王莉萍， 周宗福

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601)

0 引言

微分系統(tǒng)的周期解一直是人們非常關(guān)注的問題，對(duì)于通常的微分系統(tǒng)，其周期解問題已被廣泛地研究，而對(duì)于退化微分系統(tǒng)(也稱廣義微分系統(tǒng))，目前周期解方面的結(jié)果不多．文獻(xiàn)[1]利用不動(dòng)點(diǎn)定理分析了一類退化中立型微分系統(tǒng)的周期解存在性．文獻(xiàn)[2]研究了一類指標(biāo)為1(參見[3])的具分布時(shí)滯的退化微分系統(tǒng)的周期解問題．關(guān)于指標(biāo)為2情形的周期解問題研究，目前尚不多見，本文將對(duì)這一問題進(jìn)行研究．

本文研究如下形式的具分布時(shí)滯的退化微分系統(tǒng)的周期解的存在性，其中x∈Rn，r＞0為常數(shù)，E，A∈ Rn×n，f∈ C1(R ×[－ r，0]× Rn，Rn)且 f(t+T，s，x)=f(t，s，t)，T ＞ 0 為常數(shù)，r(E)＜ n 矩陣對(duì)[E，A]正則且指標(biāo)為2．

1 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化及預(yù)備知識(shí)

在系統(tǒng)(1)中，由于[E，A]正則且指標(biāo)為2，由文獻(xiàn)[4]存在可逆矩陣 P，Q ∈ Rn×n，使得

其中 I1，I2分別為 n1，n2階單位陣，A1∈ Rn1×n1，N ∈Rn2×n2，且 N ≠ 0，N2=0，n1+n2=n．

對(duì)系統(tǒng)(1)作變換x(t)=Py(t)(且方程兩邊左乘Q)，則系統(tǒng)(1)即被化為

其中，

易知 f1(t，s，y)，f2(t，s，y)關(guān) t是 T 周期的，且 f1∈C2(R ×[－ r，0]× Rn，Rn)，f2∈ C2(R ×[－ r，0]×Rn，Rn2)．

于是，討論系統(tǒng)(1)的T周期解存在問題就轉(zhuǎn)化為討論系統(tǒng)(2)的T周期解存在問題．

引理1[2]設(shè) y∈ C(R，Rn)(并不要求 y可微)，則∫0－rf2(t，s，y(t+s))ds可微，且

證明 證明比較顯然，略去．

下面主要討論系統(tǒng)(4)的T周期解存在性．

定義1[5]對(duì)矩陣A∈Rn×n，定義矩陣測(cè)度

考慮線性系統(tǒng)

其中 A1∈ Rn1×n1，g:R → Rn1連續(xù)，且 g(t+T)=g(t)，T ＞ 0．

引理3[5]設(shè)Y(t)為(5)的基解矩陣，則

引理4[5]如果 μ(A1)＜0，則系統(tǒng)(6)存在唯一的T周期解

引理5[6](Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理)

設(shè)K為Banach空間X中的一個(gè)有界閉凸集，映射F:K→K及G:K→K滿足:

(i)?u，v∈ K，F(xiàn)u+Gv∈ K;

(ii)F為全連續(xù)的，G為壓縮的，則F+G在K上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

2 主要結(jié)果

記 E=C(R，Rn)，設(shè)

CT={u∈ E:u(t+T)=u(t)，t∈ R}

定理1 對(duì)于系統(tǒng)，假設(shè)

且

2(‖N‖ +r)L1+r‖N‖(L2+L3)＜1

其中 k=eμ(A1)T

Ω ={(t，s，u)∈Rn+2，0≤t≤T，－r≤s≤0，|u|≤M}則系統(tǒng)(4)存在連續(xù)的T周期解．

任取u∈CT，考慮周期系統(tǒng)

其中

由引理4，系統(tǒng)(9)有唯一的T周期解

定義從CT到CT的算子F及G如下:

則算子F+G的不動(dòng)點(diǎn)就是系統(tǒng)(4)的連續(xù)的T周期解．

令 K={u:u∈CT，‖u‖≤M}，則K為CT中的有界閉凸集．下面證明(1)?u，v∈ K，F(xiàn)u∈ K，Gv∈K，F(xiàn)u+Gv∈K，(2)F在K上全連續(xù)，(3)G在K上為壓縮的．

(1)?u，v∈K由引理3及文獻(xiàn)[6]中的定理1的證明方法可知

所以

從而‖F(xiàn)u+Gv‖≤M，因此Fu+Gv∈K，由上述證明過程可以看出Fu∈K，Gv∈K．

(2)證明F在K上全連續(xù)．即證①F在K上是連續(xù)的;②F在K上是緊的．

①?un，u ∈ K，若

類似(1)的證明過程可得

即有

由于f1(t，s，u)在Ω上一致連續(xù)，可知，當(dāng)時(shí)，所以F在K上是連續(xù)的．

②證明F在K上是緊的．即證FK是列緊的．

由K的定義及FK?K知，F(xiàn)K中的函數(shù)是一致有界的．下證FK是等度連續(xù)的．

由于

可見FK是等度連續(xù)的，由Arael˙a－Ascoli定理可得，F(xiàn)K是列緊的．即得F在K上是緊的．綜上所述，F(xiàn)在K上是全連續(xù)的．

(3)證明G在K上為壓縮的．

?u1，u2∈ K，?t∈[0，T]，由條件(2)可得

即

由于

[(2‖N‖ +r)L1+rL2+rL3]＜1

可知G在K上為壓縮的．于是，由引理5可得，F(xiàn)+G在K上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u*，u*即為系統(tǒng)(4)的T周期解．證畢．

[1] 周宗福，李蕾，王敬豐，胡秀林．一類退化中立型微分系統(tǒng)的周期解[J]．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2006，26A(7):1025－1030．

[2] 周宗福．一類具分布時(shí)滯的退化微分系統(tǒng)的周期解[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)，2005，18(3):476 －483．

[3] Marz R．Some New Results Concerning Index－3 Differential－Algebraic Equations[J]．J．Math．Anal．Appl，1989，140(1):177－199．

[4] 蔣威．退化、時(shí)滯微分系統(tǒng)[M]．合肥:安徽大學(xué)出版社，1998．

[5] 彭世國，朱思銘．具有無窮時(shí)滯泛函微分方程的周期解[J]．?dāng)?shù)學(xué)年刊，2002，23A(3):371 －380．

[6] 周宗福，鄭祖庥．非線性退化時(shí)滯系統(tǒng)的周期解[J]．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2003，23(1):43 －50．