李增亮,石白妮,魯佳琪,黃立杰

(1.中國石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東青島 266580;2.中石油長慶油田公司,陜西西安 710021; 3.中石油西南管道公司,四川成都 610041;4.濟(jì)南外國語學(xué)校三箭分校,山東濟(jì)南 250107)

圓弧齒形單螺桿式水力機(jī)械的嚙合原理及應(yīng)用

李增亮1,石白妮2,魯佳琪3,黃立杰4

(1.中國石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東青島 266580;2.中石油長慶油田公司,陜西西安 710021; 3.中石油西南管道公司,四川成都 610041;4.濟(jì)南外國語學(xué)校三箭分校,山東濟(jì)南 250107)

分析用于單螺桿式水力機(jī)械的圓弧齒形成形原理,闡述求共軛齒形曲線的內(nèi)滾包絡(luò)法和齒廓法線法,提出圓弧齒形的定轉(zhuǎn)子斷面面積、過流面積的計(jì)算方法,用圓弧齒形進(jìn)行采油用螺桿泵實(shí)例設(shè)計(jì);同時(shí)對該實(shí)例進(jìn)行容積效率預(yù)測。結(jié)果表明:提出的原始齒形曲線的設(shè)計(jì)方案和數(shù)學(xué)方程正確可用,圓弧齒形不僅齒形簡單且曲率容易控制,對設(shè)計(jì)加工制造很有利;三頭采油用圓弧齒形螺桿泵在設(shè)計(jì)壓差下容積效率超過97%,能夠滿足設(shè)計(jì)要求。

圓弧齒形;單螺桿;嚙合原理;內(nèi)滾包絡(luò)法;曲率;容積效率

單螺桿式水力機(jī)械在潤滑系統(tǒng)、固液混輸、油氣混輸、螺桿泵人工舉升系統(tǒng)及井下動力螺桿鉆具方面有重要應(yīng)用[1-4]。在螺桿式水力機(jī)械設(shè)計(jì)中,螺桿馬達(dá)與螺桿泵是該系統(tǒng)的核心部件,其定、轉(zhuǎn)子齒形的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了該型機(jī)械的設(shè)計(jì)水平[5-7]。國外較常用的斷面齒形主要為普通內(nèi)擺線等距線型[8-9],但該種線型共軛骨線副上不可避免地存在曲率半徑為零的點(diǎn),螺桿襯套副磨損較快,影響壽命。中國主要以短副內(nèi)擺線等距線型、短幅外擺線等距線型為主,短副外擺線等距線型表現(xiàn)出較好的工作性能,但參數(shù)取值范圍過小,不適宜多頭螺桿機(jī)械的設(shè)計(jì)制造[10-12]。筆者提出圓弧齒形的定轉(zhuǎn)子斷面面積、過流面積的計(jì)算方法,通過內(nèi)滾包絡(luò)法和齒廓法線法分別計(jì)算其共軛齒形,并給出設(shè)計(jì)實(shí)例。

1 原始齒形曲線

1.1 兩圓的極坐標(biāo)方程

如圖1所示,該齒形的原始齒形曲線由兩段外切的圓弧組成,外凸的圓弧稱為凸圓,內(nèi)凹的圓弧稱為凹圓,設(shè)螺桿線數(shù)為N,定子線數(shù)為n=N+1,兩圓心與原點(diǎn)連線的夾角為π/N,即在一個圓周2π中形成N個齒瓣,求得該角度內(nèi)的原始齒瓣曲線,通過坐標(biāo)變換可以得到其余齒瓣曲線。

極坐標(biāo)用極徑和極角來表示點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置,由圓的極坐標(biāo)表達(dá)式可知:當(dāng)圓心極坐標(biāo)為(ρ′,θ′),半徑為R時(shí),圓在極坐標(biāo)系中的表達(dá)式為

圖1 圓弧齒形的原始齒形曲線Fig.1 Original arc tooth profile curve

設(shè)凸圓半徑為R1,圓心極坐標(biāo)(d1,π/2),凹圓半徑R2,圓心極坐標(biāo)(d2,π/2-π/N),帶入式(1),可得到兩圓極徑為

1.2 兩圓外切的充要條件

在兩圓的極坐標(biāo)方程中存在4個變量:分別為兩圓半徑R1、R2和兩圓圓心到原點(diǎn)的距離d1、d2。在已知R1、d1、d2后,求在角度π/N內(nèi)與凸圓相切的凹圓半徑R2,必須滿足兩圓外切的充要條件:O1O2=R1+R2。

由余弦定理可知:

從而

1.3 兩圓外切時(shí)的臨界角

當(dāng)凸圓與凹圓外切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為M,與y軸的夾角θ′定義為外切臨界角,此時(shí)∠OMO1和∠OMO2互為補(bǔ)角,根據(jù)正弦定理有

臨界角是關(guān)于R1、R2、d1、d2、N的函數(shù),當(dāng)這些變量確定時(shí),兩圓外切臨界角是一個定值。

1.4 原始齒形曲線方程

根據(jù)以上分析可以得到原始齒形曲線方程:

2 內(nèi)滾包絡(luò)法

平面行星運(yùn)動可以看做為兩個瞬心圓的相對純滾動[13-15],假設(shè)發(fā)生線ρ(θ)做如下行星運(yùn)動:偏心距為E,以ρ(θ)的包心法導(dǎo)圓NE做動瞬心圓,帶著ρ(θ)沿定瞬心圓nE做相對純滾動,其本質(zhì)等價(jià)于兩個運(yùn)動的疊加。圖2為內(nèi)滾法原理圖。

圖2 內(nèi)滾法原理圖Fig.2 Principle diagram of inside rolling envelope method

如圖2,ρ(θ)繞O′點(diǎn)自轉(zhuǎn),自轉(zhuǎn)角為φ/n,φ是時(shí)間和角速度的函數(shù)。同時(shí)O′繞定坐標(biāo)系原點(diǎn)O做半徑為E的圓周運(yùn)動,即ρ(θ)繞著O做偏心距為E的公轉(zhuǎn),其公轉(zhuǎn)角為-Nφ/n,二者運(yùn)動方向相反,則轉(zhuǎn)子齒形ρ(θ)的運(yùn)動方程為

求原始齒形曲線運(yùn)動方程的意義在于可以得到原始齒形做行星運(yùn)動任意時(shí)刻的位置,從而由該運(yùn)動方程得到齒形做行星運(yùn)動時(shí)的包絡(luò)區(qū),如果ρ(θ)為三頭圓弧齒形,則其通過運(yùn)動方程得到的包絡(luò)區(qū)如圖3陰影所示,包絡(luò)區(qū)的外包絡(luò)線即為要求的共軛齒形曲線。圖4為復(fù)矢量的平行示意圖。

圖3 由內(nèi)滾法生成的包絡(luò)區(qū)Fig.3 Envelope area using inside rolling method

圖4 復(fù)矢量的平行Fig.4 Parallel of complex vector

解方程即可得到共軛齒形曲線轉(zhuǎn)角φ和原始齒形曲線轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系為

聯(lián)立式(10)、(16)可以得到共軛齒形曲線的復(fù)矢量方程。

基于包絡(luò)原理的包絡(luò)法求解過程體現(xiàn)了形成嚙合齒形的根本原理,但求解過程較為復(fù)雜。

3 齒形法線法求共軛齒形曲線

基于嚙合原理的齒形法線法相比包絡(luò)法較為簡便,更適用于工程實(shí)際[16-18]。

設(shè)坐標(biāo)系XPY為定坐標(biāo)系,與輪1和輪2固連的坐標(biāo)系X1O1Y1、X2O2Y2為動坐標(biāo)系。ρ為輪1上的原始齒形曲線,P為兩輪的節(jié)點(diǎn)。如圖5所示,齒形ρ上的接觸點(diǎn)M的法線通過節(jié)點(diǎn)P,M1點(diǎn)是齒形ρ上任一點(diǎn),過該點(diǎn)作齒形ρ的法線M1L1,與輪1的節(jié)圓交于P1點(diǎn)。當(dāng)M1成為接觸點(diǎn)時(shí),P1點(diǎn)與節(jié)圓P重合,假設(shè)固連在輪1上的動坐標(biāo)系X1O1Y1連同齒形ρ沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角度φ1,設(shè)M1坐標(biāo)為(x1,y1),γ為齒形ρ在M1點(diǎn)的切線與X1軸的夾角。

圖5 齒形法線法原理圖Fig.5 Principle diagram of tooth profile normal method

兩圓在直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為

由式(17)可得圓弧齒形切線的斜率為

又已知M1點(diǎn)的坐標(biāo)值及齒廓ρ的斜率,可以求得法線方程,由點(diǎn)到直線的距離方程可以求得

聯(lián)立式(18)、(19)可以得到φ1的計(jì)算公式:

這樣便確定了M1點(diǎn)位置與齒形轉(zhuǎn)角間的關(guān)系。

將接觸點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)變換到與輪2固連的動坐標(biāo)系X2O2Y2中,就可求得共軛齒形S的表達(dá)式。

將M1點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)變換到靜坐標(biāo)系XPY中,得到(x,y),由坐標(biāo)變化的矩陣公式可知:

對(x,y)應(yīng)用坐標(biāo)變換求得其在動坐標(biāo)系X2O2Y2中的表達(dá)式,φ2為輪2相對轉(zhuǎn)過的角度,在螺桿泵中轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)方向相反,則令i12=-

所以輪2的坐標(biāo)系X2O2Y2和輪1坐標(biāo)系X1O1Y1之間的坐標(biāo)關(guān)系變化如下:

4 圓弧齒廓參數(shù)分析

4.1 過流面積計(jì)算

轉(zhuǎn)子斷面齒形的面積為

由正弦定理可知:

聯(lián)立式(27)、(28)、(29)、(30),可求得轉(zhuǎn)子斷面面積。

在實(shí)際求解過程中發(fā)現(xiàn),積分求解定子斷面面積公式非常復(fù)雜,沒有工程實(shí)用價(jià)值,研究分析中發(fā)現(xiàn)圓弧共軛齒形的形狀主要由凸圓頂點(diǎn)決定,該頂點(diǎn)初始極坐標(biāo)為(R1+d1,π/2),所以在簡化求解定子斷面面積時(shí)可以近似考慮為凸圓齒形頂點(diǎn)做行星運(yùn)動之后形成的外包絡(luò)。其復(fù)矢量方程為

如圖6所示,設(shè)復(fù)平面中有復(fù)矢量S(φ),參數(shù)φ增大dφ時(shí),S有增量dS,則微分三角形的面積dA可由下式求得:

式中,dS*為dS的共軛復(fù)矢量。

圖6 復(fù)矢量法求解面積示意圖Fig.6 Sketch map of solving area using complex vector method

沿著封閉曲線C積分,可得到曲面C所圍成的面積A:

根據(jù)以上方法求得定子的近似斷面面積為則過流面積為

4.2 曲率半徑分析

圓弧齒形不僅齒形簡單且曲率容易控制。傳統(tǒng)擺線線型的曲率半徑基于很多變量,如導(dǎo)圓半徑、滾圓半徑、頭數(shù)、偏心距及等距圓半徑,所以設(shè)計(jì)擺線線型時(shí),必須考慮曲線曲率半徑取零時(shí)各參數(shù)的極限值,這樣可以得到圓滑的擺線曲線。而圓弧線型因?yàn)樵箭X形由兩段圓弧相切組成,所以曲率半徑分別為圓弧半徑R1、R2,通過調(diào)整圓弧半徑得到接觸效果很好的原始齒形,這也是擺線線型無法比擬的優(yōu)勢。

5 圓弧齒形螺桿泵設(shè)計(jì)實(shí)例

5.1 實(shí)例的參數(shù)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)采油用三頭圓弧齒形螺桿泵,流量為100 m3/d,輸送油液密度為920 kg·m-3,泵外徑為122 mm,單級增壓值設(shè)為0.7 MPa,級數(shù)為7級,偏心距為5 mm,凸圓與凹圓半徑分別為30、70 mm,兩圓心距離原點(diǎn)的距離分別為15、30 mm,同時(shí)設(shè)容積效率為0.96,機(jī)械效率為0.8,計(jì)算得到該泵的定子導(dǎo)程為480 mm,過流面積為1 122 mm2,轉(zhuǎn)速為43.4 r/min-1,軸向力和扭矩分別為10.2 kN和178 N· m。

5.2 容積效率曲線預(yù)測

螺桿泵常根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式初步估計(jì)泵性能[18],該公式只與泵的結(jié)構(gòu)參數(shù)及定轉(zhuǎn)子的配合間隙有關(guān),與所采用線型無關(guān),可以用它來進(jìn)行圓弧齒形螺桿泵容積效率的預(yù)測。

式中,K為容積損失系數(shù),此處取為2.45×10-6;ρ為油液密度,kg/m3;n為轉(zhuǎn)速,r/min;T為定子導(dǎo)程, m;D為轉(zhuǎn)子斷面直徑,m;e為偏心距,m;A為與襯套橡膠層厚度有關(guān)的常數(shù),取為375;L為襯套有效長度,取為3.36 m;δ0為螺桿襯套初始過盈值,取為0.2 mm;E為襯套用橡膠的彈性模量,取為6 MPa;β為與橡膠彈性模量有關(guān)的常數(shù),取為0.83。

圖7為容積效率預(yù)測。由圖7可知,泵進(jìn)出口壓差值由1 MPa增大到3 MPa時(shí),容積效率接近100%,處于高效區(qū),3 MPa以后容積效率顯著降低,但在設(shè)計(jì)壓差下容積效率依然高于97%,說明該設(shè)計(jì)能夠滿足設(shè)計(jì)要求。

圖7 容積效率預(yù)測Fig.7 Prediction of volumetric efficiency

6 結(jié)束語

應(yīng)用共軛齒形曲線的內(nèi)滾包絡(luò)法和齒廓法線法得到了其共軛齒形的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程。圓弧齒形不僅齒形簡單且曲率容易控制。提出的原始齒形曲線設(shè)計(jì)方案和數(shù)學(xué)方程正確可用。應(yīng)用圓弧齒形設(shè)計(jì)了三頭采油用圓弧齒形螺桿泵,凸圓與凹圓半徑分別為30、70 mm,兩圓心到原點(diǎn)的距離分別為15、30 mm。螺桿泵壓差由1 MPa增大到3 MPa時(shí),容積效率接近100%,處于高效區(qū),3 MPa以后容積效率顯著降低,但在設(shè)計(jì)壓差下容積效率仍然高于97%,說明該設(shè)計(jì)能夠滿足設(shè)計(jì)要求。

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(編輯 沈玉英)

Meshing theory and application of single screw hydraulic machinery with arc tooth profile

LI Zengliang1,SHI Baini2,LU Jiaqi3,HUANG Lijie4
(1.College of Mechanical Electronic Engineering in China University of Petroleum,Qingdao 266580,China; 2.PetroChina Changqing Oilfield Company,Xi'an 710021,China; 3.PetroChina Southwest Pipeline Company,Chengdu 610041,China; 4.Jinan Foreign Language Sanjian Brand School,Jinan 250107,China)

The forming theory of arc tooth profile used in single screw hydraulic machinery was analyzed.The inside rolling envelope method and the tooth profile normal line method were used to solve the formula of conjugate tooth profile.The flow area and sectional areas of rotor and stator were analyzed.A prototype screw pump using arc tooth profile was designed.The volumetric efficiency of the prototype was predicted.The results show that the proposed design scheme and mathematical formulas of original tooth profile are feasible and correct.The arc tooth profile is very simple and the curvature is easy controlled,it is very beneficial for the design,processing and manufacturing.For the three heads screw pump with arc tooth profile,its volumetric efficiency under the designed pressure difference remains to be above 97%,and it can meet the design requirements.

arc tooth profile;single screw;meshing theory;inside rolling envelope method;curvature;volumetric efficiency

TE 933

A

1673-5005(2014)04-0132-06

10.3969/j.issn.1673-5005.2014.04.019

2013-12-02

中國石化股份公司科技攻關(guān)項(xiàng)目(P12133)

李增亮(1962-),男,教授,博士,博士生導(dǎo)師,從事石油機(jī)械教學(xué)及科研工作。E-mail:lizl@upc.edu.cn。

李增亮,石白妮,魯佳琪,等.圓弧齒形單螺桿式水力機(jī)械的嚙合原理及應(yīng)用[J].中國石油大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,38(4):132-137.

LI Zengliang,SHI Baini,LU Jiaqi,et al.Meshing theory and application of single screw hydraulic machinery with arc tooth profile[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2014,38(4):132-137.