文章編號(hào)： 10055630(2014)02014205

收稿日期： 20131128

摘要： ART(algebraic reconstruction technique)算法是一種適合于投影數(shù)據(jù)采集量比較少的情況的圖像重建算法。利用其進(jìn)行圖像重建時(shí)的主要工作是計(jì)算加權(quán)因子,該計(jì)算方法嚴(yán)重影響圖像重建的重建質(zhì)量和重建速度。討論、研究并仿真了加權(quán)因子的三種計(jì)算模型,經(jīng)比較分析最后得出了一種最優(yōu)的重建模型。

關(guān)鍵詞： 圖像重建; 代數(shù)重建算法; 加權(quán)因子

中圖分類號(hào)： TP 391文獻(xiàn)標(biāo)志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.02.011

Research on several weight factor models of ART

CHEN Liang

(Navy Representative Office of Jiangnan Shipyad Co., Ltd., Shanghai 201913, China)

Abstract： ART (algebraic reconstruction technique) algorithm is fit for data acquisition from incomplete projections. The main work is to solve of weight factor in ART algorithm and the computing method has a strong impact on the quality and speed of image reconstruction. Finally, by discussing, studying and simulating these three computing methods, an optimal reconstruction model is obtained through comparative analysis.

Key words： image reconstruction; algebraic reconstruction technique(ART); weight factor

引言圖像重建算法主要分為解析法和迭代法兩大類。解析法中傳統(tǒng)的濾波反投影(FBP)［1］算法仍然被廣泛使用,它可以在投影數(shù)據(jù)采集完備時(shí)重建出較為準(zhǔn)確的圖像,但當(dāng)投影數(shù)據(jù)采集不完備時(shí),重建出的圖像會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的偽影。這時(shí)一般采用迭代法來解決,迭代重建法的經(jīng)典方法是Gorden等提出的ART(algebraic reconstruction technique)算法［2］,該算法可以在投影數(shù)據(jù)比較少的情況下重建出精確的圖像,其原理是將重建問題轉(zhuǎn)換成用迭代方法求解線性方程組的問題。ART算法的特點(diǎn)是:適合于不完備投影數(shù)據(jù)的圖像重建,重建質(zhì)量好,圖像的密度分辨率高,同時(shí)對(duì)空間分辨率也有很好的保證;其次,重建算法計(jì)算簡(jiǎn)單,不同形式的采樣數(shù)據(jù)重建都適用;另外還可以結(jié)合一些已知的先驗(yàn)知識(shí)得到更準(zhǔn)確的解。由于在ART算法的迭代過程中,每次投影都要計(jì)算修正值,但這些修正值并不是完全相同的,穿過同一個(gè)像素網(wǎng)格時(shí),圖像的誤差修正將會(huì)給重建區(qū)域帶來嚴(yán)重的噪聲,且要想得到較好的重建效果,算法需要進(jìn)行多次迭代,從而導(dǎo)致計(jì)算量大,重建時(shí)間長(zhǎng),因而人們一直關(guān)注的是如何提高該算法的重建效率。ART算法中花費(fèi)時(shí)間最長(zhǎng)的是加權(quán)因子的計(jì)算,本文首先研究了ART算法的3種加權(quán)因子計(jì)算模型,然后通過理論和仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)用3種模型來重建圖像的速度和質(zhì)量進(jìn)行比較分析,得出了實(shí)用的結(jié)論。圖1Radon變換示意圖

Fig.1Diagram of Radon transform1原理

1.1Radon變換在一個(gè)平面內(nèi)對(duì)函數(shù)f(x,y)沿不同的直線做線積分,就得到了函數(shù)f(x,y)的Radon變換［3］。也就是說,平面上每個(gè)點(diǎn)的像函數(shù)值都有一個(gè)原始函數(shù)的線積分值與之對(duì)應(yīng),如圖1所示。光學(xué)儀器第36卷

第2期陳亮：ART算法中幾種加權(quán)因子模型的研究

圖中每條射線的方程用xcosθ+ysinθ=t來表示,夾角為θ的射線的投影值可以表示為Pθ(t)=∫∞－∞∫f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ－t)dxdy(1)圖像重建的任務(wù)就是由各個(gè)方向不同位置的投影值P(t)恢復(fù)出原圖像的分布函數(shù)f(x,y)。

1.2ART算法原理重建圖像的方法有很多種,本文著重介紹和研究ART算法。將待重建的區(qū)域離散成一個(gè)N=n×n的正方形小網(wǎng)格［4］,其中每個(gè)小網(wǎng)格內(nèi)的值fj是指所在的第j個(gè)像素的平均值。根據(jù)圖像成像的物理過程和其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,可以用一個(gè)代數(shù)方程組來表示重建的圖像向量和投影數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,這樣圖像重建問題就變成了求解下列線性方程組的問題:∑Nj=1wijfj=pi,i=1,2,3,…,M(2)其中,M為所有的射線總數(shù),fj為上述所講的投影值,加權(quán)因子wij表示的是第j個(gè)像素對(duì)第i條射線的貢獻(xiàn)值。如果把pi看做一個(gè)超平面,那么f必須為平面上的一點(diǎn),如果至少能夠得到相同數(shù)量的投影值和圖像像素,那么所有的超平面的交點(diǎn)就是最終的唯一解。在實(shí)際情況中,M、N都是很大的數(shù),一般的矩陣?yán)碚摵茈y求出這個(gè)方程組的解,所以通常選用迭代的方法來求解。ART算法的迭代公式為F(i)=F(i－1)－λ(F(i－1)?wi－pi)wi?wi?wi(3)其中λ是松弛因子,一般取值都很小,在0～2之間。由式(3)可以看出,迭代過程中要反復(fù)用到加權(quán)系數(shù)矩陣wi,所以在利用式(3)時(shí)計(jì)算、存儲(chǔ)和訪問wi 是所要面臨的最大困難。通常像素的分布位置和射線的幾何結(jié)構(gòu)是已知的,可以利用這些條件預(yù)先計(jì)算出所有的加權(quán)系數(shù)矩陣wi ,然后將它們?nèi)勘４嬖谟脖P中,等到進(jìn)行迭代的時(shí)候再調(diào)出使用;但是這樣頻繁的硬盤訪問會(huì)嚴(yán)重的影響重建速度,所以最有效的辦法是在迭代過程中實(shí)時(shí)地計(jì)算更新wi ［56］。由此可見用ART算法迭代時(shí)加權(quán)因子wi 的計(jì)算直接關(guān)系到重建的速度和質(zhì)量。以下討論3種計(jì)算加權(quán)因子的不同模型對(duì)圖像重建的影響［7］。2重建模型分析假設(shè)在ART重建模型中,每條射線的寬度均為d,相鄰射線之間的間距為l ,第j個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的像素值大小用fj來表示。以下對(duì)加權(quán)因子的三種不同模型［8］進(jìn)行分析。

2.1模型一如圖2所示,模型一中射線的寬度d與像素網(wǎng)格同寬,而相鄰射線之間的距離l=0,并且將像素值定義在每個(gè)像素網(wǎng)格的中心點(diǎn)處。判斷加權(quán)因子wij值的依據(jù)是每個(gè)小像素網(wǎng)格的中心點(diǎn)在哪條射線中,即如果第j個(gè)像素的中心點(diǎn)包含在第i條射線內(nèi),則加權(quán)因子wij定義為1,否則就定義為0。

2.2模型二 如圖3所示,模型二中射線的寬度d=0,而相鄰射線之間的距離l與像素網(wǎng)格同寬。用第i條射線經(jīng)過第j個(gè)像素時(shí),與網(wǎng)格相交的線段長(zhǎng)度來定義加權(quán)因子wij,圖3中的加權(quán)因子wij=lAB 。

圖2加權(quán)因子重建模型一

Fig.2Model one of weight factor圖3加權(quán)因子重建模型二

Fig.3Model two of weight factor

圖4加權(quán)因子重建模型三

Fig.4Model three of weight factor2.3模型三如圖4所示,模型三對(duì)射線的定義與模型一相同,射線的寬度d與像素網(wǎng)格同寬,而相鄰射線之間的距離l=0。用第i條射線和第j個(gè)像素相重疊的面積占整個(gè)像素小網(wǎng)格的面積的比例來定義加權(quán)因子wij,圖4中的加權(quán)因子wij=SABCD /d2。3實(shí)驗(yàn)結(jié)果為了比較上述所講到的三種模型的不同,選用了128×128的經(jīng)典SheepLogan頭模型來進(jìn)行重建仿真實(shí)驗(yàn)。圖5是180個(gè)投影角度時(shí)分別用3種加權(quán)因子模型進(jìn)行一次迭代后的重建圖像,然后取投影角總數(shù)分別為60,90,180時(shí)進(jìn)行迭代分析。還選用了歸一化平均絕對(duì)距離r和歸一化均方距離判據(jù)q來進(jìn)行誤差比較,用來更精確地反映重建質(zhì)量。兩個(gè)判據(jù)的具體定義為:r=∑Ni=1∑Nj=1xi,j－yi,j∑Ni=1∑Nj=1xi,j(4)

q=∑Ni=1∑Nj=1xi,j－yi,j∑Ni=1∑Nj=1xi,j－x—2212(5)式中,xi,j,yi,j分別是指原圖像和重建后圖像中第i行、j列的像素值;x—?jiǎng)t是指原圖像中所有像素值的平均值。其中q可以較敏感的反映出某幾點(diǎn)產(chǎn)生較大誤差的情況,而r則可以較敏感的反映出許多點(diǎn)均有的一些小誤差的情況。這兩個(gè)判據(jù)q和r的值越小,表示重建圖像與原圖像的誤差越小,質(zhì)量也就越好。表1是三種模型分別在60、90、180個(gè)投影角度下所用的重建時(shí)間,表2和表3則列出了用3種加權(quán)因子模型重建下的兩個(gè)判據(jù)值。由上述結(jié)果可以看出模型三重建的效果最好,但是由于模型三在計(jì)算時(shí)要計(jì)算每條射線與每個(gè)像素之間相交的面積,而大部分面積卻是不規(guī)則的,所以計(jì)算加權(quán)因子所需要的時(shí)間就比較長(zhǎng),也就是說模型三這一計(jì)算加權(quán)因子的方法沒有重建速度上的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于模型一,其在計(jì)算加權(quán)因子時(shí)將加權(quán)因子簡(jiǎn)化成只有1和0兩個(gè)值,大大提高了重建的速度,縮短了迭代過程所需要的時(shí)間。但是這種簡(jiǎn)化加權(quán)因子的方法往往會(huì)引起相鄰方程之間的矛盾,給重建結(jié)果加入了噪聲,并且當(dāng)某一步迭代出現(xiàn)誤差后,誤差就會(huì)直接傳遞到后面的迭代過程中,使得這種模型重建出的圖像質(zhì)量比較差,常常會(huì)出現(xiàn)椒鹽(salt and pepper)現(xiàn)象 。而模型二中計(jì)算加權(quán)因子時(shí)僅僅計(jì)算了每條射線穿過每個(gè)像素的長(zhǎng)度,計(jì)算量小并且能夠通過一定的算法快速實(shí)現(xiàn),另外模型二中射線束所穿過的像素?cái)?shù)目一般比模型三中射線束所覆蓋的像素?cái)?shù)目少,重建時(shí)間也就比模型三大大的縮短了,但是重建質(zhì)量卻可以基本與模型三相當(dāng)。

圖5180個(gè)投影角度時(shí)3種加權(quán)因子重建模型重建后的圖像

Fig.5Reconstruction image with three weight factor models at 180 projections

表1三種重建模型

所用時(shí)間表

Tab.1Time of three

reconstruction modelss

重建模型模型一模型二模型三60個(gè)投影角度5.087.1710.1790個(gè)投影角度7.329.4812.55180個(gè)投影角度14.2115.9823.09

表2三種重建模型重建圖像的

歸一化平均絕對(duì)距離r

Tab.2The normalized mean absolute

distance of three reconstruction models

重建模型模型一模型二模型三60個(gè)投影角度0.946 30.706 70.699 290個(gè)投影角度0.985 30.727 90.716 6180個(gè)投影角度1.213 30.776 30.760 8

表3三種重建模型重建圖像的

歸一化均方距離q

Tab.3The normalized mean square

distance of three reconstruction models

重建模型模型一模型二模型三60個(gè)投影角度1.139 20.667 10.657 390個(gè)投影角度1.357 40.708 50.698 1180個(gè)投影角度1.581 00.790 40.774 9

針對(duì)模型二用第i條射線經(jīng)過第j個(gè)像素的長(zhǎng)度來定義加權(quán)因子wij來說,最基本的計(jì)算方法是siddon算法［9］,但是siddon算法的計(jì)算時(shí)間比較長(zhǎng),效率比較低。很多學(xué)者對(duì)模型二的計(jì)算方法已經(jīng)做了大量的研究,目前國內(nèi)已經(jīng)提出的加權(quán)因子的計(jì)算方法有:張順利,張定華等提出的快速網(wǎng)格遍歷算法［5］;劉郁紀(jì),李公平等提出的siddon改進(jìn)算法［8］;楊文良,魏東波等提出的改進(jìn)的逐點(diǎn)遍歷法［10］等。ART迭代算法的速度在不斷地提高,其重建時(shí)間上的瓶頸也在不斷被打破。4結(jié)論本文對(duì)ART算法的三種加權(quán)因子計(jì)算模型進(jìn)行了研究、比較和分析,得出以下結(jié)論:模型一重建時(shí)間比較短,但重建質(zhì)量卻很差,并且伴隨著嚴(yán)重的椒鹽噪聲; 模型三重建質(zhì)量最好,但花費(fèi)的重建時(shí)間卻相對(duì)比較長(zhǎng);模型二可以在重建時(shí)間大大縮短的情況下使得圖像的重建質(zhì)量與模型三相當(dāng)。因此,要想同時(shí)保持較好的重建質(zhì)量和較快的重建速度,ART迭代過程中加權(quán)因子計(jì)算模型的最佳選擇就是模型二。需要指出的是,除了加權(quán)因子模型本身外,還有其他一些因素嚴(yán)重影響著ART算法的重建速度和重建質(zhì)量,例如投影數(shù)據(jù)的訪問方式［11］、松弛因子［12］的選擇以及先驗(yàn)知識(shí)等。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷提高,ART算法的重建速度和重建質(zhì)量都將會(huì)有更大程度上的提高。參考文獻(xiàn)：

［1］HERMAN G T.Image reconstruction from projections:the fundamentals of computerized tomography［M］.New York:Academic Press,1980.

［2］GORDON R,BENDER R,HERMAN G T.Algebraic reconstruction techniques(ART)for threedimensional electron microscopy and xray photography［J］.Journal of Theoretical Biology,1970,29(3):471481.

［3］SMITH K T,SOLMON D C,WAGNER S L.Practical and mathematical aspects of the problem of reconstructing objects from radiographs［J］.Bulletin of the American Mathematical Society,1997,83(6):10831330.

［4］李占述,葉海霞,徐伯慶.一種數(shù)字圖像隨機(jī)噪聲的估計(jì)及利用MATLAB的實(shí)現(xiàn)［J］.裝備制造技術(shù),2009(6):12,24.

［5］張順利,張定華,王凱,等.一種基于ART算法的快速圖像重建技術(shù)［J］.核電子學(xué)與探測(cè)技術(shù),2007,27(3):479483.

［6］張順利.ART算法幾種重建模型的研究和比較［J］.航空計(jì)算技術(shù),2005,35(2):3941.

［7］杜磊,徐伯慶,韓彥芳,等.一種CT圖像的肺實(shí)質(zhì)分割方法［J］.光學(xué)儀器,2011,33(1):2933.

［8］劉郁紀(jì),李公平,湯振興,等.工業(yè)CT中ART算法權(quán)因子的研究［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2010,22(3):7579.

［9］SIDDON R L.Fast calculation of the exact radiological path for a threedimensional CT array［J］.Medical Physics,1985,12(2):252255.

［10］楊文良,魏東波.一種改進(jìn)投影系數(shù)計(jì)算的快速ART算法［J］.CT理論與應(yīng)用研究,2012,21(2):187195.

［11］王宏鈞,路宏年,傅鍵.代數(shù)重建技術(shù)中投影序列選擇次序的研究［J］.光學(xué)技術(shù),2006,32(3):389391.

［12］張順利,張定華,王成,等.投影數(shù)對(duì)ART算法重建質(zhì)量的影響［J］.無損檢測(cè),2008,30(12):889891.

q=∑Ni=1∑Nj=1xi,j－yi,j∑Ni=1∑Nj=1xi,j－x—2212(5)式中,xi,j,yi,j分別是指原圖像和重建后圖像中第i行、j列的像素值;x—?jiǎng)t是指原圖像中所有像素值的平均值。其中q可以較敏感的反映出某幾點(diǎn)產(chǎn)生較大誤差的情況,而r則可以較敏感的反映出許多點(diǎn)均有的一些小誤差的情況。這兩個(gè)判據(jù)q和r的值越小,表示重建圖像與原圖像的誤差越小,質(zhì)量也就越好。表1是三種模型分別在60、90、180個(gè)投影角度下所用的重建時(shí)間,表2和表3則列出了用3種加權(quán)因子模型重建下的兩個(gè)判據(jù)值。由上述結(jié)果可以看出模型三重建的效果最好,但是由于模型三在計(jì)算時(shí)要計(jì)算每條射線與每個(gè)像素之間相交的面積,而大部分面積卻是不規(guī)則的,所以計(jì)算加權(quán)因子所需要的時(shí)間就比較長(zhǎng),也就是說模型三這一計(jì)算加權(quán)因子的方法沒有重建速度上的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于模型一,其在計(jì)算加權(quán)因子時(shí)將加權(quán)因子簡(jiǎn)化成只有1和0兩個(gè)值,大大提高了重建的速度,縮短了迭代過程所需要的時(shí)間。但是這種簡(jiǎn)化加權(quán)因子的方法往往會(huì)引起相鄰方程之間的矛盾,給重建結(jié)果加入了噪聲,并且當(dāng)某一步迭代出現(xiàn)誤差后,誤差就會(huì)直接傳遞到后面的迭代過程中,使得這種模型重建出的圖像質(zhì)量比較差,常常會(huì)出現(xiàn)椒鹽(salt and pepper)現(xiàn)象 。而模型二中計(jì)算加權(quán)因子時(shí)僅僅計(jì)算了每條射線穿過每個(gè)像素的長(zhǎng)度,計(jì)算量小并且能夠通過一定的算法快速實(shí)現(xiàn),另外模型二中射線束所穿過的像素?cái)?shù)目一般比模型三中射線束所覆蓋的像素?cái)?shù)目少,重建時(shí)間也就比模型三大大的縮短了,但是重建質(zhì)量卻可以基本與模型三相當(dāng)。

圖5180個(gè)投影角度時(shí)3種加權(quán)因子重建模型重建后的圖像

Fig.5Reconstruction image with three weight factor models at 180 projections

表1三種重建模型

所用時(shí)間表

Tab.1Time of three

reconstruction modelss

重建模型模型一模型二模型三60個(gè)投影角度5.087.1710.1790個(gè)投影角度7.329.4812.55180個(gè)投影角度14.2115.9823.09

表2三種重建模型重建圖像的

歸一化平均絕對(duì)距離r

Tab.2The normalized mean absolute

distance of three reconstruction models

重建模型模型一模型二模型三60個(gè)投影角度0.946 30.706 70.699 290個(gè)投影角度0.985 30.727 90.716 6180個(gè)投影角度1.213 30.776 30.760 8

表3三種重建模型重建圖像的

歸一化均方距離q

Tab.3The normalized mean square

distance of three reconstruction models

重建模型模型一模型二模型三60個(gè)投影角度1.139 20.667 10.657 390個(gè)投影角度1.357 40.708 50.698 1180個(gè)投影角度1.581 00.790 40.774 9

針對(duì)模型二用第i條射線經(jīng)過第j個(gè)像素的長(zhǎng)度來定義加權(quán)因子wij來說,最基本的計(jì)算方法是siddon算法［9］,但是siddon算法的計(jì)算時(shí)間比較長(zhǎng),效率比較低。很多學(xué)者對(duì)模型二的計(jì)算方法已經(jīng)做了大量的研究,目前國內(nèi)已經(jīng)提出的加權(quán)因子的計(jì)算方法有:張順利,張定華等提出的快速網(wǎng)格遍歷算法［5］;劉郁紀(jì),李公平等提出的siddon改進(jìn)算法［8］;楊文良,魏東波等提出的改進(jìn)的逐點(diǎn)遍歷法［10］等。ART迭代算法的速度在不斷地提高,其重建時(shí)間上的瓶頸也在不斷被打破。4結(jié)論本文對(duì)ART算法的三種加權(quán)因子計(jì)算模型進(jìn)行了研究、比較和分析,得出以下結(jié)論:模型一重建時(shí)間比較短,但重建質(zhì)量卻很差,并且伴隨著嚴(yán)重的椒鹽噪聲; 模型三重建質(zhì)量最好,但花費(fèi)的重建時(shí)間卻相對(duì)比較長(zhǎng);模型二可以在重建時(shí)間大大縮短的情況下使得圖像的重建質(zhì)量與模型三相當(dāng)。因此,要想同時(shí)保持較好的重建質(zhì)量和較快的重建速度,ART迭代過程中加權(quán)因子計(jì)算模型的最佳選擇就是模型二。需要指出的是,除了加權(quán)因子模型本身外,還有其他一些因素嚴(yán)重影響著ART算法的重建速度和重建質(zhì)量,例如投影數(shù)據(jù)的訪問方式［11］、松弛因子［12］的選擇以及先驗(yàn)知識(shí)等。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷提高,ART算法的重建速度和重建質(zhì)量都將會(huì)有更大程度上的提高。參考文獻(xiàn)：

［1］HERMAN G T.Image reconstruction from projections:the fundamentals of computerized tomography［M］.New York:Academic Press,1980.

［2］GORDON R,BENDER R,HERMAN G T.Algebraic reconstruction techniques(ART)for threedimensional electron microscopy and xray photography［J］.Journal of Theoretical Biology,1970,29(3):471481.

［3］SMITH K T,SOLMON D C,WAGNER S L.Practical and mathematical aspects of the problem of reconstructing objects from radiographs［J］.Bulletin of the American Mathematical Society,1997,83(6):10831330.

［4］李占述,葉海霞,徐伯慶.一種數(shù)字圖像隨機(jī)噪聲的估計(jì)及利用MATLAB的實(shí)現(xiàn)［J］.裝備制造技術(shù),2009(6):12,24.

［5］張順利,張定華,王凱,等.一種基于ART算法的快速圖像重建技術(shù)［J］.核電子學(xué)與探測(cè)技術(shù),2007,27(3):479483.

［6］張順利.ART算法幾種重建模型的研究和比較［J］.航空計(jì)算技術(shù),2005,35(2):3941.

［7］杜磊,徐伯慶,韓彥芳,等.一種CT圖像的肺實(shí)質(zhì)分割方法［J］.光學(xué)儀器,2011,33(1):2933.

［8］劉郁紀(jì),李公平,湯振興,等.工業(yè)CT中ART算法權(quán)因子的研究［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2010,22(3):7579.

［9］SIDDON R L.Fast calculation of the exact radiological path for a threedimensional CT array［J］.Medical Physics,1985,12(2):252255.

［10］楊文良,魏東波.一種改進(jìn)投影系數(shù)計(jì)算的快速ART算法［J］.CT理論與應(yīng)用研究,2012,21(2):187195.

［11］王宏鈞,路宏年,傅鍵.代數(shù)重建技術(shù)中投影序列選擇次序的研究［J］.光學(xué)技術(shù),2006,32(3):389391.

［12］張順利,張定華,王成,等.投影數(shù)對(duì)ART算法重建質(zhì)量的影響［J］.無損檢測(cè),2008,30(12):889891.

q=∑Ni=1∑Nj=1xi,j－yi,j∑Ni=1∑Nj=1xi,j－x—2212(5)式中,xi,j,yi,j分別是指原圖像和重建后圖像中第i行、j列的像素值;x—?jiǎng)t是指原圖像中所有像素值的平均值。其中q可以較敏感的反映出某幾點(diǎn)產(chǎn)生較大誤差的情況,而r則可以較敏感的反映出許多點(diǎn)均有的一些小誤差的情況。這兩個(gè)判據(jù)q和r的值越小,表示重建圖像與原圖像的誤差越小,質(zhì)量也就越好。表1是三種模型分別在60、90、180個(gè)投影角度下所用的重建時(shí)間,表2和表3則列出了用3種加權(quán)因子模型重建下的兩個(gè)判據(jù)值。由上述結(jié)果可以看出模型三重建的效果最好,但是由于模型三在計(jì)算時(shí)要計(jì)算每條射線與每個(gè)像素之間相交的面積,而大部分面積卻是不規(guī)則的,所以計(jì)算加權(quán)因子所需要的時(shí)間就比較長(zhǎng),也就是說模型三這一計(jì)算加權(quán)因子的方法沒有重建速度上的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于模型一,其在計(jì)算加權(quán)因子時(shí)將加權(quán)因子簡(jiǎn)化成只有1和0兩個(gè)值,大大提高了重建的速度,縮短了迭代過程所需要的時(shí)間。但是這種簡(jiǎn)化加權(quán)因子的方法往往會(huì)引起相鄰方程之間的矛盾,給重建結(jié)果加入了噪聲,并且當(dāng)某一步迭代出現(xiàn)誤差后,誤差就會(huì)直接傳遞到后面的迭代過程中,使得這種模型重建出的圖像質(zhì)量比較差,常常會(huì)出現(xiàn)椒鹽(salt and pepper)現(xiàn)象 。而模型二中計(jì)算加權(quán)因子時(shí)僅僅計(jì)算了每條射線穿過每個(gè)像素的長(zhǎng)度,計(jì)算量小并且能夠通過一定的算法快速實(shí)現(xiàn),另外模型二中射線束所穿過的像素?cái)?shù)目一般比模型三中射線束所覆蓋的像素?cái)?shù)目少,重建時(shí)間也就比模型三大大的縮短了,但是重建質(zhì)量卻可以基本與模型三相當(dāng)。

圖5180個(gè)投影角度時(shí)3種加權(quán)因子重建模型重建后的圖像

Fig.5Reconstruction image with three weight factor models at 180 projections

表1三種重建模型

所用時(shí)間表

Tab.1Time of three

reconstruction modelss

重建模型模型一模型二模型三60個(gè)投影角度5.087.1710.1790個(gè)投影角度7.329.4812.55180個(gè)投影角度14.2115.9823.09

表2三種重建模型重建圖像的

歸一化平均絕對(duì)距離r

Tab.2The normalized mean absolute

distance of three reconstruction models

重建模型模型一模型二模型三60個(gè)投影角度0.946 30.706 70.699 290個(gè)投影角度0.985 30.727 90.716 6180個(gè)投影角度1.213 30.776 30.760 8

表3三種重建模型重建圖像的

歸一化均方距離q

Tab.3The normalized mean square

distance of three reconstruction models

重建模型模型一模型二模型三60個(gè)投影角度1.139 20.667 10.657 390個(gè)投影角度1.357 40.708 50.698 1180個(gè)投影角度1.581 00.790 40.774 9

針對(duì)模型二用第i條射線經(jīng)過第j個(gè)像素的長(zhǎng)度來定義加權(quán)因子wij來說,最基本的計(jì)算方法是siddon算法［9］,但是siddon算法的計(jì)算時(shí)間比較長(zhǎng),效率比較低。很多學(xué)者對(duì)模型二的計(jì)算方法已經(jīng)做了大量的研究,目前國內(nèi)已經(jīng)提出的加權(quán)因子的計(jì)算方法有:張順利,張定華等提出的快速網(wǎng)格遍歷算法［5］;劉郁紀(jì),李公平等提出的siddon改進(jìn)算法［8］;楊文良,魏東波等提出的改進(jìn)的逐點(diǎn)遍歷法［10］等。ART迭代算法的速度在不斷地提高,其重建時(shí)間上的瓶頸也在不斷被打破。4結(jié)論本文對(duì)ART算法的三種加權(quán)因子計(jì)算模型進(jìn)行了研究、比較和分析,得出以下結(jié)論:模型一重建時(shí)間比較短,但重建質(zhì)量卻很差,并且伴隨著嚴(yán)重的椒鹽噪聲; 模型三重建質(zhì)量最好,但花費(fèi)的重建時(shí)間卻相對(duì)比較長(zhǎng);模型二可以在重建時(shí)間大大縮短的情況下使得圖像的重建質(zhì)量與模型三相當(dāng)。因此,要想同時(shí)保持較好的重建質(zhì)量和較快的重建速度,ART迭代過程中加權(quán)因子計(jì)算模型的最佳選擇就是模型二。需要指出的是,除了加權(quán)因子模型本身外,還有其他一些因素嚴(yán)重影響著ART算法的重建速度和重建質(zhì)量,例如投影數(shù)據(jù)的訪問方式［11］、松弛因子［12］的選擇以及先驗(yàn)知識(shí)等。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷提高,ART算法的重建速度和重建質(zhì)量都將會(huì)有更大程度上的提高。參考文獻(xiàn)：

［1］HERMAN G T.Image reconstruction from projections:the fundamentals of computerized tomography［M］.New York:Academic Press,1980.

［2］GORDON R,BENDER R,HERMAN G T.Algebraic reconstruction techniques(ART)for threedimensional electron microscopy and xray photography［J］.Journal of Theoretical Biology,1970,29(3):471481.

［3］SMITH K T,SOLMON D C,WAGNER S L.Practical and mathematical aspects of the problem of reconstructing objects from radiographs［J］.Bulletin of the American Mathematical Society,1997,83(6):10831330.

［4］李占述,葉海霞,徐伯慶.一種數(shù)字圖像隨機(jī)噪聲的估計(jì)及利用MATLAB的實(shí)現(xiàn)［J］.裝備制造技術(shù),2009(6):12,24.

［5］張順利,張定華,王凱,等.一種基于ART算法的快速圖像重建技術(shù)［J］.核電子學(xué)與探測(cè)技術(shù),2007,27(3):479483.

［6］張順利.ART算法幾種重建模型的研究和比較［J］.航空計(jì)算技術(shù),2005,35(2):3941.

［7］杜磊,徐伯慶,韓彥芳,等.一種CT圖像的肺實(shí)質(zhì)分割方法［J］.光學(xué)儀器,2011,33(1):2933.

［8］劉郁紀(jì),李公平,湯振興,等.工業(yè)CT中ART算法權(quán)因子的研究［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2010,22(3):7579.

［9］SIDDON R L.Fast calculation of the exact radiological path for a threedimensional CT array［J］.Medical Physics,1985,12(2):252255.

［10］楊文良,魏東波.一種改進(jìn)投影系數(shù)計(jì)算的快速ART算法［J］.CT理論與應(yīng)用研究,2012,21(2):187195.

［11］王宏鈞,路宏年,傅鍵.代數(shù)重建技術(shù)中投影序列選擇次序的研究［J］.光學(xué)技術(shù),2006,32(3):389391.

［12］張順利,張定華,王成,等.投影數(shù)對(duì)ART算法重建質(zhì)量的影響［J］.無損檢測(cè),2008,30(12):889891.