顧觀文，吳文鸝，李桐林

1.吉林大學地球探測科學與技術學院，長春 130061 2.中國地質(zhì)科學院地球物理地球化學勘查研究所，河北 廊坊 065000

大地電磁場三維地形影響的矢量有限元數(shù)值模擬

顧觀文1, 2，吳文鸝2，李桐林1

1.吉林大學地球探測科學與技術學院，長春 130061 2.中國地質(zhì)科學院地球物理地球化學勘查研究所，河北 廊坊 065000

地形對大地電磁場的影響規(guī)律研究對于實際大地電磁測深反演解釋具有重要的意義?；谑噶坑邢拊ㄟM行了大地電磁三維地形響應數(shù)值模擬。首先與二維地形模擬結果比較，驗證了算法的正確性；接著，分別對1個山峰地形和1個山谷地形進行了模擬；最后，比較了二維模擬與三維模擬結果。結果表明：三維阻抗張量的Zxy模式和Zyx模式都會受到地形影響；用二維地形模擬結果去近似三維地形響應，二維TE模式與真實三維響應結果差別很大，TM模式接近真實三維響應結果；如采用二維反演處理帶地形的三維MT數(shù)據(jù)，TM極化模式反演更為合理。

大地電磁；三維地形；數(shù)值模擬；矢量有限元法

0 引言

地形會對大地電磁信號產(chǎn)生很大的干擾，在地形復雜地區(qū)進行電磁勘探時，必需考慮地形的影響，所以用數(shù)值方法模擬計算地形對大地電磁信號的影響非常重要。為此，國內(nèi)外在這方面已有不少研究:Chouteau等[1]和Wannamaker等[2]用有限元法模擬了二維地形對大地電磁測深信號的影響；趙廣茂等[3]基于二次場實現(xiàn)了二維起伏地形大地電磁響應的有限元數(shù)值模擬；徐世浙等[4]、阮百堯等[5]采用邊界元法模擬三維地形大地電磁場；Chen等[6]基于有限差分法模擬三維地形的大地電磁響應；Baba等[7]將FS(flat seafloor)技術結合Mackie等[8]的大地電磁三維有限差分模擬技術實現(xiàn)了海底起伏地形下的三維數(shù)值模擬；Sasaki[9]采用交錯網(wǎng)格有限差分法模擬了三維山丘地形的大地電磁響應。

矢量有限單元法在地球物理電磁法領域的應用研究起步較晚，但近十年在大地電磁三維數(shù)值模擬中的應用取得了比較大的進展。2002年，Yoshimura等[10]利用矢量有限單元法對一系列頻率的大地電磁場響應進行了數(shù)值模擬，并與交錯網(wǎng)格有限差分法的計算結果進行了對比；2004年，Mitsuhata等[11]將磁場分解為電場矢量勢和磁場標量勢，并利用矢量有限單元法和節(jié)點有限單元法相結合的方法對大地電磁場進行了三維數(shù)值模擬；同年，Shi等[12]研究了結合散度校正的大地電磁法矢量有限單元法三維正演；2007年，Jin Nam Nyung[13]等基于棱邊有限元法模擬了MT(magnetotelluric)三維地形響應；2008年Liu等[14]和2010年劉長生等[15]基于非結構化四面體網(wǎng)格的H型自適應矢量有限元法對大地電磁場進行了三維正演。

在前人[11-13]研究基礎上，筆者采用矢量有限元法模擬大地電磁場三維地形影響。首先研究矢量有限元算法，然后通過與山脊地形二維模擬結果比較，驗證算法的正確性。為了研究三維地形的影響，分別對1個三維山峰地形和1個山谷地形進行模擬，分析地形對兩種極化模式的影響；通過與相應的二維地形模擬結果比較，討論用二維地形模擬結果去近似三維地形響應的情況。

1 三維矢量有限元正演模擬算法

1.1 基本理論

在大地電磁研究的頻率范圍內(nèi)(10-4～103Hz)忽略位移電流的作用。取時諧場為e-iωt，麥克斯韋方程組的微分形式表示如下：

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

式中：E是電場強度矢量；H是磁場強度矢量；σ是介質(zhì)的電導率；μ是介質(zhì)的磁導率；ε是介質(zhì)的介電常數(shù)；ρf是自由電荷密度函數(shù)。對式(1a)兩邊取旋度，再將式(1b)代入到式(1a)，則將電磁場滿足的一階微分方程變?yōu)槎A微分方程，可以得到E滿足如下方程：

(2)

這是3個電場分量相互耦合在一起的方程式。求解偏微分方程組(2)得到電場分量Ex、Ey、Ez的分布后，可以根據(jù)式(1a)求得磁場分量Hx、Hy、Hz的分布。

圖1 帶地形的三維MT數(shù)值模擬區(qū)域剖面示意圖Fig. 1 Profile of the numerical modeling domain for 3D MT with topography

將式(2)寫成

(3)

取第一類邊界條件

(4)

其中,g是邊界上的矢量電場，可以采用一維或者二維MT計算值[16-18]。這樣，式(3)和式(4)構成了大地電磁三維正演的邊值問題。

1.2 矢量有限元分析

有限元法求解上述區(qū)域(圖1)的電磁場問題，需要將研究區(qū)域離散化，即對研究區(qū)域進行六面體網(wǎng)格剖分(圖2a)。沿x、y和z軸方向分別剖分成Nx、Ny和Nz段，網(wǎng)格間距分別為Δx(i)(i=1,2,…,Nx)、Δy(j)(j=1,2,…,Ny)和Δz(k)(k=1,2,…,Nz)。經(jīng)推導，每個六面體單元的內(nèi)部電場分量可用六面體的12條棱邊的場值分量(圖2b)通過插值求?。?/p>

(5)

式中,上標e表示第e個網(wǎng)格單元。

a.區(qū)域剖分示意圖；b.電場分量位置圖。圖2 矢量有限元法的區(qū)域剖分示意圖Fig. 2 Region subdivision schemes of the vector finite element method

將式(5)寫成矢量形式：

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：坐標轉換函數(shù)ζ=(x-xc)/a，η=(y-yc)/b，ζ=(z-zc)/c；(xc,yc,zc)是六面體的中心坐標；2a,2b,2c分別是六面體x,y,z方向的長度；(ζi,ηi,ζi)的取值與棱邊編號有關。

由式(3)定義矢量余函數(shù)為

(10)

把矢量基函數(shù)作為權函數(shù)，采用迦遼金方法使整個域內(nèi)的積分矢量余函數(shù)為最小，即

(11)

式中,N為計算域網(wǎng)格單元總數(shù)。

將式(10)代入到式(11)，對于第e個單元，得到

(12)

(13)

其中：se表示場源項；Ee表示棱邊上的電場；Ke是單元剛度矩陣。Ke是一個12×12階的復數(shù)矩陣，可按下式[19]解析計算得出

(14)

將每個單元電場滿足的線性方程進行組合，可以得到整個計算域上電場滿足的線性方程組：

(15)

其中：K是系統(tǒng)剛度矩陣；S是源向量，由計算域的上、下、左、右的邊界場值與邊界上的單元剛度矩陣計算得到。

采用BICGSTAB方法[20]結合對角塊矩陣的不完全LU分解技術求解大型稀疏對稱方程(15)，就可以得到計算域上網(wǎng)格單元棱邊上的電場值，然后根據(jù)麥克斯韋方程組(1a)微分求取磁場。

1.3 視電阻率及阻抗相位計算

根據(jù)Newman等[21]的研究，假設兩種線性無關的場源激發(fā)的表面電場和磁場分別為Ex1，Ey1，Hx1，Hy1，Ex2，Ey2，Hx2，Hy1，可以計算三維MT的張量阻抗：

(16)

張量阻抗的每一個分量可表示成：

(17a)

(17b)

(17c)

(17d)

式(17b)和(17c)定義的響應分別稱為xy和yx模式響應，按照下面公式可以求出三維介質(zhì)的視電阻率和相位：

(18)

其中：i=x,y；j=x,y。

2 三維地形影響模擬與分析

2.1 模型與地形剖分

本項研究基于矩形六面體剖分，矩形網(wǎng)格x，y和z方向的間距可以是不均勻的。地形剖分也采用矩形六面體，比如三維山峰地形的剖分(圖3)。

2.2 算法正確性檢驗

為了驗證算法對MT地形影響數(shù)值模擬的效果，采用Wannamaker等[2]的二維山峰模型。模型背景電阻率為100 Ω·m，山峰地形如圖4所示。設二維山峰地形的走向為x方向，山峰傾向為y方向，z方向垂直向下為正。為了盡量避免對y方向的三維影響，將山峰地形沿x方向延伸34.3 km，整個模型區(qū)域(34 300 m×34 300 m×91 993 m)沿x、y和z方向剖分為43×43×29(其中z方向山峰頂面以上7層為空氣層)個網(wǎng)格單元。山峰地形采用9個縱向網(wǎng)格單元的劃分，網(wǎng)格間距為50 m。

采用本文算法對上述模型進行三維正演模擬，計算頻率f=2 Hz時TE極化模式和TM極化模式的視電阻率曲線圖(圖5)。從圖5中可以看出，本文算法(三維矢量有限元)計算的結果與二維有限元的計算結果基本一致，說明本文算法的計算結果準確可靠。

2.3 三維地形影響

為了研究三維地形對MT響應的影響，分別對1個三維山峰地形和1個山谷地形模型進行模擬計算，并與相應的二維地形模擬結果進行比較。

2.3.1 山峰地形

在圖4的基礎上，將二維山峰地形擴展為三維山峰地形，三維地形在yOz和xOz剖面上的地形圖如圖6所示。

x、y軸向外為正方向。圖3 三維地形(a)及地形網(wǎng)格剖分和MT測點(b)示意圖Fig. 3 Diagram of 3D terrain(a) and topography grid subdivision and measuring points on MT(b)

圖4 二維山峰地形示意圖Fig. 4 Diagram of 2D ridge

圖5 本文算法計算的二維地形影響與二維有限元結果對比圖Fig. 5 Comparision between modeling results of 3D VFEM and 2D FEM for 2D ridge

圖6 三維山峰地形的yOz(a)和xOz(b)剖面圖Fig. 6 Profiles of yOz (a) and xOz (b) of 3D positive trapezoidal-hill

整個模型區(qū)域沿x、y和z方向剖分為43×43×29(其中z方向山峰頂面以上7層為空氣層)個網(wǎng)格單元。采用本文算法對該模型進行三維正演模擬，模擬結果見圖7。從圖7可以看出：對于Zxy模式，在山峰左右兩邊根部的ρaxy高于背景電阻率值，而在山峰上面，ρaxy明顯低于背景電阻率值；對于Zyx模式，如果將ρayx平面圖旋轉90°，其響應規(guī)律與ρaxy相同。

圖7 頻率為2 Hz山峰模型Zxy模式(a)和Zyx模式(b)的正演視電阻率平面圖Fig. 7 Apparent resistivities in Zxy (a) and Zyx (b) modes at 2 Hz for the positive trapezoidal-hill

為了確定是否可以用二維地形模擬結果去近似三維地形的響應，將沿著y方向(x=0，見圖6a)的三維模擬結果與二維模擬結果進行比較，比較結果見圖8。從圖8a可以看出：在山峰上面，Zyx模式的ρaxy值低于背景電阻率值，在山峰根部，ρaxy值高于背景電阻率值；其ρaxy曲線形態(tài)與二維TM模式視電阻率曲線形態(tài)基本一致。從圖8b可以看出，三維Zxy模式的ρaxy與二維地形TE模式響應完全不同，在山峰上面Zxy模式的ρaxy低于背景電阻率值，而二維TE模式視電阻率高于背景電阻率值。

圖8 頻率為2 Hz山峰地形沿y方向(x=0)的Zyx(a)和Zxy(b)模式與二維TM(a)和TE(b)模式響應視電阻率比較Fig. 8 Apparent resistivities at 2 Hz in Zxy (a) and Zyx (b) modes along line y(x=0) for the positive trapezoidal-hill model,and those in TM (a) and TE (b) modes given by 2D modeling

2.3.2 山谷地形

三維山谷地形如圖9所示，其背景電阻率值與三維山峰地形(圖6)一樣，為100 Ω·m；模型計算區(qū)域和網(wǎng)格剖分也與三維山峰模型一致。頻率為2 Hz的三維正演模擬結果如圖10所示，從圖10可以看出，山谷模型正好與山峰模型正演視電阻平面圖形態(tài)相反：對于Zxy模式，在山谷左右兩邊頂部的ρaxy低于背景電阻率值，而在山谷底部正上方，ρaxy明顯高于背景電阻率值；對于Zyx模式，如果將ρayx平面圖旋轉90°，其響應規(guī)律與ρaxy相同。

圖9 三維山谷地形的yOz(a)和xOz(b)剖面圖Fig.9 Profiles of yOz (a) and xOz (b) of 3D negative trapezoidal-hill

圖10 頻率為2 Hz山谷模型Zxy模式(a)和Zyx模式(b)的正演視電阻率平面圖Fig.10 Apparent resistivities in Zxy (a) and Zyx (b) modes at 2 Hz for the negative trapezoidal-hill

圖11 頻率為2 Hz山谷地形沿y方向(x=0)的Zyx(a)和Zxy(b)模式與二維TM(a)和TE(b)模式響應視電阻率比較Fig.11 Apparent resistivities at 2 Hz in Zxy (a) and Zyx (b) modes along line y(x=0) for the negative trapezoidal-hill model,and those in TM (a) and TE (b) modes given by 2D modeling

同樣，為確定是否可用二維地形影響近似三維地形影響，將沿y方向(x=0，圖9a)的三維模擬結果與二維模擬結果進行比較，比較結果見圖11。從圖11a可以看出，在山谷底部上面，Zyx模式的ρaxy值高于背景電阻率值，在山谷兩邊的頂部，ρaxy值低于背景電阻率值，其ρaxy曲線形態(tài)與二維TM模式視電阻率曲線形態(tài)基本一致。從圖11b可以看出，三維Zxy模式的ρaxy值與二維地形TE模式響應完全不同，在山谷底部上面Zxy模式的ρaxy高于背景電阻率值，而二維TE模式視電阻率低于背景電阻率值。

3 結論

1)對山脊地形三維正演模擬結果與二維算法模擬結果的比較表明，本文的三維矢量有限元正演計算程序可靠、準確，能夠有效地進行大地電磁場的三維地形影響模擬。2)對三維山峰地形和山谷地形的數(shù)值模擬表明，MT三維阻抗張量的Zxy模式和Zyx模式都受到地形的影響。3)通過三維山峰地形和山谷地形的三維數(shù)值模擬結果與相應二維地形的二維模擬結果比較發(fā)現(xiàn)，如果用二維地形模擬結果去近似三維地形響應，二維TE模式與真實三維Zxy模式響應結果差別很大，TM模式接近真實三維Zyx模式響應結果。由模擬結果的比較可得到啟示，如果采用二維反演處理帶地形三維MT數(shù)據(jù)，在二維反演剖面展布方向確定的情況下，采用TM極化模式反演更為合理。

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華北地臺、華北克拉通、華北板塊、華北古陸、華北地塊等名詞的用法

邱殿明，蔣 函，劉雅琴

吉林大學學報(地球科學版)編輯部，長春 130026

地學科技期刊中華北地臺、華北克拉通、華北板塊、華北古陸、華北地塊等詞匯比較常見，但使用比較混亂，有必要梳理這幾個名詞的定義及用法，以便在這些詞匯使用上有一個統(tǒng)一性。

槽臺學說基于地殼活動和穩(wěn)定性的差別，將地殼的一級構造單元劃分為地槽(褶皺系)和地臺；板塊構造說認為地球表層是由為數(shù)不多的大小不等的巖石圈板塊拼合起來的，將六大板塊作為全球的一級構造單元，并將分隔它們的邊界也作為構造帶看待。 華北地臺、華北板塊詞匯分別是上述2種學說中的一級單元內(nèi)部進一步劃分出的次一級，乃至更小的構造單元，分屬于2種學說的專有名詞;而其他詞匯均為構造地質(zhì)學上的普通專業(yè)名詞。

地臺(platform)又稱為陸臺，指地殼上穩(wěn)定的、形成后未再遭受褶皺變形的地區(qū)。地臺具有雙層結構：上部為未經(jīng)變形、大體保持水平產(chǎn)狀的淺海相或陸相沉積蓋層；下部是已經(jīng)強烈變形和變質(zhì)的前寒武紀結晶基底。華北地臺(North China platform)挾持于陰山-燕山與秦嶺--大別兩條造山帶之間，范圍包括華北、東北南部、渤海灣等地。因它包括朝鮮半島，黃汲清(1945)又稱之為中朝地臺；鑒于它的面積較世界上其他地臺小得多，且活動性較大，又稱為中朝準地臺。有些學者又稱為中朝克拉通(Sino-Korea craton)[1]。

克拉通(craton)是地殼形成之后(至少自顯生宙以來)保持穩(wěn)定狀態(tài)、極少經(jīng)受強烈構造變形的構造單元?，F(xiàn)今的克拉通指大陸克拉通[1]。華北(中朝)克拉通范圍同華北地臺。

板塊(plate)是地球巖石圈被洋中脊、島弧海溝系、轉換斷層等三大構造活動帶分割形成的大小不一的連續(xù)的巖石圈塊體。全球由歐亞板塊、太平洋板塊、印度洋板塊、非洲板塊、美洲板塊和南極洲板塊等六大板塊組成[1]。華北(中朝)(North China plate)板塊屬于中板塊，其范圍包括了華北地臺及其邊緣造山帶。

古陸(oldland)泛指地史時期中各種形式的古老剝蝕陸地，未嚴格區(qū)分其規(guī)模大小、海拔高度、地貌形態(tài)和延續(xù)時間。華北(中朝)古陸(North China oldland)包括華北地區(qū)大部、內(nèi)蒙古南部、東北南部及整個朝鮮半島范圍，在大地構造單元上屬于中朝地臺范圍，地質(zhì)歷史中也具有大體相似的古地理面貌[1]。當華北地臺在地史某個時期中呈剝蝕陸地狀態(tài)時，稱為華北古陸。一般描述古地理的時候稱華北古陸。

地塊(land mass)是具有一定綜合結構形態(tài)，屬于一定構造體系的地質(zhì)塊體[1]。華北地塊(North China block)原屬古中國地塊的一部分，是一個具有古老構造基底的地臺。其范圍同原華北地臺，主體位于陰山以南和秦嶺、大別山系以北廣大地區(qū)之間。震旦紀至三疊紀，經(jīng)歷了漫長的相對穩(wěn)定時期，主要表現(xiàn)為地塊整體升降，地層巖相穩(wěn)定，厚度變化不大，巖漿活動不發(fā)育。中、新生代構造活動活躍，受斷裂控制，逐漸解體為規(guī)模不等的斷塊。黃汲清(1945)認為李?；舴业让摹罢鸬┑貕K”，不僅包含華北并且還包含朝鮮的大部，因而應改稱為中朝地塊(Sino-Korea massif)。它包括內(nèi)蒙地軸、東滿地塊、南朝鮮地塊、山東地塊及淮陽地盾、秦嶺地軸、鄂爾多斯地臺等次一級的構造單元。1980年黃汲清等在進一步綜合大量的基本資料后，改稱為中朝準地臺[2]?？梢?，華北地塊和中朝地塊及中朝準地臺基本一致，建議盡量使用中朝準地臺，而不要使用中朝地塊。

論文描述的時候，如果采用板塊構造學說，那么就應稱為華北板塊；若采用槽臺學說就稱為華北地臺(中朝地臺、中朝準地臺)。至于華北克拉通，可以分別與華北板塊和華北地臺一起使用，但華北板塊和華北地臺不能一起使用。而華北古陸使用時應當慎重，華北地臺只是某個時期處于剝蝕狀態(tài)時才能稱之為華北古陸。華北地塊是一個泛詞，可用于各個學說里。

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Modeling for the Effect of Magnetotelluric 3D Topography Based on the Vector Finite-Element Method

Gu Guanwen1, 2, Wu Wenli2, Li Tonglin1

1.CollegeofGeoExplorationScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130061,China2.InstituteofGeophysicalandGeochemicalExploration,Langfang065000,Hebei,China

It is of great significance to study the effect of topography to the magnetotelluric inversion and interpretation. A vector finite-element algorithm has been applied to simulate magnetotelluric (MT) effect of 3D topography models. First, the algorithm was verified by comparison with the modeling result of a 2D ridge model. Then, the effect of 3D topography was simulated for a 3D positive trapezoidal-hill model and a negative trapezoidal-hill model respectively. In addition, we also compared the results of 2D and 3D simulation. The results show thatZxyandZyxare both affected by the terrain, the difference between 2D TE mode and real 3D response is great, whereas the 2D TM mode response is similar to the real 3D response. If we invert the 3D MT data by a 2D program with terrain, the TM polarization mode inversion is more reasonable.

magnetotelluric; 3D terrain; numerical modeling; vector-finite-element

10.13278/j.cnki.jjuese.201405302.

2014-02-01

國家重大科學儀器設備開發(fā)專項項目(2011YQ05006006);中國地質(zhì)調(diào)查局項目(1212011220247)

顧觀文(1975--)，男，博士研究生，高級工程師，主要從事電磁法正、反演研究及其軟件研制工作，E-mail:guguanwen@igge.cn

李桐林(1962--)，男，教授,博士生導師，主要從事電磁法理論及應用研究，E-mail:litl@jlu.edu.cn。

10.13278/j.cnki.jjuese.201405302

P631.3

A

顧觀文，吳文鸝，李桐林. 大地電磁場三維地形影響的矢量有限元數(shù)值模擬.吉林大學學報:地球科學版,2014,44(5):1678-1686.

Gu Guanwen, Wu Wenli, Li Tonglin. Modeling for the Effect of Magnetotelluric 3D Topography Based on the Vector Finite-Element Method.Journal of Jilin University:Earth Science Edition,2014,44(5):1678-1686.doi:10.13278/j.cnki.jjuese.201405302.