趙麗平，包為民，張 坤

1.河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098 2.河海大學(xué)水文水資源學(xué)院， 南京 210098

新安江模型參數(shù)的線性化率定

趙麗平1,2，包為民1,2，張 坤1,2

1.河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098 2.河海大學(xué)水文水資源學(xué)院， 南京 210098

為了解決一般概念性水文模型參數(shù)率定結(jié)果不穩(wěn)定的問題，以新安江模型為例，提出了新安江模型日模參數(shù)的線性化率定方法。首先通過理想模型將該方法與SCE-UA方法及單純形方法進(jìn)行對比研究。率定結(jié)果中3種算法所獲得的平均目標(biāo)函數(shù)值分別為0.02、0.10、8.39 m3/s，平均循環(huán)次數(shù)分別為8、637、327，而且由線性化率定方法所獲得的各參數(shù)值方差也要比其他2種方法小得多；說明線性化率定方法能夠找到參數(shù)真值，計(jì)算精度和效率更高，率定結(jié)果更穩(wěn)定。然后采用建陽和長灘河2個流域的實(shí)測資料對該方法進(jìn)行應(yīng)用檢驗(yàn)，結(jié)果表明，同樣可以較快地率定出穩(wěn)定的模型參數(shù)優(yōu)值。建陽流域的10組率定結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值皆為100.35 m3/s，循環(huán)次數(shù)也皆在8次以內(nèi)，而且2個流域檢驗(yàn)期的徑流深相對誤差皆在9.68%以內(nèi)，確定性系數(shù)皆在0.819以上。因此，線性化參數(shù)率定方法確實(shí)能夠解決非線性模型參數(shù)率定結(jié)果不穩(wěn)定的問題，不會產(chǎn)生不相關(guān)的局部參數(shù)優(yōu)值，并且不受參數(shù)初值影響，計(jì)算精度高，循環(huán)次數(shù)少，是一種可行有效的全局優(yōu)值參數(shù)優(yōu)選方法。

參數(shù)優(yōu)選；線性化參數(shù)率定方法；新安江模型；日模

0 引言

流域水文模型在進(jìn)行水文規(guī)律研究和解決生產(chǎn)實(shí)際問題中起著重要的作用，其由模型結(jié)構(gòu)和模型參數(shù)共同組成，在模型結(jié)構(gòu)確定后，模型參數(shù)的確定就顯得尤為重要，模型模擬得好壞很大程度上依賴于模型參數(shù)的選擇[1]。目前參數(shù)優(yōu)選的手段可分為2類：人工優(yōu)選(試錯法)和自動優(yōu)選。人工試錯法因耗時耗力，受人為主觀因素影響，傳承性不高；自動優(yōu)選不僅可以節(jié)約人力物力、降低模型使用成本，而且有利于模型的進(jìn)一步推廣應(yīng)用。模型參數(shù)自動優(yōu)選方法可以分為傳統(tǒng)優(yōu)化算法與現(xiàn)代優(yōu)化算法：傳統(tǒng)優(yōu)化算法包括單純形方法[2]、Rosenbrock法[3]、Powell法[4]、Newton法[5]等，它們都是與初始點(diǎn)有關(guān)的局部優(yōu)化方法，常常是找出初始點(diǎn)附近的一個極值點(diǎn)，不同的初始點(diǎn)往往獲得不同的結(jié)果，不能保證獲得的為全局優(yōu)值；現(xiàn)代優(yōu)化算法包括模擬退火法[6]、SCE-UA算法[7]、遺傳算法[8-10]、粒子群優(yōu)化方法[11]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[12]等，這些方法以尋找全局優(yōu)值為出發(fā)點(diǎn)，構(gòu)建確定性尋找信息與隨機(jī)相結(jié)合的率定方法，試圖避免傳統(tǒng)方法存在的問題，以得到全局最優(yōu)的、唯一的參數(shù)估計(jì)，但該類方法同樣無法證明所獲得的參數(shù)值是否為全局最優(yōu)，甚至連參數(shù)估計(jì)方法本身的收斂性也常難以證明，只在概率意義上分析能收斂于全局優(yōu)值。

包為民[13-14]在20世紀(jì)80年代就提出，現(xiàn)有參數(shù)估計(jì)方法的根本問題在于目標(biāo)函數(shù)的黑箱子結(jié)構(gòu)和基于目標(biāo)函數(shù)的信息利用方法。迄今為止，大多數(shù)目標(biāo)函數(shù)還是沿用傳統(tǒng)的誤差平方和形式，以此作為確定參數(shù)的信息依據(jù)[13,15]，通常包括構(gòu)建誤差平方和目標(biāo)函數(shù)與一階函數(shù)求導(dǎo)為0得參數(shù)優(yōu)值解兩步操作。這一做法對于線性參數(shù)的率定沒有任何問題，可以得到唯一解，但在率定非線性函數(shù)參數(shù)時，會增加不相關(guān)的局部參數(shù)優(yōu)值解，致使參數(shù)率定結(jié)果不穩(wěn)定；為此包為民等[16]提出了非線性函數(shù)參數(shù)的線性化率定方法，解決了額外增加不相關(guān)局部優(yōu)值的理論性問題，并證明了該方法的收斂性，同時檢驗(yàn)了其合理性。筆者將這一新的參數(shù)率定方法與新安江模型結(jié)合，首先利用理想模型將該方法與SCE-UA方法及單純形方法進(jìn)行對比研究，驗(yàn)證該方法的可行性，然后再將其運(yùn)用到2個實(shí)測流域進(jìn)行應(yīng)用檢驗(yàn)。

1 非線性參數(shù)的線性化率定方法

1.1 線性化參數(shù)率定方法的基本原理

針對一般參數(shù)為n次的非線性函數(shù)f=x+θx+(θx)2+…+(θx)n,n≥2(θ為參數(shù)，x為自變量向量)，若{xi，fi，i=1，2，…，L}(L為觀測樣本總數(shù)目)為其觀測樣本，則誤差平方和目標(biāo)函數(shù)為

(1)

對其參數(shù)一階求導(dǎo)后得：

(2)

令其為0便會得到2n-1個解，增加了n-1個不相關(guān)的局部參數(shù)優(yōu)值。然而對線性參數(shù)不存在這種問題，因此一個自然的想法就是先把非線性參數(shù)函數(shù)以參數(shù)作為自變量進(jìn)行線性化，即進(jìn)行一階泰勒展開，使非線性參數(shù)率定問題轉(zhuǎn)化為線性參數(shù)率定問題，然后再以誤差平方和為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行率定，這樣便可以解決額外不相關(guān)的局部參數(shù)優(yōu)值問題，整個率定過程也是一個逐步迭代逼近優(yōu)值的過程。

舉例來說，假設(shè)通過線性化率定方法來率定非線性參數(shù)函數(shù)f=f(θ，xk)中的參數(shù)，其中θ為n維的參數(shù)向量，xk為第k個樣本自變量?，F(xiàn)以參數(shù)作為自變量進(jìn)行線性化(為了便于寫通式，假設(shè)率定進(jìn)行到第j步)，即進(jìn)行一階泰勒展開得

(3)

假設(shè)參數(shù)率定中有L組觀測樣本：(x1，f1)，(x2，f2)，…，(xL，fL)，代入式(3)并寫成向量矩陣形式：

(4)

式中：

S=

(5)

但是，式(4)只是實(shí)際函數(shù)的線性化近似，故由式(5)得出的θ(j+1)不一定為尋找方向上的最優(yōu)值，還需對其進(jìn)行修正，做法是乘以一個修正尺度系數(shù)b，即

(6)

從而使得實(shí)際誤差函數(shù)在尋找方向上為最優(yōu)的。系數(shù)b的取值范圍為(0，1),可根據(jù)計(jì)算值與實(shí)際值的誤差平方和最小確定：

(7)

從而，線性化參數(shù)率定方法根據(jù)式(5)確定參數(shù)尋找方向，根據(jù)式(6)和(7)確定參數(shù)變化步長，這樣既確保了尋找方向的正確性又使得尋找方向上的誤差最小。

1.2 線性化參數(shù)率定方法的基本步驟

由于該率定方法是基于對實(shí)際函數(shù)的線性化近似，必然存在誤差，故使用其率定參數(shù)的過程也是一個逐步循環(huán)迭代逼近參數(shù)優(yōu)值的過程，具體計(jì)算流程可用圖1表示。

圖1 線性化參數(shù)率定方法流程圖Fig.1 Flowchart of the linearized calibration method

本文所采用的目標(biāo)函數(shù)為均方根誤差(root mean square error)：

(8)

式中：Qob(i)為實(shí)測流量序列；Qc(i)為計(jì)算流量序列。

2 新安江模型簡介

新安江模型是由河海大學(xué)趙人俊教授[17]所提出的，廣泛地適用于我國濕潤及半濕潤地區(qū)。該模型考慮了降雨及下墊面分布的不均勻性，首先將流域劃分成若干個子單元，對每個子單元進(jìn)行蒸散發(fā)、產(chǎn)流、分水源和匯流計(jì)算，得到單元流域出口流量過程；然后再進(jìn)行單元流域出口以下的河道匯流計(jì)算，得到該單元流域在全流域出口斷面的流量過程；最后將每個單元流域在全流域出口斷面的流量過程進(jìn)行線性疊加，得到全流域總的出口流量過程。在本文中，蒸散發(fā)計(jì)算采用三層蒸發(fā)模型；產(chǎn)流計(jì)算采用蓄滿產(chǎn)流計(jì)算模型；分水源采用自由水蓄水庫結(jié)構(gòu)將總徑流劃分為地表徑流、壤中流和地下徑流3種成分；坡面匯流采用線性水庫進(jìn)行計(jì)算；河道匯流采用馬斯京根法。

模型中共包括15個參數(shù)。蒸散發(fā)計(jì)算參數(shù)：流域蒸散發(fā)折算系數(shù)K，上層張力水容量UM，下層張力水容量LM，深層蒸散發(fā)折算系數(shù)C；產(chǎn)流參數(shù)：流域平均張力水容量WM，張力水蓄水容量曲線方次B；分水源參數(shù)有表層自由水蓄水容量SM，表層自由水蓄水容量曲線方次EX，表層自由水蓄水庫對地下水的日出流系數(shù)KG，表層自由水蓄水庫對壤中流的日出流系數(shù)KI；匯流參數(shù)：地表徑流消退系數(shù)CS，壤中流消退系數(shù)CI，地下徑流消退系數(shù)CG；馬斯京根法的2個演算參數(shù)：KE和XE。其中，敏感參數(shù)有9個，分別是K，SM，KI，KG，CS，CI，CG，KE，XE。由于本文所使用的資料是基于日尺度的，所以KE與XE也表現(xiàn)為相對不敏感。不敏感參數(shù)可通過一般經(jīng)驗(yàn)和流域特性而確定，不必參與優(yōu)選。另外，為了解決水源劃分中參數(shù)不獨(dú)立的問題，根據(jù)壤中流退水歷時一般為3 d左右，采用結(jié)構(gòu)約束KI+KG=0.7。因此，本文暫且只對K，SM，KG，CS，CI，CG這6個敏感參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選研究。

3 實(shí)例應(yīng)用

3.1 實(shí)驗(yàn)流域簡介

所選研究區(qū)域?yàn)榻柫饔蚺c長灘河流域。建陽流域面積為4 848 km2，屬于閩江干流上的一個子流域，地處亞熱帶季風(fēng)氣候區(qū)，氣候溫和，雨量充沛，多年平均降水量為1 400～2 400 mm，多年平均蒸發(fā)量為915 mm，所采用的資料是該流域1986-2000年逐日降雨、逐日蒸發(fā)及逐日流量資料；長灘河流域面積為2 034 km2，地處亞熱帶濕潤季風(fēng)氣候區(qū)，季風(fēng)氣候明顯，呈現(xiàn)冬無嚴(yán)寒、夏無酷暑、暖濕多雨的特點(diǎn)，年平均氣溫為16～18 ℃，暴雨多于6-9月份出現(xiàn)，多年平均降雨量約1 200 mm，徑流主要靠降雨補(bǔ)給，其變化趨勢與降雨一致，所采用的資料是該流域1974-1986年的逐日資料。

3.2 理想模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證線性化參數(shù)率定方法的可行性和有效性，采用理想模型對該方法與SCE-UA方法[7]及單純形方法[18]進(jìn)行了對比分析研究。所謂理想模型是指模型參數(shù)、輸入、輸出及誤差皆為已知的模型。先給定一組模型參數(shù)值，即理想模型參數(shù)真值(表1)；再利用建陽流域1986-2000年的逐日降雨和蒸發(fā)資料與新安江模型進(jìn)行出口斷面的流量計(jì)算，以計(jì)算的流量作為理想實(shí)測流量；即生成無誤差的理想模型。

表2、表3及表4分別列出了10組不同參數(shù)初值的3種方法率定結(jié)果，從表2-表4可以看出：

1)比較方差可知：隨機(jī)生成的參數(shù)初值對線性化參數(shù)率定結(jié)果影響最小，率定結(jié)果最穩(wěn)定；SCE-UA方法次之；而對單純形方法影響較大，率定結(jié)果不穩(wěn)定。

表1 理想模型參數(shù)真值

表2 不同參數(shù)初值的線性化方法率定結(jié)果

注:J為每組初值尋找優(yōu)值的循環(huán)次數(shù)，下同。

表3 不同參數(shù)初值的SCE-UA方法率定結(jié)果

表4 不同參數(shù)初值的單純形方法率定結(jié)果

2)比較F可知：線性化參數(shù)率定方法客觀并且計(jì)算精度最高；SCE-UA方法次之；單純形方法計(jì)算精度最低。在線性化率定方法中，各參數(shù)率定結(jié)果均可以認(rèn)為已經(jīng)率定到“參數(shù)真值”，而且誤差目標(biāo)函數(shù)值很小，取值為0.01 m3/s或0.02 m3/s；SCE-UA方法的率定結(jié)果也可以認(rèn)為已經(jīng)率定到“參數(shù)真值”，但計(jì)算精度略差于線性化率定方法，誤差目標(biāo)函數(shù)值最小為0.01 m3/s，最大為0.20 m3/s，平均值為0.10 m3/s；而在單純形方法率定結(jié)果中，各參數(shù)與“參數(shù)真值”差別較大，誤差目標(biāo)函數(shù)值也很大，最大為26.83 m3/s，最小為0.87 m3/s，平均值為8.39 m3/s。

3)比較J可知：線性化率定方法循環(huán)次數(shù)最少，率定效率最高；單純形方法次之；SCE-UA方法最慢。10組率定結(jié)果中：采用線性化率定方法，最少的只要6次便找到了優(yōu)值，最多的也只需12次，平均值為8；采用單純形方法，最少的需要151次，最多的需要465次，平均值為327；而采用SCE-UA方法最少需要429次，最多需要897次，平均值為637。

圖2展示了10組不同初始值下，3種優(yōu)化算法的精度(最終目標(biāo)函數(shù)值)與效率(循環(huán)次數(shù))；圖3則展示了對于第1組參數(shù)初值采用3種方法率定時，目標(biāo)函數(shù)值的具體變化情況。從圖2可以明顯地看出：無論計(jì)算精度還是效率，線性化率定方法都明顯優(yōu)于其他2種方法；由于線性化率定方法10組率定結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值與循環(huán)次數(shù)都較小而且差別不大，所以10個點(diǎn)幾乎重疊在一起，這也說明了率定結(jié)果穩(wěn)定，沒有出現(xiàn)不唯一的現(xiàn)象。從圖3可以看出：線性化率定方法收斂速度最快，整個率定過程只需要7步循環(huán)，循環(huán)進(jìn)行到第3步時，目標(biāo)函數(shù)值就已經(jīng)變得很小，說明線性化參數(shù)率定方法可以準(zhǔn)確地確定尋優(yōu)方向，收斂性能較好，計(jì)算精度較高；而SCE-UA方法與單純形方法則都需上百次循環(huán)迭代，尤其是SCE-UA方法更慢，但其計(jì)算精度要高于單純形方法；單純形方法是一種單點(diǎn)迭代式尋優(yōu)方法，很容易陷入局部優(yōu)值，計(jì)算精度無法令人滿意。

圖2 3種算法的循環(huán)次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)變化圖Fig.2 Objective function value versus iteration numbers

綜上來說，線性化參數(shù)率定方法確實(shí)解決了模型參數(shù)率定結(jié)果不穩(wěn)定的問題：對于穩(wěn)定性與計(jì)算精度線性化率定方法都是最好的，SCE-UA方法次之，單純形方法最差；對于計(jì)算效率，依然是線性化率定方法最快，單純形方法次之，SCE-UA方法最慢。因此，線性化參數(shù)率定方法是一種可行有效的參數(shù)優(yōu)選方法，可以運(yùn)用到基于實(shí)測資料的新安江模型參數(shù)率定中。

3.3 采用實(shí)測資料的參數(shù)率定

3.3.1 基于建陽流域?qū)崪y資料的參數(shù)率定

采用建陽流域1986-1995年的逐日實(shí)測蒸發(fā)、降雨及流量資料用于參數(shù)率定(表5)，這里也只是對6個較敏感參數(shù)進(jìn)行自動率定，該流域其他不敏感參數(shù)取值情況同表1。表5列出了10組不同的參數(shù)初值的日模率定結(jié)果，每一行即為一組。從表中結(jié)果可以看出：10組不同的參數(shù)初值下，率定結(jié)果相當(dāng)穩(wěn)定，各參數(shù)分別穩(wěn)定在1.092 53、44.681、0.405 7、0.384 706、0.700 3、0.987 3左右，誤差目標(biāo)函數(shù)值F都為100.35 m3/s，沒有出現(xiàn)率定結(jié)果不唯一的現(xiàn)象，各參數(shù)也都在物理意義合理的范圍內(nèi)，而且循環(huán)次數(shù)少，率定效率高。

用1996-2000年的實(shí)測資料對率定出的參數(shù)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表6。從表6中可知：5年檢驗(yàn)期中，徑流深相對誤差都在9.68%以內(nèi)，平均相對誤差為4.08%；確定性系數(shù)都在0.898以上，平均確定性系數(shù)為0.900。這說明采用線性化方法率定出的參數(shù)是合理的。

圖3 不同方法的第1組數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)變化圖Fig.3 Objective function change of the first run for the three different methods

KSM/mmKGCSCICGF/(m3/s)J1.0930144.5510.40620.3850110.70050.9873100.3541.0930344.6220.40510.3850020.70010.9873100.3571.0930145.0710.40310.3830100.70050.9873100.3571.0920244.6030.40620.3850030.70000.9873100.3561.0920144.5810.40630.3850010.70030.9873100.3561.0920244.6130.40540.3850020.70020.9873100.3581.0920244.6820.40600.3840110.70030.9873100.3541.0930344.7340.40610.3850030.70030.9872100.3581.0930244.7530.40600.3850110.70030.9873100.3581.0920144.6040.40610.3850060.70040.9873100.355

表6 建陽流域檢驗(yàn)結(jié)果

表7 長灘河流域檢驗(yàn)結(jié)果

3.3.2 基于長灘河流域?qū)崪y資料的參數(shù)率定

采用線性化率定方法對長灘河流域1974-1983年的逐日資料進(jìn)行6個較敏感參數(shù)的自動率定(其他不敏感參數(shù)按物理意義及流域特性取值)。對于隨機(jī)生成的10組參數(shù)初值，參數(shù)率定結(jié)果也是基本一致，K、SM、KG、CS、CI、CG6個參數(shù)分別為0.636 01、13.182、0.222 1、0.248 003、0.717 2、0.950 1，并且也都在物理意義合理的范圍內(nèi)。對率定出的參數(shù)結(jié)果再用1984-1986年的實(shí)測資料進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表7。由表7可知：3年檢驗(yàn)期中，徑流深相對誤差都在2.77%以內(nèi)，平均相對誤差為0.55%；確定性系數(shù)都在0.819以上，平均確定性系數(shù)為0.823。

由以上2個實(shí)際流域的應(yīng)用檢驗(yàn)可以看出，線性化參數(shù)率定方法具有較好的實(shí)際應(yīng)用效果，率定結(jié)果穩(wěn)定，不受參數(shù)初值影響，收斂速度快，計(jì)算精度高，從而為水文模型又尋找到了一種較好的參數(shù)率定方法。

4 結(jié)論

基于一般概念性水文模型參數(shù)率定結(jié)果不穩(wěn)定的問題提出了新安江模型參數(shù)的線性化率定方法，通過理想模型與SCE-UA方法及單純形方法進(jìn)行對比分析以及實(shí)際流域的應(yīng)用檢驗(yàn)可知：

1)線性化參數(shù)率定方法有效地解決了非線性模型參數(shù)率定結(jié)果不穩(wěn)定的問題，其原理簡單，結(jié)構(gòu)合理，易于編程。

2)無論計(jì)算精度，效率還是穩(wěn)定性，線性化參數(shù)率定方法都優(yōu)于SCE-UA方法及單純形方法，具有計(jì)算精度高、循環(huán)次數(shù)少、率定結(jié)果穩(wěn)定、不受初值影響等優(yōu)點(diǎn)，是一種可行有效的全局優(yōu)值參數(shù)優(yōu)選方法。

3)該方法在實(shí)際應(yīng)用中取得了較好的效果因而具有一定的應(yīng)用價值，而且對其他模型參數(shù)優(yōu)選也具有一定的借鑒意義。但本文僅討論了線性化參數(shù)率定方法對新安江日模敏感參數(shù)的優(yōu)選，若不敏感參數(shù)也參加優(yōu)選，不僅參數(shù)維數(shù)增多，參數(shù)敏感度降低，而且參數(shù)之間的相關(guān)性也更復(fù)雜，可能會影響參數(shù)率定效率與精度，因此下一步計(jì)劃對不敏感參數(shù)以及次洪參數(shù)優(yōu)選進(jìn)行深入研究。此外本文只是對于2個流域進(jìn)行了分析應(yīng)用，若要推廣應(yīng)用還需更多流域進(jìn)行驗(yàn)證分析。

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Linearized Calibration of Xin’anjiang Model Parameters

Zhao Liping1,2, Bao Weimin1,2,Zhang Kun1,2

1.StateKeyLaboratoryofHydrologyWaterResourcesandHydraulicEngineering,HohaiUniversity,Nanjing210098,China2.CollegeofHydrologyandWaterResources,HohaiUniversity,Nanjing210098,China

In order to solve the problem of unstable parameter calibration results of conceptual hydrological model, the linearized calibration method of Xin’anjiang daily model parameters was put forward. Firstly, this method was compared with the SCE-UA method and the Simplex method through an ideal model. The average values of objective function obtained by the 3 methods were 0.02, 0.10 and 8.39 m3/s, respectively and the average iteration numbers were 8, 637 and 327, respectively. Moreover, the parameter variances obtained by the linearized calibration method were much smaller than those of other two methods. These results demonstrated that the linearized calibration method can find the true parameter values. It also has higher accuracy and convergence speed with more stable calibration results. Then the performance of the new method in model parameter calibration was examined using the measured data of Jianyang and Changtan River basin. The results showed that the stable optimal parameter values could also be quickly got. All of the objective function values of the 10 runs in Jianyang River basin were 100.35 m3/s and the iteration numbers were all within 8. In the validation phase of the two river basins, the relative errors of runoff depth were all within 9.68% and the values of determination coefficient were all above 0.819. It can be concluded that the linearized calibration method can solve the problem of unstable calibration results about nonlinear model parameters without producing unrelated local optima. Furthermore, it is not influenced by the different initial parameter values and has high computation accuracy and needs small iteration numbers. Hence, the linearized calibration method is an effective global optimization method.

parameter optimization; linearized calibration method; Xin’anjiang model; daily model

10.13278/j.cnki.jjuese.201401208.

2013-07-16

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51279057)；國家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目(51190090)；中國國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室專項(xiàng)基金項(xiàng)目(2009585412)；中央高?；A(chǔ)研究基金項(xiàng)目(B1020072)

趙麗平(1989-)，女，博士研究生，主要從事水文預(yù)報及模擬方面的研究，E-mail:zhaoliping_ok@126.com

包為民(1956-)，男，教授，博士，主要從事水文預(yù)報及模擬方面的研究，E-mail:wmbao163@163.com。

10.13278/j.cnki.jjuese.201401208

P338

A

趙麗平，包為民，張坤.新安江模型參數(shù)的線性化率定.吉林大學(xué)學(xué)報:地球科學(xué)版,2014,44(1):301-309.

Zhao Liping,Bao Weimin,Zhang Kun.Linearized Calibration of Xin’anjiang Model Parameters.Journal of Jilin University:Earth Science Edition,2014,44(1):301-309.doi:10.13278/j.cnki.jjuese.201401208.