摘 要： 為探究壓電陶瓷驅動器電壓及其頻率與驅動速度的關系，利用壓電陶瓷的應力應變關系導出了位移的二階微分方程。通過解該微分方程，得到了基于輸入電壓的壓電陶瓷驅動器位移和速度的解析表示。利用壓電陶瓷驅動器速度的解析表示，證明了對任何給定的時間，壓電驅動器的速度與輸入電壓的幅值成線性關系；頻率與驅動器速度的關系是一條幅值不斷變化的連續(xù)余弦曲線，隨著給定時間的增大，曲線的峰點逐步遠離縱坐標軸，余弦曲線的頻率也逐步增大。

關鍵詞： 應力?應變關系； 壓電驅動器； 頻率； 輸入電壓

中圖分類號： TN710?34； TQl74 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）13?0113?03

Influence of driving voltage and frequency of piezoelectric actuator on driving speed

AN Kai

（Shandong Aerospace Electro?technology Institute， Yantai 264670， China）

Abstract： In order to research into the problem about the influence of driving voltage and frequency of piezoelectric actuator on driving speed， the stress?strain relationship for piezoelectric ceramics is utilized to derive the second?order difference equation about displacement. By resolving the difference equation， the analytic expressions about displacement and speed of piezoelectric actuator are obtained as functions of input voltage. The analytic expression about speed of piezoelectric actuator shows that for any given time the speed of piezoelectric actuator is directly proportional to the amplitude of input voltage， and the relationship between frequency and the speed of piezoelectric actuator can be described as a consecutive cosine curve with variable amplitude， whose peak will keep away from longitudinal coordinate axis and whose frequency will increase gradually with the increase of given time.

Keywords： stress?strain relationship； piezoelectric actuator； frequency； input voltage

0 引 言

壓電陶瓷是一種可實現(xiàn)機械能與電能互相轉換的功能材料，具有結構簡單、體積小、重量輕、分辨率高等優(yōu)點，作為微操作器驅動中的主流材料，已被廣泛應用于航空、航天飛行器的精密制導、激光陀螺、自適應光學、精密機械加工、自動控制、半導體集成、生物醫(yī)學工程等技術領域[1?4]。壓電陶瓷驅動器的控制通常采用PI或PID控制器[5]。文獻[6]針對含有壓電智能結構的柔性機械臂，提出了基于模糊PID融合控制理論的柔性機械臂振動主動控制方法，搭建了懸臂梁和平面1R、2R柔性機械臂實驗裝置，并設計了相應的控制系統(tǒng)，通過實驗實現(xiàn)了柔性機械臂振動的主動控制。采用Preisach控制模型是壓電陶瓷控制的有效方法之一，但是采樣數(shù)據的不穩(wěn)定性仍然會對控制過程帶來較大的影響和誤差。為進一步提高在實現(xiàn)過程中的定位控制精度及穩(wěn)定性，文獻[7]將積分分離PID控制應用于壓電陶瓷定位過程，達到了預期的控制精度和效果。但由于PI或PID控制器的控制參數(shù)需要進行反復調試才能確定，因此控制器的設計是一項耗時的工作。為縮短控制參數(shù)的調試時間，了解壓電陶瓷驅動器的工作特性，特別是研究驅動電壓對驅動器運行的影響十分必要[8]。

文獻[9]針對一種新型的可直線運動的壓電陶瓷驅動器，通過實驗對其性能進行了測試，給出了驅動電壓及其頻率與驅動器速度的關系曲線。由于曲線都是通過將離散的實驗數(shù)據點連接起來得到的，因此忽略了相鄰兩個數(shù)據點之間頻率與驅動器速度的真實關系以及不連續(xù)點的存在性。其次，由于實驗數(shù)據必然存在的誤差，文獻[9]只是根據顯然不在同一直線上的三個數(shù)據點連成的折線，斷言驅動電壓與驅動器速度基本成線性關系，而未對驅動電壓與驅動器速度成線性關系給出確定的結論。為給出精確的頻率與驅動器速度關系曲線，并確定驅動電壓與驅動器速度的關系，本文將從壓電陶瓷的應力應變關系出發(fā)，導出壓電驅動器位移的微分方程，由此獲得驅動電壓及其頻率與驅動器速度關系的解析表達式，并根據這些表達式研究壓電驅動器電壓及其頻率對驅動速度的影響。

1 壓電片位移的數(shù)學模型

壓電片的坐標如圖1所示，電壓或電場沿[y]軸方向穿過其表面后，在[x]軸方向產生應變和應力，驅動前面的載荷直線運動。應力應變關系為[9]：

[σc=Ecεc-d31Vtc]

其中[σc]是壓電片產生的應力，[Ec]是壓電片的彈性模量；[εc]是壓電片的應變；[d31]是與施加在壓電片上的電場相關的壓電常數(shù)；[V]是沿[y]軸方向施加的電壓；[tc]為壓電片的厚度 （沿[y]軸方向）。

圖1 壓電陶瓷的坐標

若定義[V=0]時壓電片前面的位置為坐標原點，則壓電片的應變[εc]可以表示為[εc=xL，]其中[L]為壓電片沿[x]軸方向的長度。壓電片的應力[σc]用于使載荷產生加速度，因此[σc=md2xdt2，]其中[m]為載荷質量與壓電片垂直于[x]軸方向一面的面積的比值。于是應力應變關系可以表示為：

[md2xdt2+EcLx=Ecd31Vtc]

或

[md2xdt2+nx=pV] （1）

式中：[n=EcL]，[p=Ecd31tc]。

2 電壓與速度的關系

微分方程（1）相應的齊次方程的通解為：

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）]

式中：[λ=nm。]利用常數(shù)變易法，設微分方程（1）的通解為：

[x=c1（t）sin（λt）+c2（t）cos（λt）]

其中[c1（t），c2（t）]是滿足方程組：

[c′1（t）sin（λt）+c′2（t）cos（λt）=0c′1（t）cos（λt）-c′2（t）sin（λt）=pλmV]

的待定函數(shù)。解上述方程組得：

[c′1（t）=pλmVcos（λt）c′2（t）=-pλmVsin（λt）]

因此：

[c1（t）=pλm0tVcos（λt）dt+c1c2（t）=-pλm0tVsin（λt）dt+c2]

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλmsin（λt）0tVcos（λt）dt-pλmcos（λt）0tVsin（λt）dt=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

[x=c1λcos（λt）-c2λsin（λt）+pm0tVcos[λ（t-t）]dt]

利用初始條件[x（0）=0，][x（0）=0]得[c1=c2=0]，因此：

[x=pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

令[V=Asin （ωt），]其中[A]為電壓幅值，[ω]為電壓的頻率，則：

[x=pλm0tAsin（ωt）sin[λ（t-t）]dt=pA2λm0t[cos（（ω+λ）t-λt）-cos（（ω-λ）t+λt）]dt]（2）

當[ω≠λ]時，由式（2）得：

[x=pA2λmsin（ωt）+sin（λt）ω+λ-sin（ωt）-sin（λt）ω-λ=pAλmωsin（λt）-λsin（ωt）ω2-λ2]

當[ω=λ]時，由式（2）得：

[x=pA2λm0t[cos（2λt-λt）-cos（λt）]dt=pA2λmsin（λt）+sin（λt）2λ-tcos（λt） =pA2λ2msin（λt）-pA2λmtcos（λt）]

因此：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt）），ω≠λpA2mtsin（λt），ω=λ] （3）

由于：

[limω→λpAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））=pAωtsin（ωt）2mω=pAtsin（ωt）2m]

因此等式（3）給出的壓電陶瓷速度[x]在[ω=λ]處為可去不連續(xù)點，采用等式（3）的定義之后在區(qū)間[（0，+∞）]內是連續(xù)的，而且，對于任何確定的時間[t]和頻率[ω（2π），]它與輸入電壓的幅值成線性關系。

3 頻率與速度的關系

對于任何確定的時間[t，]由于式（3）給出的曲線是一條連續(xù)曲線，因此在曲線：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））]

上找出有限個[ω≠λ]的點，只要這些點足夠稠密，連接這些點的曲線就可以反映頻率與速度的關系。

以邊長為[L=]0.1 m的正方體壓電陶瓷為例，設

[Ec=6.6×1010][Nm2，][d31=24.5×10-12][mV，][tc=0.1]m，[A=10，]并設載荷重量為1 kg，則可以求得：

[m=100，][n=EcL=66×1010，][p=Ecd31L=16.17，][λ=nm]=81 240。

固定[t=1，]頻率與驅動器速度的關系曲線如圖2所示。

圖2 頻率與驅動器速度的關系

曲線達到峰值的頻率為：

[λt（2π）=12 936 Hz]

對于不同的時間[t，]曲線達到峰值的頻率將發(fā)生改變。隨著時間[t]的增大，曲線的波動頻率[t（2π）]也將增大。

4 結 論

綜上所述，對于任何固定的時間[t]，壓電驅動器的速度與輸入電壓的幅值成線性關系；頻率與驅動器速度的關系是一條幅值不斷變化的連續(xù)余弦曲線，曲線的峰值在[λt（2π）]處達到，余弦曲線的頻率為[t（2π）。]隨著時間[t]的增大，曲線的峰點逐步遠離縱坐標軸，余弦曲線的頻率也將增大。

由圖2可以看出，電壓頻率與驅動器速度的關系是比較復雜的，通過一些實驗數(shù)據點根本無法找到曲線的極值點，特別是隨著時間[t]的增加余弦曲線的頻率也逐步增大，在同樣的頻率區(qū)間內極值點也逐步增加。借助應力應變關系導出的解析式，可以準確地反映驅動器速度隨頻率的變化過程，克服實驗數(shù)據測量干擾對實驗結論的影響。通過實驗數(shù)據對應力應變關系式中的參數(shù)進行辨識，再利用經參數(shù)辨識后的應力應變關系式研究壓電驅動器電壓及其頻率對驅動速度的影響是一個需要進一步研究的問題

參考文獻

[1] BERMEJO R， DELUCA M. Mechanical characterization of PZT ceramics for multilayer piezoelectric actuators [J]. Journal of Ceramic Science and Technology， 2012， 3（4）： 159?168.

[2] DICK A J. Characterizing effective d31 values for PZT from the nonlinear oscillations of clamped?clamped micro?resonators [J]. Journal of Mechanical Engineering， 2013， 59（1）： 50?55.

[3] SUN D， MILLS J K， SHAN J J， et al. A PZT actuator control of a single?link flexible manipulator based on linear velocity feedback and actuator placement [J]. Mechatronics， 2004， 14（4）： 381?401.

[4] 王皓，凌寧，曾志革.一種高分辨力大行程微驅動壓電馬達[J].光電工程，2003，30（4）：50?52.

[5] 賴志林，劉向東，耿潔，等.壓電陶瓷執(zhí)行器遲滯的滑模逆補償控制[J].光學精密工程，2011，19（6）：1281?1286.

[6] 余躍慶，周剛，方道星.基于模糊PID融合的柔性機械臂振動壓電主動控制研究[J].中國機械工程，2008，19（15）：1836?1841.

[7] 曹榮，秦嵐，夏含信，等.PID控制技術在壓電陶瓷精密定位過程的應用[J].儀器儀表學報，2004，25（z3）：132?135.

[8] 安凱，馬佳光，傅承毓.由Z傳遞函數(shù)確定PID控制器參數(shù)[J].光電工程，2001，28（6）：7?9.

[σc=Ecεc-d31Vtc]

其中[σc]是壓電片產生的應力，[Ec]是壓電片的彈性模量；[εc]是壓電片的應變；[d31]是與施加在壓電片上的電場相關的壓電常數(shù)；[V]是沿[y]軸方向施加的電壓；[tc]為壓電片的厚度 （沿[y]軸方向）。

圖1 壓電陶瓷的坐標

若定義[V=0]時壓電片前面的位置為坐標原點，則壓電片的應變[εc]可以表示為[εc=xL，]其中[L]為壓電片沿[x]軸方向的長度。壓電片的應力[σc]用于使載荷產生加速度，因此[σc=md2xdt2，]其中[m]為載荷質量與壓電片垂直于[x]軸方向一面的面積的比值。于是應力應變關系可以表示為：

[md2xdt2+EcLx=Ecd31Vtc]

或

[md2xdt2+nx=pV] （1）

式中：[n=EcL]，[p=Ecd31tc]。

2 電壓與速度的關系

微分方程（1）相應的齊次方程的通解為：

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）]

式中：[λ=nm。]利用常數(shù)變易法，設微分方程（1）的通解為：

[x=c1（t）sin（λt）+c2（t）cos（λt）]

其中[c1（t），c2（t）]是滿足方程組：

[c′1（t）sin（λt）+c′2（t）cos（λt）=0c′1（t）cos（λt）-c′2（t）sin（λt）=pλmV]

的待定函數(shù)。解上述方程組得：

[c′1（t）=pλmVcos（λt）c′2（t）=-pλmVsin（λt）]

因此：

[c1（t）=pλm0tVcos（λt）dt+c1c2（t）=-pλm0tVsin（λt）dt+c2]

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλmsin（λt）0tVcos（λt）dt-pλmcos（λt）0tVsin（λt）dt=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

[x=c1λcos（λt）-c2λsin（λt）+pm0tVcos[λ（t-t）]dt]

利用初始條件[x（0）=0，][x（0）=0]得[c1=c2=0]，因此：

[x=pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

令[V=Asin （ωt），]其中[A]為電壓幅值，[ω]為電壓的頻率，則：

[x=pλm0tAsin（ωt）sin[λ（t-t）]dt=pA2λm0t[cos（（ω+λ）t-λt）-cos（（ω-λ）t+λt）]dt]（2）

當[ω≠λ]時，由式（2）得：

[x=pA2λmsin（ωt）+sin（λt）ω+λ-sin（ωt）-sin（λt）ω-λ=pAλmωsin（λt）-λsin（ωt）ω2-λ2]

當[ω=λ]時，由式（2）得：

[x=pA2λm0t[cos（2λt-λt）-cos（λt）]dt=pA2λmsin（λt）+sin（λt）2λ-tcos（λt） =pA2λ2msin（λt）-pA2λmtcos（λt）]

因此：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt）），ω≠λpA2mtsin（λt），ω=λ] （3）

由于：

[limω→λpAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））=pAωtsin（ωt）2mω=pAtsin（ωt）2m]

因此等式（3）給出的壓電陶瓷速度[x]在[ω=λ]處為可去不連續(xù)點，采用等式（3）的定義之后在區(qū)間[（0，+∞）]內是連續(xù)的，而且，對于任何確定的時間[t]和頻率[ω（2π），]它與輸入電壓的幅值成線性關系。

3 頻率與速度的關系

對于任何確定的時間[t，]由于式（3）給出的曲線是一條連續(xù)曲線，因此在曲線：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））]

上找出有限個[ω≠λ]的點，只要這些點足夠稠密，連接這些點的曲線就可以反映頻率與速度的關系。

以邊長為[L=]0.1 m的正方體壓電陶瓷為例，設

[Ec=6.6×1010][Nm2，][d31=24.5×10-12][mV，][tc=0.1]m，[A=10，]并設載荷重量為1 kg，則可以求得：

[m=100，][n=EcL=66×1010，][p=Ecd31L=16.17，][λ=nm]=81 240。

固定[t=1，]頻率與驅動器速度的關系曲線如圖2所示。

圖2 頻率與驅動器速度的關系

曲線達到峰值的頻率為：

[λt（2π）=12 936 Hz]

對于不同的時間[t，]曲線達到峰值的頻率將發(fā)生改變。隨著時間[t]的增大，曲線的波動頻率[t（2π）]也將增大。

4 結 論

綜上所述，對于任何固定的時間[t]，壓電驅動器的速度與輸入電壓的幅值成線性關系；頻率與驅動器速度的關系是一條幅值不斷變化的連續(xù)余弦曲線，曲線的峰值在[λt（2π）]處達到，余弦曲線的頻率為[t（2π）。]隨著時間[t]的增大，曲線的峰點逐步遠離縱坐標軸，余弦曲線的頻率也將增大。

由圖2可以看出，電壓頻率與驅動器速度的關系是比較復雜的，通過一些實驗數(shù)據點根本無法找到曲線的極值點，特別是隨著時間[t]的增加余弦曲線的頻率也逐步增大，在同樣的頻率區(qū)間內極值點也逐步增加。借助應力應變關系導出的解析式，可以準確地反映驅動器速度隨頻率的變化過程，克服實驗數(shù)據測量干擾對實驗結論的影響。通過實驗數(shù)據對應力應變關系式中的參數(shù)進行辨識，再利用經參數(shù)辨識后的應力應變關系式研究壓電驅動器電壓及其頻率對驅動速度的影響是一個需要進一步研究的問題

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[3] SUN D， MILLS J K， SHAN J J， et al. A PZT actuator control of a single?link flexible manipulator based on linear velocity feedback and actuator placement [J]. Mechatronics， 2004， 14（4）： 381?401.

[4] 王皓，凌寧，曾志革.一種高分辨力大行程微驅動壓電馬達[J].光電工程，2003，30（4）：50?52.

[5] 賴志林，劉向東，耿潔，等.壓電陶瓷執(zhí)行器遲滯的滑模逆補償控制[J].光學精密工程，2011，19（6）：1281?1286.

[6] 余躍慶，周剛，方道星.基于模糊PID融合的柔性機械臂振動壓電主動控制研究[J].中國機械工程，2008，19（15）：1836?1841.

[7] 曹榮，秦嵐，夏含信，等.PID控制技術在壓電陶瓷精密定位過程的應用[J].儀器儀表學報，2004，25（z3）：132?135.

[8] 安凱，馬佳光，傅承毓.由Z傳遞函數(shù)確定PID控制器參數(shù)[J].光電工程，2001，28（6）：7?9.

[σc=Ecεc-d31Vtc]

其中[σc]是壓電片產生的應力，[Ec]是壓電片的彈性模量；[εc]是壓電片的應變；[d31]是與施加在壓電片上的電場相關的壓電常數(shù)；[V]是沿[y]軸方向施加的電壓；[tc]為壓電片的厚度 （沿[y]軸方向）。

圖1 壓電陶瓷的坐標

若定義[V=0]時壓電片前面的位置為坐標原點，則壓電片的應變[εc]可以表示為[εc=xL，]其中[L]為壓電片沿[x]軸方向的長度。壓電片的應力[σc]用于使載荷產生加速度，因此[σc=md2xdt2，]其中[m]為載荷質量與壓電片垂直于[x]軸方向一面的面積的比值。于是應力應變關系可以表示為：

[md2xdt2+EcLx=Ecd31Vtc]

或

[md2xdt2+nx=pV] （1）

式中：[n=EcL]，[p=Ecd31tc]。

2 電壓與速度的關系

微分方程（1）相應的齊次方程的通解為：

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）]

式中：[λ=nm。]利用常數(shù)變易法，設微分方程（1）的通解為：

[x=c1（t）sin（λt）+c2（t）cos（λt）]

其中[c1（t），c2（t）]是滿足方程組：

[c′1（t）sin（λt）+c′2（t）cos（λt）=0c′1（t）cos（λt）-c′2（t）sin（λt）=pλmV]

的待定函數(shù)。解上述方程組得：

[c′1（t）=pλmVcos（λt）c′2（t）=-pλmVsin（λt）]

因此：

[c1（t）=pλm0tVcos（λt）dt+c1c2（t）=-pλm0tVsin（λt）dt+c2]

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλmsin（λt）0tVcos（λt）dt-pλmcos（λt）0tVsin（λt）dt=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

[x=c1λcos（λt）-c2λsin（λt）+pm0tVcos[λ（t-t）]dt]

利用初始條件[x（0）=0，][x（0）=0]得[c1=c2=0]，因此：

[x=pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

令[V=Asin （ωt），]其中[A]為電壓幅值，[ω]為電壓的頻率，則：

[x=pλm0tAsin（ωt）sin[λ（t-t）]dt=pA2λm0t[cos（（ω+λ）t-λt）-cos（（ω-λ）t+λt）]dt]（2）

當[ω≠λ]時，由式（2）得：

[x=pA2λmsin（ωt）+sin（λt）ω+λ-sin（ωt）-sin（λt）ω-λ=pAλmωsin（λt）-λsin（ωt）ω2-λ2]

當[ω=λ]時，由式（2）得：

[x=pA2λm0t[cos（2λt-λt）-cos（λt）]dt=pA2λmsin（λt）+sin（λt）2λ-tcos（λt） =pA2λ2msin（λt）-pA2λmtcos（λt）]

因此：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt）），ω≠λpA2mtsin（λt），ω=λ] （3）

由于：

[limω→λpAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））=pAωtsin（ωt）2mω=pAtsin（ωt）2m]

因此等式（3）給出的壓電陶瓷速度[x]在[ω=λ]處為可去不連續(xù)點，采用等式（3）的定義之后在區(qū)間[（0，+∞）]內是連續(xù)的，而且，對于任何確定的時間[t]和頻率[ω（2π），]它與輸入電壓的幅值成線性關系。

3 頻率與速度的關系

對于任何確定的時間[t，]由于式（3）給出的曲線是一條連續(xù)曲線，因此在曲線：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））]

上找出有限個[ω≠λ]的點，只要這些點足夠稠密，連接這些點的曲線就可以反映頻率與速度的關系。

以邊長為[L=]0.1 m的正方體壓電陶瓷為例，設

[Ec=6.6×1010][Nm2，][d31=24.5×10-12][mV，][tc=0.1]m，[A=10，]并設載荷重量為1 kg，則可以求得：

[m=100，][n=EcL=66×1010，][p=Ecd31L=16.17，][λ=nm]=81 240。

固定[t=1，]頻率與驅動器速度的關系曲線如圖2所示。

圖2 頻率與驅動器速度的關系

曲線達到峰值的頻率為：

[λt（2π）=12 936 Hz]

對于不同的時間[t，]曲線達到峰值的頻率將發(fā)生改變。隨著時間[t]的增大，曲線的波動頻率[t（2π）]也將增大。

4 結 論

綜上所述，對于任何固定的時間[t]，壓電驅動器的速度與輸入電壓的幅值成線性關系；頻率與驅動器速度的關系是一條幅值不斷變化的連續(xù)余弦曲線，曲線的峰值在[λt（2π）]處達到，余弦曲線的頻率為[t（2π）。]隨著時間[t]的增大，曲線的峰點逐步遠離縱坐標軸，余弦曲線的頻率也將增大。

由圖2可以看出，電壓頻率與驅動器速度的關系是比較復雜的，通過一些實驗數(shù)據點根本無法找到曲線的極值點，特別是隨著時間[t]的增加余弦曲線的頻率也逐步增大，在同樣的頻率區(qū)間內極值點也逐步增加。借助應力應變關系導出的解析式，可以準確地反映驅動器速度隨頻率的變化過程，克服實驗數(shù)據測量干擾對實驗結論的影響。通過實驗數(shù)據對應力應變關系式中的參數(shù)進行辨識，再利用經參數(shù)辨識后的應力應變關系式研究壓電驅動器電壓及其頻率對驅動速度的影響是一個需要進一步研究的問題

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