王栿棟++鄒華勇

摘 要：利用剛體空間六個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)原理，以Stewart平臺(tái)為例，介紹了并聯(lián)機(jī)構(gòu)正反解的基本原理。并針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)更困難的正解問(wèn)題，利用Matlab設(shè)計(jì)一個(gè)圖形加數(shù)字坐標(biāo)仿真程序，可以方便地求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)符合實(shí)際客觀條件的位置解，并直觀地觀察各桿件之間的空間關(guān)系。

關(guān)鍵詞：正解；反解；坐標(biāo)；位姿；仿真

引言

機(jī)器人從20世紀(jì)誕生以來(lái)，以迅速成為一門(mén)應(yīng)用十分廣泛的技術(shù)。機(jī)器人技術(shù)在工程中的應(yīng)用日益廣泛，即工業(yè)機(jī)器人。其中研究比較早，目前工程界應(yīng)用比較成熟的是串聯(lián)機(jī)器人。它是一種能夠自動(dòng)定位控制、多自由度、各大大小小的機(jī)械臂以串聯(lián)的形式聯(lián)接起來(lái)。這種典型的開(kāi)環(huán)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低，控制簡(jiǎn)單，運(yùn)動(dòng)空間大等優(yōu)點(diǎn)。但伴隨著其結(jié)構(gòu)特性的缺點(diǎn)則是承載能力有限、機(jī)構(gòu)剛度差，各運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)疊加誤差大，運(yùn)動(dòng)慣性大。而在80年代以來(lái)隨機(jī)計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，并聯(lián)機(jī)器人的研究成為了新的熱點(diǎn)。并聯(lián)機(jī)器人與串聯(lián)機(jī)器人正好可以形成互補(bǔ)，它的優(yōu)點(diǎn)極為串聯(lián)機(jī)器人的缺點(diǎn)，相應(yīng)它的缺點(diǎn)則是串聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)點(diǎn)，因此并聯(lián)機(jī)器人在飛行模擬器，空間對(duì)接器、裝配生產(chǎn)線等需要高精度，高穩(wěn)定性，高速的場(chǎng)合應(yīng)用越來(lái)越廣泛。但串聯(lián)機(jī)器人與并聯(lián)機(jī)器人的基礎(chǔ)理論基本一樣，所以文章以六自由度并聯(lián)機(jī)器人最典型的結(jié)構(gòu)——Stewart平臺(tái)簡(jiǎn)析六自由度機(jī)器手入手，在運(yùn)動(dòng)學(xué)的位置正反解。文章總結(jié)的內(nèi)容中略去了有關(guān)機(jī)器人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)力學(xué)知識(shí)，假設(shè)已經(jīng)具備一定的矢量代數(shù)，矩陣論，和工學(xué)力學(xué)知識(shí)，直接進(jìn)入對(duì)機(jī)器人本身的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析。并約定，一般黑色字體變量為矢量，非黑字體變量為標(biāo)量。

1 六自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

研究操作手的幾何學(xué)要區(qū)分兩個(gè)問(wèn)題，即在同一系統(tǒng)下的運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題和逆問(wèn)題，所謂的正問(wèn)題就是給定關(guān)節(jié)變量前提下，求機(jī)器人執(zhí)行終端的位姿，這個(gè)求解過(guò)程就叫正解。而逆問(wèn)題反過(guò)來(lái)，設(shè)定定機(jī)器人執(zhí)行終端的位置，反求各關(guān)節(jié)變量，這個(gè)求解過(guò)程叫反解。

見(jiàn)圖1a所示并聯(lián)操作手，關(guān)于這個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反解其實(shí)是容易的，這里不再敘述，有興趣者可參閱本文列出得參考文獻(xiàn)。現(xiàn)在主要對(duì)其行運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題分析，但在應(yīng)用到如圖1的并聯(lián)機(jī)器人中時(shí)，他的正解運(yùn)動(dòng)學(xué)卻并不那么簡(jiǎn)單。

在圖1a中，考慮三角形AiSiBi，i=1～3，角標(biāo)i表示第i對(duì)腿。當(dāng)6個(gè)腿的長(zhǎng)度固定，把平臺(tái)M去掉，三角形AiSiBi只能繞AiBi軸旋轉(zhuǎn)。這樣，我們可以用一個(gè)長(zhǎng)度為li的腿代替長(zhǎng)度為qia和qib的一對(duì)腿，這條腿通過(guò)一個(gè)繞AiBi的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和六角基座平臺(tái)β相連接。結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化后的結(jié)果如圖2所示，它在運(yùn)動(dòng)學(xué)上的等價(jià)于圖1a的原來(lái)結(jié)構(gòu)。

圖1 6自由度飛行器模擬器

a）基本結(jié)構(gòu) b）三角形活動(dòng)平臺(tái)、六角形固定平臺(tái)

然后引入坐標(biāo)系Fi，它的原點(diǎn)設(shè)在第i個(gè)腿和基座平臺(tái)β連接的點(diǎn)口Oi處，并作如下約定：

對(duì)i=1，2，3，

Oi是連接旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的中心的集合；

Xi的方向是從Ai指向Bi

Yi的選擇是由Zi垂直于6邊形固定平臺(tái)指向上來(lái)確定的，也就是X與Y坐標(biāo)向量的矢量積方向朝上。

之后來(lái)確定從六邊形的中心O到移動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)頂點(diǎn)S1，S2 和S3的位置矢量。

我們需要確定li和Oi。參考圖2和圖3，其中ai和bi表示Ai，和Bi相對(duì)O為原點(diǎn)基座坐標(biāo)的矢量。對(duì)于i=1，2，3，有

因此ui是由Ai指向Bi的單位矢量。而且，原點(diǎn)Oi的位置由矢量oi確定，oi的表述如下：

（1）

進(jìn)而，設(shè)si為在坐標(biāo)系Fi（Oi，Xi，Yi，Zi）中Si的位置矢量，則

（2）

圖2 等效簡(jiǎn)化機(jī)構(gòu)

圖3 一條腿與一對(duì)腿的等效 圖4 坐標(biāo)系F0與坐標(biāo)系Fi的關(guān)系

現(xiàn)在，將一個(gè)坐標(biāo)系空間F0定義為原點(diǎn) O和X，Y，軸在六邊形固定平面上，其上的 Xi和 Yi的關(guān)系如圖4所示.當(dāng)在坐標(biāo)系F0中表達(dá)，si的形式如下

（2.3）

這里，[Ri]0是在坐標(biāo)系F0中表達(dá)的從坐標(biāo)系F0到坐標(biāo)系Fi的旋轉(zhuǎn)矩陣，給出如下

（2.4）

參考圖（4）有

（2.5）

（2.6）

將式（4）～式（6）代入式（3）得到

（2.7）

這里，Oi由式（8）給出。

因?yàn)榛顒?dòng)三角平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是固定的，所以位置矢量S1，S2，S3必須滿足以下約束

（8a） （8b） （8c）

展開(kāi)后，式（8a-c）取形式

（9a）

（9b）

（9c）

Di，Ei，F(xiàn)i都是已知數(shù)據(jù)，i為1～5， 他們可以通過(guò)計(jì)算得到，經(jīng)過(guò)整理后具體形式如下。

其中 ，是一個(gè)2*2反對(duì)稱矩陣，這樣三個(gè)方程已經(jīng)

列好，并對(duì)應(yīng)三個(gè)未知數(shù)？準(zhǔn)1，？準(zhǔn)2，？準(zhǔn)3。方程數(shù)與未知數(shù)數(shù)量一致，在理論上是可以有解的，但這個(gè)數(shù)據(jù)運(yùn)算也好，方程本身的復(fù)雜度也好，要把它迅速正確求出代數(shù)解是很困難的。如果？準(zhǔn)1，？準(zhǔn)2，？準(zhǔn)3三個(gè)角符合實(shí)際情況的解（0～？仔）能夠得到，則通過(guò)式（7）可得到確定三角運(yùn)動(dòng)平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)的矢量，從而根據(jù)三點(diǎn)確定一面的原理，來(lái)確定并聯(lián)機(jī)器人執(zhí)行端（三角活動(dòng)平臺(tái)）的空間位姿。接下去就是如何快速正確地解這方程。

2 仿真程序

2.1 相關(guān)仿真參數(shù)簡(jiǎn)述

按照上述原理，編寫(xiě)計(jì)算程序，實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)顯示和仿真圖示。如圖5a所示，綠色的正六邊形代表固定底盤(pán)，其大小由邊長(zhǎng)b確定。上方正三角形是活動(dòng)平臺(tái)，其大小由邊長(zhǎng)a確定。L1～L6表示六條機(jī)器腿的長(zhǎng)度，同一顏色為一組。a1～a3表示活動(dòng)平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)，其坐標(biāo)通過(guò)計(jì)算已顯示在左上角。通過(guò)計(jì)算還可以識(shí)別活動(dòng)平臺(tái)法線朝向，如果是朝上則顯示青色（如圖5a），如果朝下則顯示品紅色（如圖5b），一般多數(shù)Stewart平臺(tái)的活動(dòng)平臺(tái)正常使用情況桿多為法線方向一致朝上。而在此處是為了分析活動(dòng)平臺(tái)所有可能的情況而設(shè)計(jì)的仿真程序。

除此之外還可以利用圖形界面的放大和旋轉(zhuǎn)功能來(lái)觀察各桿件之間的位置關(guān)系，從而判斷其互相干涉情況。

2.2 仿真過(guò)程羅列

請(qǐng)看圖6。整個(gè)仿真過(guò)程，分為仿真計(jì)算、仿真圖示兩個(gè)大部分。其中仿真計(jì)算是最根本，而且執(zhí)行過(guò)程相對(duì)耗時(shí)，仿真圖示是根據(jù)初始輸入?yún)?shù)把計(jì)算結(jié)果來(lái)顯示出來(lái)。

圖6 仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2.3 仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)

為了使得整個(gè)仿真過(guò)程快速度，作者采用了數(shù)值迭代法。因?yàn)樵诶碚撋喜捎梅?hào)計(jì)算（復(fù)數(shù)域求解）是最全最精確的，而事實(shí)上在matlab中符號(hào)計(jì)算對(duì)于參數(shù)較多，相對(duì)復(fù)雜的方程組，計(jì)算相當(dāng)耗時(shí)。而且返回的結(jié)果不一定齊全。

為了使仿真計(jì)算結(jié)果沒(méi)有遺漏，作者在數(shù)值迭代計(jì)算中合理分布了三個(gè)方程共9個(gè)初值，使得計(jì)算結(jié)果沒(méi)有遺漏，并且避免三角函數(shù)因周期而產(chǎn)生的重復(fù)解。

為了使仿真計(jì)算結(jié)果符合客觀實(shí)際情況，作者采用了數(shù)值篩選，目的之一是去除不符合客觀物理空間復(fù)數(shù)解。目的之二是去除不符合并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)際結(jié)構(gòu)的負(fù)數(shù)解。

整個(gè)計(jì)算機(jī)構(gòu)請(qǐng)看圖7所示。中間計(jì)算解值是指圖（3）中α1～α3三個(gè)角度。

圖3.3仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)

2.4 仿真舉例

當(dāng)輸入?yún)?shù)為a=6，b=9，L1=8，L2=8，L3=8，L4=8，L5=13，L6=15.時(shí)候仿真結(jié)果如下，見(jiàn)圖8，結(jié)果顯示，本初始條件系下，并聯(lián)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)位姿解，其中一個(gè)法線朝上，一個(gè)法線朝下。相應(yīng)的活動(dòng)平臺(tái)頂點(diǎn)坐標(biāo)也顯示在左上角。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析，設(shè)計(jì)用來(lái)求并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解位置的仿真程序，這一來(lái)不但可以快速正確地求得在不同機(jī)構(gòu)參數(shù)下的位置解，而且可以通過(guò)圖示清楚直觀地了解各工作臺(tái)面的和機(jī)器腿在三維空間中的實(shí)際姿態(tài)。

參考文獻(xiàn)

[1]宋偉剛.機(jī)器人學(xué)[J].科學(xué)出版社，2007.

[2]黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制[J].機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

[3]唐錫寬，金德聞.機(jī)械動(dòng)力學(xué)[J].高等教育出版社，1983.endprint

摘 要：利用剛體空間六個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)原理，以Stewart平臺(tái)為例，介紹了并聯(lián)機(jī)構(gòu)正反解的基本原理。并針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)更困難的正解問(wèn)題，利用Matlab設(shè)計(jì)一個(gè)圖形加數(shù)字坐標(biāo)仿真程序，可以方便地求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)符合實(shí)際客觀條件的位置解，并直觀地觀察各桿件之間的空間關(guān)系。

關(guān)鍵詞：正解；反解；坐標(biāo)；位姿；仿真

引言

機(jī)器人從20世紀(jì)誕生以來(lái)，以迅速成為一門(mén)應(yīng)用十分廣泛的技術(shù)。機(jī)器人技術(shù)在工程中的應(yīng)用日益廣泛，即工業(yè)機(jī)器人。其中研究比較早，目前工程界應(yīng)用比較成熟的是串聯(lián)機(jī)器人。它是一種能夠自動(dòng)定位控制、多自由度、各大大小小的機(jī)械臂以串聯(lián)的形式聯(lián)接起來(lái)。這種典型的開(kāi)環(huán)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低，控制簡(jiǎn)單，運(yùn)動(dòng)空間大等優(yōu)點(diǎn)。但伴隨著其結(jié)構(gòu)特性的缺點(diǎn)則是承載能力有限、機(jī)構(gòu)剛度差，各運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)疊加誤差大，運(yùn)動(dòng)慣性大。而在80年代以來(lái)隨機(jī)計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，并聯(lián)機(jī)器人的研究成為了新的熱點(diǎn)。并聯(lián)機(jī)器人與串聯(lián)機(jī)器人正好可以形成互補(bǔ)，它的優(yōu)點(diǎn)極為串聯(lián)機(jī)器人的缺點(diǎn)，相應(yīng)它的缺點(diǎn)則是串聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)點(diǎn)，因此并聯(lián)機(jī)器人在飛行模擬器，空間對(duì)接器、裝配生產(chǎn)線等需要高精度，高穩(wěn)定性，高速的場(chǎng)合應(yīng)用越來(lái)越廣泛。但串聯(lián)機(jī)器人與并聯(lián)機(jī)器人的基礎(chǔ)理論基本一樣，所以文章以六自由度并聯(lián)機(jī)器人最典型的結(jié)構(gòu)——Stewart平臺(tái)簡(jiǎn)析六自由度機(jī)器手入手，在運(yùn)動(dòng)學(xué)的位置正反解。文章總結(jié)的內(nèi)容中略去了有關(guān)機(jī)器人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)力學(xué)知識(shí)，假設(shè)已經(jīng)具備一定的矢量代數(shù)，矩陣論，和工學(xué)力學(xué)知識(shí)，直接進(jìn)入對(duì)機(jī)器人本身的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析。并約定，一般黑色字體變量為矢量，非黑字體變量為標(biāo)量。

1 六自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

研究操作手的幾何學(xué)要區(qū)分兩個(gè)問(wèn)題，即在同一系統(tǒng)下的運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題和逆問(wèn)題，所謂的正問(wèn)題就是給定關(guān)節(jié)變量前提下，求機(jī)器人執(zhí)行終端的位姿，這個(gè)求解過(guò)程就叫正解。而逆問(wèn)題反過(guò)來(lái)，設(shè)定定機(jī)器人執(zhí)行終端的位置，反求各關(guān)節(jié)變量，這個(gè)求解過(guò)程叫反解。

見(jiàn)圖1a所示并聯(lián)操作手，關(guān)于這個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反解其實(shí)是容易的，這里不再敘述，有興趣者可參閱本文列出得參考文獻(xiàn)?，F(xiàn)在主要對(duì)其行運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題分析，但在應(yīng)用到如圖1的并聯(lián)機(jī)器人中時(shí)，他的正解運(yùn)動(dòng)學(xué)卻并不那么簡(jiǎn)單。

在圖1a中，考慮三角形AiSiBi，i=1～3，角標(biāo)i表示第i對(duì)腿。當(dāng)6個(gè)腿的長(zhǎng)度固定，把平臺(tái)M去掉，三角形AiSiBi只能繞AiBi軸旋轉(zhuǎn)。這樣，我們可以用一個(gè)長(zhǎng)度為li的腿代替長(zhǎng)度為qia和qib的一對(duì)腿，這條腿通過(guò)一個(gè)繞AiBi的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和六角基座平臺(tái)β相連接。結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化后的結(jié)果如圖2所示，它在運(yùn)動(dòng)學(xué)上的等價(jià)于圖1a的原來(lái)結(jié)構(gòu)。

圖1 6自由度飛行器模擬器

a）基本結(jié)構(gòu) b）三角形活動(dòng)平臺(tái)、六角形固定平臺(tái)

然后引入坐標(biāo)系Fi，它的原點(diǎn)設(shè)在第i個(gè)腿和基座平臺(tái)β連接的點(diǎn)口Oi處，并作如下約定：

對(duì)i=1，2，3，

Oi是連接旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的中心的集合；

Xi的方向是從Ai指向Bi

Yi的選擇是由Zi垂直于6邊形固定平臺(tái)指向上來(lái)確定的，也就是X與Y坐標(biāo)向量的矢量積方向朝上。

之后來(lái)確定從六邊形的中心O到移動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)頂點(diǎn)S1，S2 和S3的位置矢量。

我們需要確定li和Oi。參考圖2和圖3，其中ai和bi表示Ai，和Bi相對(duì)O為原點(diǎn)基座坐標(biāo)的矢量。對(duì)于i=1，2，3，有

因此ui是由Ai指向Bi的單位矢量。而且，原點(diǎn)Oi的位置由矢量oi確定，oi的表述如下：

（1）

進(jìn)而，設(shè)si為在坐標(biāo)系Fi（Oi，Xi，Yi，Zi）中Si的位置矢量，則

（2）

圖2 等效簡(jiǎn)化機(jī)構(gòu)

圖3 一條腿與一對(duì)腿的等效 圖4 坐標(biāo)系F0與坐標(biāo)系Fi的關(guān)系

現(xiàn)在，將一個(gè)坐標(biāo)系空間F0定義為原點(diǎn) O和X，Y，軸在六邊形固定平面上，其上的 Xi和 Yi的關(guān)系如圖4所示.當(dāng)在坐標(biāo)系F0中表達(dá)，si的形式如下

（2.3）

這里，[Ri]0是在坐標(biāo)系F0中表達(dá)的從坐標(biāo)系F0到坐標(biāo)系Fi的旋轉(zhuǎn)矩陣，給出如下

（2.4）

參考圖（4）有

（2.5）

（2.6）

將式（4）～式（6）代入式（3）得到

（2.7）

這里，Oi由式（8）給出。

因?yàn)榛顒?dòng)三角平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是固定的，所以位置矢量S1，S2，S3必須滿足以下約束

（8a） （8b） （8c）

展開(kāi)后，式（8a-c）取形式

（9a）

（9b）

（9c）

Di，Ei，F(xiàn)i都是已知數(shù)據(jù)，i為1～5， 他們可以通過(guò)計(jì)算得到，經(jīng)過(guò)整理后具體形式如下。

其中 ，是一個(gè)2*2反對(duì)稱矩陣，這樣三個(gè)方程已經(jīng)

列好，并對(duì)應(yīng)三個(gè)未知數(shù)？準(zhǔn)1，？準(zhǔn)2，？準(zhǔn)3。方程數(shù)與未知數(shù)數(shù)量一致，在理論上是可以有解的，但這個(gè)數(shù)據(jù)運(yùn)算也好，方程本身的復(fù)雜度也好，要把它迅速正確求出代數(shù)解是很困難的。如果？準(zhǔn)1，？準(zhǔn)2，？準(zhǔn)3三個(gè)角符合實(shí)際情況的解（0～？仔）能夠得到，則通過(guò)式（7）可得到確定三角運(yùn)動(dòng)平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)的矢量，從而根據(jù)三點(diǎn)確定一面的原理，來(lái)確定并聯(lián)機(jī)器人執(zhí)行端（三角活動(dòng)平臺(tái)）的空間位姿。接下去就是如何快速正確地解這方程。

2 仿真程序

2.1 相關(guān)仿真參數(shù)簡(jiǎn)述

按照上述原理，編寫(xiě)計(jì)算程序，實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)顯示和仿真圖示。如圖5a所示，綠色的正六邊形代表固定底盤(pán)，其大小由邊長(zhǎng)b確定。上方正三角形是活動(dòng)平臺(tái)，其大小由邊長(zhǎng)a確定。L1～L6表示六條機(jī)器腿的長(zhǎng)度，同一顏色為一組。a1～a3表示活動(dòng)平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)，其坐標(biāo)通過(guò)計(jì)算已顯示在左上角。通過(guò)計(jì)算還可以識(shí)別活動(dòng)平臺(tái)法線朝向，如果是朝上則顯示青色（如圖5a），如果朝下則顯示品紅色（如圖5b），一般多數(shù)Stewart平臺(tái)的活動(dòng)平臺(tái)正常使用情況桿多為法線方向一致朝上。而在此處是為了分析活動(dòng)平臺(tái)所有可能的情況而設(shè)計(jì)的仿真程序。

除此之外還可以利用圖形界面的放大和旋轉(zhuǎn)功能來(lái)觀察各桿件之間的位置關(guān)系，從而判斷其互相干涉情況。

2.2 仿真過(guò)程羅列

請(qǐng)看圖6。整個(gè)仿真過(guò)程，分為仿真計(jì)算、仿真圖示兩個(gè)大部分。其中仿真計(jì)算是最根本，而且執(zhí)行過(guò)程相對(duì)耗時(shí)，仿真圖示是根據(jù)初始輸入?yún)?shù)把計(jì)算結(jié)果來(lái)顯示出來(lái)。

圖6 仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2.3 仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)

為了使得整個(gè)仿真過(guò)程快速度，作者采用了數(shù)值迭代法。因?yàn)樵诶碚撋喜捎梅?hào)計(jì)算（復(fù)數(shù)域求解）是最全最精確的，而事實(shí)上在matlab中符號(hào)計(jì)算對(duì)于參數(shù)較多，相對(duì)復(fù)雜的方程組，計(jì)算相當(dāng)耗時(shí)。而且返回的結(jié)果不一定齊全。

為了使仿真計(jì)算結(jié)果沒(méi)有遺漏，作者在數(shù)值迭代計(jì)算中合理分布了三個(gè)方程共9個(gè)初值，使得計(jì)算結(jié)果沒(méi)有遺漏，并且避免三角函數(shù)因周期而產(chǎn)生的重復(fù)解。

為了使仿真計(jì)算結(jié)果符合客觀實(shí)際情況，作者采用了數(shù)值篩選，目的之一是去除不符合客觀物理空間復(fù)數(shù)解。目的之二是去除不符合并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)際結(jié)構(gòu)的負(fù)數(shù)解。

整個(gè)計(jì)算機(jī)構(gòu)請(qǐng)看圖7所示。中間計(jì)算解值是指圖（3）中α1～α3三個(gè)角度。

圖3.3仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)

2.4 仿真舉例

當(dāng)輸入?yún)?shù)為a=6，b=9，L1=8，L2=8，L3=8，L4=8，L5=13，L6=15.時(shí)候仿真結(jié)果如下，見(jiàn)圖8，結(jié)果顯示，本初始條件系下，并聯(lián)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)位姿解，其中一個(gè)法線朝上，一個(gè)法線朝下。相應(yīng)的活動(dòng)平臺(tái)頂點(diǎn)坐標(biāo)也顯示在左上角。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析，設(shè)計(jì)用來(lái)求并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解位置的仿真程序，這一來(lái)不但可以快速正確地求得在不同機(jī)構(gòu)參數(shù)下的位置解，而且可以通過(guò)圖示清楚直觀地了解各工作臺(tái)面的和機(jī)器腿在三維空間中的實(shí)際姿態(tài)。

參考文獻(xiàn)

[1]宋偉剛.機(jī)器人學(xué)[J].科學(xué)出版社，2007.

[2]黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制[J].機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

[3]唐錫寬，金德聞.機(jī)械動(dòng)力學(xué)[J].高等教育出版社，1983.endprint

摘 要：利用剛體空間六個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)原理，以Stewart平臺(tái)為例，介紹了并聯(lián)機(jī)構(gòu)正反解的基本原理。并針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)更困難的正解問(wèn)題，利用Matlab設(shè)計(jì)一個(gè)圖形加數(shù)字坐標(biāo)仿真程序，可以方便地求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)符合實(shí)際客觀條件的位置解，并直觀地觀察各桿件之間的空間關(guān)系。

關(guān)鍵詞：正解；反解；坐標(biāo)；位姿；仿真

引言

機(jī)器人從20世紀(jì)誕生以來(lái)，以迅速成為一門(mén)應(yīng)用十分廣泛的技術(shù)。機(jī)器人技術(shù)在工程中的應(yīng)用日益廣泛，即工業(yè)機(jī)器人。其中研究比較早，目前工程界應(yīng)用比較成熟的是串聯(lián)機(jī)器人。它是一種能夠自動(dòng)定位控制、多自由度、各大大小小的機(jī)械臂以串聯(lián)的形式聯(lián)接起來(lái)。這種典型的開(kāi)環(huán)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低，控制簡(jiǎn)單，運(yùn)動(dòng)空間大等優(yōu)點(diǎn)。但伴隨著其結(jié)構(gòu)特性的缺點(diǎn)則是承載能力有限、機(jī)構(gòu)剛度差，各運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)疊加誤差大，運(yùn)動(dòng)慣性大。而在80年代以來(lái)隨機(jī)計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，并聯(lián)機(jī)器人的研究成為了新的熱點(diǎn)。并聯(lián)機(jī)器人與串聯(lián)機(jī)器人正好可以形成互補(bǔ)，它的優(yōu)點(diǎn)極為串聯(lián)機(jī)器人的缺點(diǎn)，相應(yīng)它的缺點(diǎn)則是串聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)點(diǎn)，因此并聯(lián)機(jī)器人在飛行模擬器，空間對(duì)接器、裝配生產(chǎn)線等需要高精度，高穩(wěn)定性，高速的場(chǎng)合應(yīng)用越來(lái)越廣泛。但串聯(lián)機(jī)器人與并聯(lián)機(jī)器人的基礎(chǔ)理論基本一樣，所以文章以六自由度并聯(lián)機(jī)器人最典型的結(jié)構(gòu)——Stewart平臺(tái)簡(jiǎn)析六自由度機(jī)器手入手，在運(yùn)動(dòng)學(xué)的位置正反解。文章總結(jié)的內(nèi)容中略去了有關(guān)機(jī)器人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)力學(xué)知識(shí)，假設(shè)已經(jīng)具備一定的矢量代數(shù)，矩陣論，和工學(xué)力學(xué)知識(shí)，直接進(jìn)入對(duì)機(jī)器人本身的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析。并約定，一般黑色字體變量為矢量，非黑字體變量為標(biāo)量。

1 六自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

研究操作手的幾何學(xué)要區(qū)分兩個(gè)問(wèn)題，即在同一系統(tǒng)下的運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題和逆問(wèn)題，所謂的正問(wèn)題就是給定關(guān)節(jié)變量前提下，求機(jī)器人執(zhí)行終端的位姿，這個(gè)求解過(guò)程就叫正解。而逆問(wèn)題反過(guò)來(lái)，設(shè)定定機(jī)器人執(zhí)行終端的位置，反求各關(guān)節(jié)變量，這個(gè)求解過(guò)程叫反解。

見(jiàn)圖1a所示并聯(lián)操作手，關(guān)于這個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反解其實(shí)是容易的，這里不再敘述，有興趣者可參閱本文列出得參考文獻(xiàn)?，F(xiàn)在主要對(duì)其行運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題分析，但在應(yīng)用到如圖1的并聯(lián)機(jī)器人中時(shí)，他的正解運(yùn)動(dòng)學(xué)卻并不那么簡(jiǎn)單。

在圖1a中，考慮三角形AiSiBi，i=1～3，角標(biāo)i表示第i對(duì)腿。當(dāng)6個(gè)腿的長(zhǎng)度固定，把平臺(tái)M去掉，三角形AiSiBi只能繞AiBi軸旋轉(zhuǎn)。這樣，我們可以用一個(gè)長(zhǎng)度為li的腿代替長(zhǎng)度為qia和qib的一對(duì)腿，這條腿通過(guò)一個(gè)繞AiBi的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和六角基座平臺(tái)β相連接。結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化后的結(jié)果如圖2所示，它在運(yùn)動(dòng)學(xué)上的等價(jià)于圖1a的原來(lái)結(jié)構(gòu)。

圖1 6自由度飛行器模擬器

a）基本結(jié)構(gòu) b）三角形活動(dòng)平臺(tái)、六角形固定平臺(tái)

然后引入坐標(biāo)系Fi，它的原點(diǎn)設(shè)在第i個(gè)腿和基座平臺(tái)β連接的點(diǎn)口Oi處，并作如下約定：

對(duì)i=1，2，3，

Oi是連接旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的中心的集合；

Xi的方向是從Ai指向Bi

Yi的選擇是由Zi垂直于6邊形固定平臺(tái)指向上來(lái)確定的，也就是X與Y坐標(biāo)向量的矢量積方向朝上。

之后來(lái)確定從六邊形的中心O到移動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)頂點(diǎn)S1，S2 和S3的位置矢量。

我們需要確定li和Oi。參考圖2和圖3，其中ai和bi表示Ai，和Bi相對(duì)O為原點(diǎn)基座坐標(biāo)的矢量。對(duì)于i=1，2，3，有

因此ui是由Ai指向Bi的單位矢量。而且，原點(diǎn)Oi的位置由矢量oi確定，oi的表述如下：

（1）

進(jìn)而，設(shè)si為在坐標(biāo)系Fi（Oi，Xi，Yi，Zi）中Si的位置矢量，則

（2）

圖2 等效簡(jiǎn)化機(jī)構(gòu)

圖3 一條腿與一對(duì)腿的等效 圖4 坐標(biāo)系F0與坐標(biāo)系Fi的關(guān)系

現(xiàn)在，將一個(gè)坐標(biāo)系空間F0定義為原點(diǎn) O和X，Y，軸在六邊形固定平面上，其上的 Xi和 Yi的關(guān)系如圖4所示.當(dāng)在坐標(biāo)系F0中表達(dá)，si的形式如下

（2.3）

這里，[Ri]0是在坐標(biāo)系F0中表達(dá)的從坐標(biāo)系F0到坐標(biāo)系Fi的旋轉(zhuǎn)矩陣，給出如下

（2.4）

參考圖（4）有

（2.5）

（2.6）

將式（4）～式（6）代入式（3）得到

（2.7）

這里，Oi由式（8）給出。

因?yàn)榛顒?dòng)三角平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是固定的，所以位置矢量S1，S2，S3必須滿足以下約束

（8a） （8b） （8c）

展開(kāi)后，式（8a-c）取形式

（9a）

（9b）

（9c）

Di，Ei，F(xiàn)i都是已知數(shù)據(jù)，i為1～5， 他們可以通過(guò)計(jì)算得到，經(jīng)過(guò)整理后具體形式如下。

其中 ，是一個(gè)2*2反對(duì)稱矩陣，這樣三個(gè)方程已經(jīng)

列好，并對(duì)應(yīng)三個(gè)未知數(shù)？準(zhǔn)1，？準(zhǔn)2，？準(zhǔn)3。方程數(shù)與未知數(shù)數(shù)量一致，在理論上是可以有解的，但這個(gè)數(shù)據(jù)運(yùn)算也好，方程本身的復(fù)雜度也好，要把它迅速正確求出代數(shù)解是很困難的。如果？準(zhǔn)1，？準(zhǔn)2，？準(zhǔn)3三個(gè)角符合實(shí)際情況的解（0～？仔）能夠得到，則通過(guò)式（7）可得到確定三角運(yùn)動(dòng)平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)的矢量，從而根據(jù)三點(diǎn)確定一面的原理，來(lái)確定并聯(lián)機(jī)器人執(zhí)行端（三角活動(dòng)平臺(tái)）的空間位姿。接下去就是如何快速正確地解這方程。

2 仿真程序

2.1 相關(guān)仿真參數(shù)簡(jiǎn)述

按照上述原理，編寫(xiě)計(jì)算程序，實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)顯示和仿真圖示。如圖5a所示，綠色的正六邊形代表固定底盤(pán)，其大小由邊長(zhǎng)b確定。上方正三角形是活動(dòng)平臺(tái)，其大小由邊長(zhǎng)a確定。L1～L6表示六條機(jī)器腿的長(zhǎng)度，同一顏色為一組。a1～a3表示活動(dòng)平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)，其坐標(biāo)通過(guò)計(jì)算已顯示在左上角。通過(guò)計(jì)算還可以識(shí)別活動(dòng)平臺(tái)法線朝向，如果是朝上則顯示青色（如圖5a），如果朝下則顯示品紅色（如圖5b），一般多數(shù)Stewart平臺(tái)的活動(dòng)平臺(tái)正常使用情況桿多為法線方向一致朝上。而在此處是為了分析活動(dòng)平臺(tái)所有可能的情況而設(shè)計(jì)的仿真程序。

除此之外還可以利用圖形界面的放大和旋轉(zhuǎn)功能來(lái)觀察各桿件之間的位置關(guān)系，從而判斷其互相干涉情況。

2.2 仿真過(guò)程羅列

請(qǐng)看圖6。整個(gè)仿真過(guò)程，分為仿真計(jì)算、仿真圖示兩個(gè)大部分。其中仿真計(jì)算是最根本，而且執(zhí)行過(guò)程相對(duì)耗時(shí)，仿真圖示是根據(jù)初始輸入?yún)?shù)把計(jì)算結(jié)果來(lái)顯示出來(lái)。

圖6 仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2.3 仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)

為了使得整個(gè)仿真過(guò)程快速度，作者采用了數(shù)值迭代法。因?yàn)樵诶碚撋喜捎梅?hào)計(jì)算（復(fù)數(shù)域求解）是最全最精確的，而事實(shí)上在matlab中符號(hào)計(jì)算對(duì)于參數(shù)較多，相對(duì)復(fù)雜的方程組，計(jì)算相當(dāng)耗時(shí)。而且返回的結(jié)果不一定齊全。

為了使仿真計(jì)算結(jié)果沒(méi)有遺漏，作者在數(shù)值迭代計(jì)算中合理分布了三個(gè)方程共9個(gè)初值，使得計(jì)算結(jié)果沒(méi)有遺漏，并且避免三角函數(shù)因周期而產(chǎn)生的重復(fù)解。

為了使仿真計(jì)算結(jié)果符合客觀實(shí)際情況，作者采用了數(shù)值篩選，目的之一是去除不符合客觀物理空間復(fù)數(shù)解。目的之二是去除不符合并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)際結(jié)構(gòu)的負(fù)數(shù)解。

整個(gè)計(jì)算機(jī)構(gòu)請(qǐng)看圖7所示。中間計(jì)算解值是指圖（3）中α1～α3三個(gè)角度。

圖3.3仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)

2.4 仿真舉例

當(dāng)輸入?yún)?shù)為a=6，b=9，L1=8，L2=8，L3=8，L4=8，L5=13，L6=15.時(shí)候仿真結(jié)果如下，見(jiàn)圖8，結(jié)果顯示，本初始條件系下，并聯(lián)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)位姿解，其中一個(gè)法線朝上，一個(gè)法線朝下。相應(yīng)的活動(dòng)平臺(tái)頂點(diǎn)坐標(biāo)也顯示在左上角。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析，設(shè)計(jì)用來(lái)求并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解位置的仿真程序，這一來(lái)不但可以快速正確地求得在不同機(jī)構(gòu)參數(shù)下的位置解，而且可以通過(guò)圖示清楚直觀地了解各工作臺(tái)面的和機(jī)器腿在三維空間中的實(shí)際姿態(tài)。

參考文獻(xiàn)

[1]宋偉剛.機(jī)器人學(xué)[J].科學(xué)出版社，2007.

[2]黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制[J].機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

[3]唐錫寬，金德聞.機(jī)械動(dòng)力學(xué)[J].高等教育出版社，1983.endprint