程應(yīng)用于SPN的可達圖，每個變遷的延時服從于指數(shù)分布是充要條件。

2 運用SPN分析登陸作戰(zhàn)中協(xié)同通信系統(tǒng)性能的可能性

對于登陸作戰(zhàn)而言，參加作戰(zhàn)的陸、海、空三軍及二炮部隊均需得到各方的協(xié)同；又因登陸作戰(zhàn)中敵防御前沿支撐點多，高技術(shù)兵器多，可以認為：在登陸作戰(zhàn)中，各軍兵種必然和多個方向建立協(xié)同通信，并且協(xié)同通信呼叫率是相當(dāng)大的［3］。而對有大量用戶所形成的呼叫流來說，它們所形成的呼叫流可以看成是一個無后效流，一般大數(shù)量的獨立信源的來話呼叫可認為是一種泊松呼叫流，即在時間長度t內(nèi)，恰好發(fā)生k次呼叫的概率服從泊松分布：

式中λ為平均到達率，即隨機變量的數(shù)學(xué)期望。

由上式不難求出在t秒內(nèi)k次或大于k次呼叫的概率：

因此，在t時間內(nèi)沒有發(fā)生呼叫（k＝0）的概率為p0（λt）＝e－λt。因此，不難求出呼叫之間的時間間隔的概率分布F（t）。按照隨機變量分布函數(shù)的定義，F(xiàn)（t）等于呼叫間隔η小于給定值t的概率，即在時間長度t內(nèi)發(fā)生一個或一個以上呼叫的概率，所以有：

可見，在泊松流情況下，呼叫時間間隔的分布為指數(shù)分布。因此，協(xié)同通信系統(tǒng)的呼叫流服從指數(shù)分布，可以用馬爾可夫鏈等效SPN可達圖來分析系統(tǒng)性能［4］。

3 SPN建模分析

SPN應(yīng)用在系統(tǒng)模型的性能分析中分為三步：

1）給出系統(tǒng)的一個SPN模型；

2）構(gòu)造出該SPN所同構(gòu)的MC；

3）基于MC的穩(wěn)定狀態(tài)概率進行所要求的系統(tǒng)性能分析。

下面用SPN理論來分析登陸作戰(zhàn)中集團軍利用協(xié)同通信分隊組成此網(wǎng)的時延情況。

集團軍內(nèi)各作戰(zhàn)群在作戰(zhàn)過程中的協(xié)同通信決策過程如圖1所示。

根據(jù)以上分析，建立如圖2所示的Petri網(wǎng)：

圖中○表示位置，用P表示，｜代表事件發(fā)生的條件，→表示變遷，用t表示，代表事件的發(fā)生。

圖2 基于Petri網(wǎng)的協(xié)同通信決策流程圖

圖中共有11個位置和14個變遷，為了表示協(xié)同通信動作的重復(fù)性，在變遷t13和位置P1，變遷t14和位置P1之間通過有向弧進行連接，分別表示各兵種間協(xié)同和軍種間協(xié)同。變遷的實施速率λ表示在可實施的情況下單位時間內(nèi)平均實施次數(shù)，在各次變遷中是不同的，根據(jù)作戰(zhàn)實際情況，其平均實施速率集為λ＝（11111111212111）在初始位置P1有標(biāo)識，如圖示（即有敵情需協(xié)同作戰(zhàn)），初始狀態(tài)M1＝（10000000000），由M1出發(fā)經(jīng)不同的變遷可得如下Petri網(wǎng)狀態(tài)：

等效于如圖3所示馬爾可夫鏈。

圖3 馬爾可夫鏈

根據(jù)以上所得，可以列n＋1個齊次方程，含有n（n＝16）個未知變量，加上∑ixi＝1，即可求出每個可達標(biāo)識的穩(wěn)定概率：

由穩(wěn)定狀態(tài)下流量關(guān)系的Little公式ˉN＝ˉλˉT，ˉT為t1的平均發(fā)射時間，它是平均發(fā)射率的倒數(shù)，即ˉT＝1／λ＝1，ˉλ表示通過t1的平均流量，于是ˉλ＝0.1076。我們可以利用Little規(guī)則和平衡原理，計算非零回歸的MC，子系統(tǒng)的流入流出速率應(yīng)該平衡（相等）。根據(jù)Petri網(wǎng)性質(zhì)，t1一旦發(fā)射，它將向P2、P3、P4各輸出一個標(biāo)識，故t1－t14之間的總流量是＝3＝0.3228。

子系統(tǒng)的平均延時時間為

在作戰(zhàn)忙時（搶灘上陸和建立登陸場），由于各種障礙物及火力點眾多，加之?dāng)硰娬{(diào)先制與反制作戰(zhàn)，敵必然將各類兵力、兵器靠前配置并大量集中使用于此階段，戰(zhàn)役任務(wù)將極為艱巨，作戰(zhàn)協(xié)同任務(wù)繁重，一梯隊集團軍內(nèi)各單位呼叫協(xié)同及集團軍向各軍種呼叫協(xié)同率合計約為200次／小時，即λ＝3.33（次／分鐘），平均每次呼叫間隔18s，各協(xié)同通信分隊發(fā)出協(xié)同通信信息需要的時間為2個單位時間，整個協(xié)同通信系統(tǒng)的期望時延為18×2×5.75＝207s＝3.45min。

在穩(wěn)定狀態(tài)下，每個位置中所包含的標(biāo)記數(shù)量的概率，對?s∈S，?i∈N，令P［M（s）＝i］表示位置s中包含i個標(biāo)記的概率，即可從標(biāo)識的穩(wěn)定概率求得位置s的標(biāo)記概率密度函數(shù)如下

其中Mj∈［M0］，且Mj（s）＝i。

由此可求出子系統(tǒng)位置集所含的平均標(biāo)記數(shù)：

4 結(jié)語

由上文SPN分析可知，登陸作戰(zhàn)中集團軍內(nèi)部組織協(xié)同通信網(wǎng)，協(xié)同動作的延時時間約為3.45min，比傳統(tǒng)的作戰(zhàn)協(xié)同通信具有更高的效率，能夠更有效地保證大型島嶼聯(lián)合進攻作戰(zhàn)的協(xié)同。本文對登陸作戰(zhàn)中協(xié)同通信研究有一定借鑒意義。

［1］林闖.隨機Petri網(wǎng)和系統(tǒng)性能評價［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2000：302－311.

［2］高東華.登陸作戰(zhàn)中電子對抗戰(zhàn)術(shù)運用［C］／／趙利德主編.98煙臺學(xué)術(shù)研討會論文集.北京：中國人民解放軍射擊學(xué)會，1998：96－99.

［3］魏碧海.海南島戰(zhàn)役渡海登陸作戰(zhàn)的歷史經(jīng)驗與思考［J］.軍事歷史，2001：33－35.

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