梁書(shū)秀,嚴(yán) 斌,孫昭晨,張怡輝

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連 116024)

海洋環(huán)流模式中的二階湍流封閉格式綜述

梁書(shū)秀,嚴(yán) 斌,孫昭晨,張怡輝

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連 116024)

針對(duì)目前海洋環(huán)流模式預(yù)測(cè)能力存在的不足,從雷諾應(yīng)力方程著手,歸納和闡述了二階湍流閉合模式中壓力項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)和耗散項(xiàng)的改進(jìn)與發(fā)展,分析和討論了各種改進(jìn)格式對(duì)模型完善和預(yù)測(cè)能力的影響,同時(shí)分析了波浪混合作用對(duì)環(huán)流封閉格式的影響,并對(duì)海洋環(huán)流模式中二階湍流封閉格式發(fā)展進(jìn)行了簡(jiǎn)要綜述。壓力項(xiàng)的改進(jìn)主要集中于壓力項(xiàng)中各影響量的添加,使得可以模擬的湍流的理查森數(shù)Ri趨近1;擴(kuò)散項(xiàng)的改進(jìn)主要通過(guò)改善湍流能量擴(kuò)散的第三穩(wěn)定函數(shù)Sk來(lái)完成;對(duì)于耗散率的改進(jìn)更多是基于經(jīng)驗(yàn),用與理查德森數(shù)相聯(lián)系的階梯型函數(shù)可以有效模擬強(qiáng)分層流;環(huán)流模式中通過(guò)模擬波浪對(duì)垂向擴(kuò)散系數(shù)的影響和在紊動(dòng)動(dòng)能方程中考慮波浪破碎耗散的能量的注入,都可以從物理機(jī)制上改善目前模式所模擬的混合層太淺和溫躍層強(qiáng)度偏低的共性問(wèn)題。

湍流封閉格式;壓力項(xiàng);擴(kuò)散項(xiàng);耗散項(xiàng);波浪混合

近年來(lái),基于二階湍流封閉格式假設(shè)的地球流體力學(xué)研究發(fā)展迅速,加之海洋環(huán)流封閉模式在海洋表面層的應(yīng)用日益廣泛,海洋環(huán)流封閉模式的改進(jìn)和完善變得越來(lái)越重要。海洋環(huán)流模式的基本方程為 Navier-Stokes方程。在 19世紀(jì),Navier和Stokes分別以不同的方式對(duì)歐拉方程作了修正。1821年,Navier在修正歐拉方程時(shí)推導(dǎo)了原始的Navier-Stokes方程,其在推導(dǎo)中沒(méi)有加入剪切應(yīng)力的概念,但考慮了分子與分子之間的作用力。Stokes在1845年首次引入動(dòng)力黏性系數(shù),建立了適合黏性流體的基本方程,即現(xiàn)在流體力學(xué)中廣泛應(yīng)用的Navier-Stokes方程。之后,Reynolds[1]建議用統(tǒng)計(jì)平均方法來(lái)簡(jiǎn)化Navier-Stokers方程。在Reynolds的統(tǒng)計(jì)平均方法中對(duì)速度取平均值的時(shí)候產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題:由紊動(dòng)引起的平均量輸運(yùn)項(xiàng)的表達(dá)是未知項(xiàng),使得方程不閉合。對(duì)此在1925年P(guān)randtl[2]提出混合長(zhǎng)度假設(shè),即把紊動(dòng)輸運(yùn)項(xiàng)與時(shí)均流的當(dāng)?shù)亓拷⑽ㄒ坏穆?lián)系,以達(dá)到封閉二階未知項(xiàng)的目的。這類在時(shí)均流方程中封閉二階矩的方法稱為一階封閉格式,但只能計(jì)算為數(shù)不多的幾種自相似流。為了彌補(bǔ)這一缺陷,從20世紀(jì)40年代開(kāi)始發(fā)展了一批較早的湍流模型,它們放棄了紊動(dòng)輸運(yùn)項(xiàng)和時(shí)均流各量之間較直接的代數(shù)聯(lián)系,轉(zhuǎn)而采用一些紊動(dòng)量的微分輸運(yùn)方程,如Kolmogorov[3]建議通過(guò)求解紊動(dòng)動(dòng)能的輸運(yùn)方程來(lái)確定其分布。上述模型都是假設(shè)湍流的當(dāng)?shù)貭顟B(tài)可用某個(gè)速度尺度表征,而且雷諾應(yīng)力的各個(gè)分量均可通過(guò)不同的方式與這個(gè)速度尺度相聯(lián)系。為了考慮雷諾應(yīng)力各分量的不同發(fā)展程度,正確地計(jì)算復(fù)雜水流中各項(xiàng)雷諾應(yīng)力的輸運(yùn),有些湍流模型采用雷諾應(yīng)力的各個(gè)分量和紊動(dòng)熱通量的輸運(yùn)方程。在閉合這些二階矩輸運(yùn)方程中,出現(xiàn)了新的三階矩,對(duì)于三階矩的處理方法即為二階封閉格式。

20世紀(jì)70年代以后,科研工作者逐步致力于紊動(dòng)動(dòng)量方程中各三階項(xiàng)的改進(jìn)和發(fā)展,如Mellor等[4-6]提出的基本模型,以及在此基礎(chǔ)上得到的Level 4、3、2.5和2模型。該類湍流封閉模式MY應(yīng)用較成熟的是由 Mellor[4]提出的 POM(princeton ocean model)模型,經(jīng)過(guò)多年的改進(jìn),已成為較廣泛使用的海洋模型。本文將重點(diǎn)總結(jié)和概括有關(guān)海洋湍流模式已有的研究成果中對(duì)動(dòng)量方程中壓力項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)、耗散項(xiàng)的改進(jìn)和完善,以及相應(yīng)的優(yōu)缺點(diǎn)。同時(shí),針對(duì)波浪混合及破碎對(duì)湍流封閉格式的影響方面的研究做了對(duì)比分析。

1 壓力相關(guān)矩的改進(jìn)

首先列出二階封閉過(guò)程中所需的動(dòng)量方程、熱通量方程和溫度脈動(dòng)方程的表達(dá)式:動(dòng)量方程

熱通量方程

溫度脈動(dòng)方程

式中:i、j、k、m分別表示不同的坐標(biāo)方向,以區(qū)分不同方向的變量及方向?qū)?shù);ui、uj、uk分別為不同方向的脈動(dòng)速度;Ui、Uj、Uk分別為不同方向的時(shí)均速度;xi、xj、xk分別分別為不同方向的坐標(biāo)變量;t為時(shí)間;ρ為瞬時(shí)密度;p為脈動(dòng)壓力;fk為科氏力系數(shù);β為經(jīng)驗(yàn)系數(shù);θ為溫度的紊動(dòng)變量;gi為重力加速度在i方向的分量;ν為水的運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù);λ為水的溫度分子擴(kuò)散系數(shù);δik為克羅內(nèi)克爾符號(hào);Θ為時(shí)均溫度;εijk為交變符號(hào)(當(dāng) ijk為123、312、231時(shí),εijk=1;當(dāng)ijk為213、321、132時(shí),εijk=-1;其他情況下εijk=0)。

公式中帶有上劃線的量符號(hào)表示各紊動(dòng)變量的時(shí)均值。式(1)左側(cè)第1項(xiàng)為時(shí)間變化率,第2項(xiàng)為對(duì)流輸運(yùn)項(xiàng);方程右側(cè)第1項(xiàng)為擴(kuò)散輸運(yùn)項(xiàng),第2項(xiàng)為壓力相關(guān)項(xiàng),第3項(xiàng)為應(yīng)力產(chǎn)生項(xiàng),第4項(xiàng)為科氏力項(xiàng),第5項(xiàng)為浮力項(xiàng),最后一項(xiàng)為黏性耗散項(xiàng)。式(2)左側(cè)第1項(xiàng)為時(shí)間變化率,第2項(xiàng)為對(duì)流輸運(yùn)項(xiàng);右側(cè)第1項(xiàng)表示擴(kuò)散輸運(yùn)項(xiàng),第2項(xiàng)和第3項(xiàng)代表時(shí)均流場(chǎng)的產(chǎn)生項(xiàng),第4項(xiàng)為浮力產(chǎn)生項(xiàng),第5項(xiàng)為壓力相關(guān)項(xiàng),第6項(xiàng)為黏性耗散項(xiàng)。式(3)左側(cè)第1項(xiàng)為時(shí)間變化率,第2項(xiàng)為對(duì)流輸運(yùn)項(xiàng);右側(cè)第1項(xiàng)表示擴(kuò)散輸運(yùn)項(xiàng),第2項(xiàng)代表時(shí)均流場(chǎng)的產(chǎn)生項(xiàng),第3項(xiàng)為黏性耗散項(xiàng)。

Rotta等[5-10]對(duì)式 (1)中的壓力相關(guān)矩進(jìn)行了相當(dāng)廣泛的研究,壓力相關(guān)矩一般采用如下簡(jiǎn)化方式表達(dá):

將壓力相關(guān)矩表示為壓力擴(kuò)散項(xiàng)和壓力應(yīng)變項(xiàng)(采用∏ij表示),Hanjalic等[11]指出式(4)中右端的前兩項(xiàng)(壓力擴(kuò)散項(xiàng))的量級(jí)相對(duì)壓力應(yīng)變項(xiàng)較小,可以忽略。較早對(duì)∏ij的處理方式是Rotta[5]的能量重分布假設(shè):

式中:l1為經(jīng)驗(yàn)長(zhǎng)度尺度。

式(5)右端第1項(xiàng)表示各脈動(dòng)速度分量之間的相互作用,第2項(xiàng)表示紊動(dòng)流動(dòng)應(yīng)變率(也可稱為平均剪切作用),式(5)的作用即是把能量在各個(gè)分量之間重新分配,Mellor等[12-14]也采用此格式。此外,Rodi[8]對(duì)壓力應(yīng)變項(xiàng)的模擬就是用壓力脈動(dòng)

泊松方程消去壓力應(yīng)變項(xiàng)中的脈動(dòng)壓力p,從而得出有3種作用對(duì)壓力應(yīng)變項(xiàng)有貢獻(xiàn)的結(jié)論,即各脈動(dòng)速度分量之間具有相互作用、平均剪切作用以及浮力作用,通常將這3種作用的貢獻(xiàn)分別做以下模擬:

式中:K為湍動(dòng)能;ε為湍動(dòng)能耗散率;C1、C2、C3、γ和β1均為常數(shù)。

由于剪切項(xiàng)和渦量項(xiàng)是各自獨(dú)立的,所以需考慮渦量效應(yīng),而式(6)和式 (7)都沒(méi)有考慮渦量效應(yīng)。如果考慮完整性,還應(yīng)添加非均勻項(xiàng)。Canuto等[15]在湍流模式中考慮了各脈動(dòng)速度分量之間的相互作用、平均剪切作用、浮力作用、非均勻項(xiàng)以及渦量項(xiàng),∏ij表達(dá)式如下:

其中非均勻項(xiàng)和渦量項(xiàng)分別為

式中α1、α2為常數(shù)。式(8)使MY模型中臨界理查森數(shù)Ricr從0.2提高到1.0。這種變化使大多數(shù)模擬出的海洋湍流混合特征能夠符合實(shí)際情況,這一點(diǎn)已由Martin[16]給予了驗(yàn)證,Martin設(shè)置Ricr接近于1.0,在Papa和November兩地通過(guò)實(shí)測(cè)得到了正確的混合層深度。此外,Monin[17]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)證明實(shí)際理查森數(shù) Ri＞1時(shí)湍流交換仍是存在的。圖1為普朗特常數(shù)隨理查森數(shù)Ri變化的試驗(yàn)值和計(jì)算值對(duì)比,Webster[18]的穩(wěn)定分層流湍流試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果表明混合存在的上限是 Ri接近1.0;Gerz等[19]的直接數(shù)值模擬和Wang等[20]的大渦模擬也說(shuō)明湍流在Ri接近1.0也是存在的。

從圖1可以看出,對(duì)于壓力相關(guān)矩的改善主要是考慮更多的壓力相關(guān)矩的影響因素;從另一方面來(lái)說(shuō),人們對(duì)壓力相關(guān)矩的了解越來(lái)越全面:從最開(kāi)始的各脈動(dòng)速度分量之間的相互作用、平均剪切作用、浮力作用,到非均勻項(xiàng)和渦量項(xiàng)影響的添加,使得模型能夠模擬越來(lái)越大的Ri下強(qiáng)分層湍流,從而對(duì)實(shí)際海洋混合的模擬也越來(lái)越準(zhǔn)確。

圖1 普朗特常數(shù)隨理查森數(shù)變化的試驗(yàn)值和計(jì)算值

2 擴(kuò)散項(xiàng)的改進(jìn)

除了壓力相關(guān)矩的改善之外,如何處理三階擴(kuò)散項(xiàng)的研究逐漸受到重視,針對(duì)三階擴(kuò)散輸運(yùn)項(xiàng)參量化,采用較為廣泛的是Mellor等[12]提出來(lái)的閉合模式和標(biāo)準(zhǔn)的K-ε模型[21],采用式(9)閉合三階擴(kuò)散項(xiàng):

式中:Sq、Suθ和Sθ為無(wú)因次常數(shù);l為湍流基本長(zhǎng)度尺度。

式(9)使得方程中三階擴(kuò)散輸運(yùn)項(xiàng)降為二階,封閉了方程組,進(jìn)而有利于數(shù)值求解。此外,Andréj等[22-25]提出了復(fù)雜的參量化,但只適用無(wú)剪切對(duì)流問(wèn)題。式(9)基于一般假設(shè),只適用剪力項(xiàng)、浮力項(xiàng)和耗散項(xiàng)占主要部分的近似各向同性湍流中,在穩(wěn)定強(qiáng)分層流中就失效了。這種三階擴(kuò)散輸運(yùn)項(xiàng)閉合最常用的方法即是順梯度逼近 (downgradient approximation,DGA)。雖然DGA能夠較好的模擬三階動(dòng)量,但Moeng等[26]研究顯示DGA低估了三階動(dòng)量的值,導(dǎo)致低估了總體動(dòng)能的垂直通量,因而Canuto等[15]認(rèn)為應(yīng)該考慮穩(wěn)定情況(無(wú)時(shí)間項(xiàng)),從而將動(dòng)力方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程(即通用格式),即

式中:u、υ和w分別為x、y和z方向的速度紊動(dòng)變量;τ為常數(shù);α為膨脹系數(shù);A、B、C、D、E、F、G、H、I和J分別為待定常數(shù)。相比于DGA,式(10)使用了二階動(dòng)量梯度,雖然能夠較準(zhǔn)確地模擬三階動(dòng)量的值,但是存在大量需要確定的常數(shù),即需要大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定待定常數(shù),操作起來(lái)仍然不方便。此外,對(duì)于三階擴(kuò)散項(xiàng)的垂直輸運(yùn)項(xiàng) Fk,Patrick等[27]通過(guò)引進(jìn)湍流能量擴(kuò)散的第三穩(wěn)定函數(shù)Sk進(jìn)行參數(shù)化,即

圖2為湍動(dòng)能垂向擴(kuò)散系數(shù)的第三穩(wěn)定函數(shù)Sk與理查森數(shù)Ri的關(guān)系,Sk主要有3種假設(shè)。

圖2 第三穩(wěn)定函數(shù)Sk與理查森數(shù)Ri的關(guān)系

a.K-ε模型采用如下關(guān)系:

式中:Su為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)系數(shù);σk為擴(kuò)散常數(shù),取σk=1。

b.Sk常數(shù)可由MY模型[12]計(jì)算得到:

式中Sk0為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。

c.可由DH模型[11,28]推導(dǎo)得出Sk與湍流動(dòng)能的垂直分量成正比:

式中:cs為擴(kuò)散系數(shù);αM、αN分別是關(guān)于剪力頻率M、浮力頻率N的穩(wěn)定性參數(shù);Sb為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)系數(shù)。

由圖2可知,K-ε模型的Sk隨著Ri減小,直至其為0.85左右,但實(shí)際上Ri大于0.85之后,湍流還是存在的,與海洋中的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)不符;MY模型采用的是Sk為常數(shù),未能充分反映在低理查森數(shù)下Sk實(shí)際情況;而DH模型的Sk逐漸減小直至趨近某常數(shù),可以說(shuō)DH模型綜合了K-ε模型和MY模型的優(yōu)勢(shì),充分反映了真實(shí)海域下湍流的狀態(tài)。

應(yīng)用于海洋和海岸的大多數(shù)預(yù)測(cè)模型的二階湍流封閉格式的缺陷是:閉合參數(shù)只適用于近似各向同性湍流,在湍混合較好和高雷諾數(shù)湍流下是滿足的,但在強(qiáng)分層流中是不滿足的,此時(shí)湍流逐漸各向異性,這一點(diǎn)可由 Yamazaki[28]的海洋實(shí)測(cè)、Thoroddson等[29]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和Itsweire等[30]的直接數(shù)值模擬所證明。

由上述分析可知,DH模型雖然仍舊采用DGA的格式,但它將Sk與Ri之間建立起一個(gè)可以反映實(shí)際湍流垂向特性的聯(lián)系,即在高Ri下,湍流也是能夠模擬的,這大大增加了湍流的模擬區(qū)域,同時(shí)減弱了低估三階動(dòng)量值的可能性。

3 耗散項(xiàng)的改進(jìn)

對(duì)于動(dòng)量方程中的耗散項(xiàng),采用無(wú)因次變量法得到經(jīng)典公式如下:

式中Λ為湍流特征長(zhǎng)度尺度。對(duì)于熱通量和溫差方程中的耗散項(xiàng),由Mellor的早期模型[12]可得

其中

式中l(wèi)2、Λ2為與溫度相關(guān)的長(zhǎng)度尺度,可由湍流主長(zhǎng)度尺度乘以一個(gè)常量得到,而常量的值需要由試驗(yàn)得到。

式(17)的初處理方式如同式 (16),但是式(16)沒(méi)有進(jìn)行二次處理,而式(17)和式(18)進(jìn)行了二次處理。式(17)是將uiθ的平均值與溫度對(duì)流項(xiàng)、浮力項(xiàng)和科氏力項(xiàng)相聯(lián)系,而 式(18)只是與溫度對(duì)流項(xiàng)相聯(lián)系,相對(duì)而言,式(18)處理更簡(jiǎn)單。

在Dickey[31]的分層流試驗(yàn)(下文稱為DM試驗(yàn))中,湍流逐漸衰減直至臨界理查森數(shù),湍流的渦動(dòng)轉(zhuǎn)化成線性內(nèi)波。而根據(jù)DM試驗(yàn),由分子黏性引起微小的衰減仍然存在,而且隨著雷諾數(shù)增大而減小。鑒于此,Mellor[32]對(duì)MY模型進(jìn)行了修正,用與理查德森數(shù)相聯(lián)系的耗散率代替已有的子模型耗散,同時(shí)為了模擬分層流和耗散率的中斷,對(duì)ε進(jìn)行如下處理:

式中:H(Rq)為與理查森數(shù)相關(guān)的階梯函數(shù);N為浮力頻率;Rqc為Rq的臨界值,約等于100。

渤海的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)顯示湍耗散率在垂直結(jié)構(gòu)存在間斷性的分布,如圖3所示,其中χθ為熱耗散率。t4測(cè)點(diǎn)在水深10 m處湍耗散率變化有3個(gè)數(shù)量級(jí),而式(19)(20)可以有效地模擬耗散率的中斷。

但當(dāng)MY模型在整個(gè)海洋上表邊界層運(yùn)用時(shí),在夏季穩(wěn)定分層情況下,會(huì)出現(xiàn)過(guò)淺的海洋表面層深度和過(guò)高的海表溫度現(xiàn)象。鑒于此,Kantha等[14]認(rèn)為有必要修改MY模型,而且直接在混合層中添加渦黏系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)(即放棄了經(jīng)驗(yàn)常數(shù)是無(wú)因次變量的原則)。此外,Martin[16]在 Papa和November兩個(gè)站點(diǎn)的實(shí)測(cè)結(jié)果也說(shuō)明MY模型中過(guò)淺的混合層導(dǎo)致夏天海表溫度過(guò)高這一事實(shí),MY模型中夏季海表溫度仍然是偏高的,因此仍然需要改善。

為了和原來(lái)的MY模型相應(yīng)的項(xiàng)表達(dá)一致, Mellor[32]對(duì)變量進(jìn)行了變換,設(shè)Rq=-B21GH,其中B1為常數(shù),則式(19)(21)分別可以變?yōu)槭?22)(23)。

式中GHc為需要指定的常數(shù),一般可以通過(guò)模擬值和實(shí)測(cè)值的符合良好時(shí)給定。

Mellor證明了涵蓋并依賴?yán)聿樯瓟?shù)的耗散率能增加分層外圍部分的湍流動(dòng)能,增加了邊界層的厚度,而且能夠改善與風(fēng)壓和熱通量實(shí)測(cè)結(jié)果的吻合程度[16]。當(dāng)然有些因素使得模型計(jì)算與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合不是很理想,除了模型物理量的過(guò)度簡(jiǎn)化和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)誤差,還包括未知內(nèi)波、表面波等原因。

對(duì)于耗散率的模擬,用與理查德森數(shù)相聯(lián)系的階段性函數(shù)有效模擬強(qiáng)分層流(各向異性湍流),這說(shuō)明了未涵蓋、未依賴?yán)聿樯瓟?shù)的耗散率低估了湍流的動(dòng)能,未能有效捕捉到湍動(dòng)能;這也證明了耗散率也是依賴于理查森數(shù)的,進(jìn)一步說(shuō)明了強(qiáng)分層流的本質(zhì)。

圖3 渤海各測(cè)點(diǎn)湍耗散率和熱耗散率垂向分布

4 波浪對(duì)湍流封閉格式的影響

波浪在海洋和大氣的能量、動(dòng)量及氣體交換中起著重要作用。波浪引起的海洋上層湍混作用通常認(rèn)為有3種機(jī)制[33]:波浪破碎產(chǎn)生的紊動(dòng)和混合;波流相互作用產(chǎn)生的Langmuir環(huán)流;非破碎波浪水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)水平速度的垂直梯度產(chǎn)生的剪切流對(duì)紊動(dòng)產(chǎn)生的貢獻(xiàn)。

海洋環(huán)流控制方程中的雷諾應(yīng)力項(xiàng)可以直接體現(xiàn)海洋的混合過(guò)程,該項(xiàng)依據(jù)不同的參數(shù)化方法來(lái)閉合方程組,是海洋環(huán)流數(shù)值模式研究中最薄弱的環(huán)節(jié)[34]。Qiao等[35]建立了波浪運(yùn)動(dòng)混合的理論框架,基于該理論并利用海浪數(shù)值模式,可以得到實(shí)時(shí)的三維波致雷諾應(yīng)力和波浪運(yùn)動(dòng)對(duì)環(huán)流場(chǎng)的混合作用。

其中,波浪破碎的湍混作用一直是個(gè)難點(diǎn)。由波浪破碎引起的湍混作用的經(jīng)典描述來(lái)源于Craig等[36]模型。其中波浪破碎對(duì)紊動(dòng)的貢獻(xiàn)是通過(guò)在紊動(dòng)動(dòng)能方程中添加通量,該通量來(lái)源于波能的耗散。Rascle等[33]等綜合了以前的研究,給出了以下的表達(dá)方式:

式中:Sm和Sq是模型參數(shù),分別取0.39和0.2[12];τw為由波浪運(yùn)動(dòng)引起的垂向動(dòng)量的通量;DE(c)表示在相速度c到c+dc范圍的破碎波的能量損失;fc(z)為標(biāo)準(zhǔn)化深度函數(shù),表示每一個(gè)破碎波的能量注入深度,這里正比于破碎波的波長(zhǎng)。

整個(gè)紊動(dòng)動(dòng)能能量注入的剖面取決于fc(z)和DE(c)參數(shù)化方法選擇。Craig等[36]模型和觀測(cè)中耗散率的對(duì)比使得Craig等[36-40]認(rèn)為有更大的近表面擴(kuò)散,否則湍動(dòng)能就難以穿越到很深的水域。在波浪破碎下,剪切產(chǎn)生項(xiàng)和耗散項(xiàng)不再守恒。相比于Craig等[36]模型,Kudryavtsev等[41]認(rèn)為波浪破碎引起的湍流是湍動(dòng)能和湍動(dòng)量直接注入到某一深度,并且此深度與波高是同一個(gè)量級(jí),他將 fc(z)和DE(c)分別采用如下格式:

式中:Kc為波數(shù);βw為風(fēng)成波成長(zhǎng)率;ω為輻散頻率; E(c)為能量譜函數(shù)。Kudryavtsev選擇了一個(gè)較簡(jiǎn)單的飽和譜,在譜峰處高速截?cái)?βw可采用如下公式:

式中:cβ是常數(shù);u*為空氣與海面的摩阻流速。

Kudryavtsev的方法考慮了波浪破碎的行為,例如微尺度的破碎,并且納入到模型的亞黏層中。因?yàn)椴ɡ似扑樵谒嫦履墚a(chǎn)生較長(zhǎng)久的湍流,而這種波浪破碎與微尺度的破碎有關(guān)的。Kudryavtsev的描述符合耗散率的觀測(cè)結(jié)果,也符合表面的“cold skin”和亞黏性層的觀測(cè)結(jié)果。這一點(diǎn)可以由Terray等[37]基于試驗(yàn)結(jié)果提出的3層結(jié)構(gòu)得到證明,試驗(yàn)結(jié)果表明水體上層(水深為波高的60%)是由波浪破碎引起的湍流注入?yún)^(qū),并同時(shí)有50%的能量耗散。而其之下的變化層(耗散正比于z-2),與更深層(壁面相似定律適用)是可以合并考慮的。Kudryavtsev的這種描述擺脫了Craig等[36]模型中海表面的粗糙尺度,僅僅基于破碎波的大小和譜分布。

另一種波浪破碎能量注入到一定深度的方法體現(xiàn)在Sullivan等[42-43]復(fù)雜的模型中。這些模型采用直接數(shù)值模擬或是大渦模擬的破碎波浪的分布來(lái)解決動(dòng)量在某一深度注入。假設(shè)波浪破碎是隨機(jī)的:①波浪破碎是一個(gè)在時(shí)間和空間上均勻分布的隨機(jī)過(guò)程;②用空間和時(shí)間上的緊致函數(shù)代替單體波浪破碎,以便從破碎波浪中捕捉到平均體脈沖,這樣可以避免空氣-水完全模擬的復(fù)雜性;③強(qiáng)迫破碎脈沖是互相不影響的,使得在波浪破碎區(qū)可以由離散的事件疊加而成。

對(duì)于Pwb(z),Sullivan等[42]采用類似于Kudryavtsev的格式:

式中b2是依賴于波齡的常數(shù),并由對(duì)海洋通量的總能量和總動(dòng)量決定。

由式(26)(27)(29)(30)對(duì)比分析,可知Sullivan模型中的fc(z)更淺,因而耗散率相對(duì)更小,同時(shí)Sullivan模型中的這種分布,只有少量能量是通過(guò)波浪破碎耗散的。盡管Sullivan選擇的破碎波浪的分布在物理上是合理的,即當(dāng)波浪成長(zhǎng)時(shí),波浪破碎向高頻移動(dòng),但與實(shí)際觀測(cè)的耗散率吻合較差。這種結(jié)果來(lái)源于過(guò)小的波浪破碎注入深度和波浪譜分布的格式選擇,故而有只有短波導(dǎo)致耗散。此外, Sullivan的分析得出:未充分發(fā)展的波浪比成熟波浪的湍流注入更大的深度,這與Terray等[37]所測(cè)結(jié)果相反。

5 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于海洋環(huán)流模式中二階湍流閉合模式的各項(xiàng)模擬,學(xué)者們更傾向于不斷完善各項(xiàng)與理查森數(shù)的關(guān)系,使之能夠反應(yīng)強(qiáng)分層流的本質(zhì),并且取得了較好的成果。但環(huán)流模型中現(xiàn)有的模式普遍低估了各種動(dòng)力條件對(duì)海表的混合作用,同時(shí)缺乏海表強(qiáng)風(fēng)、波浪對(duì)環(huán)流作用的實(shí)測(cè)及模型化研究,例如如何有效地定義風(fēng)能的輸入方式,風(fēng)能輸入(特別是強(qiáng)風(fēng)作用下)在波浪不同成長(zhǎng)階段的作用如何等,這些機(jī)理性的問(wèn)題在海洋觀測(cè)、試驗(yàn)研究和數(shù)值模擬方面的結(jié)論還存在一定的差異,不同研究的結(jié)論有時(shí)甚至是相悖的。而對(duì)于這個(gè)在海洋環(huán)流和表面混合中起著重要作用的波浪破碎動(dòng)力過(guò)程的研究,由于波浪破碎模型發(fā)展的瓶頸和對(duì)該過(guò)程能量、動(dòng)量、氣體交換機(jī)理性研究的欠缺和困難,還有很多工作需要進(jìn)一步的深入展開(kāi),從而不斷完善海洋環(huán)流模式的診斷和預(yù)測(cè)能力。

[1]REYNOLDS O.On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion[J].Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1895:123-164.

[2]PRANDTL L. Bericht über untersuchungen zur ausgebildeten turbulenz[J].Z Angew Math Mech,1925, 5:136-139.

[3]KOLMOGOROV A N.The local structure of turbulence in incompressible viscousfluid forverylargeReynolds numbers[J].Mathematical and Physical Sciences,1991, 434:9-13

[4]MELLOR G L.Analytic prediction of the properties of stratified planetary surface layers[J].Journal of the Atmospheric Sciences,1973,30(6):1061-1069.

[5]ROTTA J C.Statistiche theorie nichthomogener turbulenz [J].Zeitschrift für Physik,1951,129(6):547-572.

[6]LUMLEY J L,KHAJEH-NOURI B.Modeling homogeneous deformation of turbulence[J].Advances in Geophysics, 1974,18A:162-192.

[7]LAUNDER B E,REECE G J,RODI W.Progress in the development of a reynolds-stress turbulence closure[J]. Journal of Fluid Mechanics,1975,68(3):537-566.

[8]RODI W.A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses[J].Z Angew Math Mech,1976,56: 219-221.

[9]SHIH T S,SHABBIR A.Studies in turbulence[M].New York:Springer-Verlag,1992.

[10]GATSKI T B,SARKAR S,SPEZIABLE C G.Studies in turbulence[M].New York:Springer-Verlag,1992.

[11]HANJALIC K,LAUNDER B E.A Reynolds stress model of turbulence and its application to thin shear flows[J]. Journal of Fluid Mechanics,1972,52(4):609-638.

[12]MELLOR G L,YAMADA T.Development of a turbulence closure model for geophysical fluid problems[J].Review of Geophysics and Space Physics,1982,20(4):851-875.

[13]MELLOR G L.Retrospect on oceanic boundary layer modeling and second moment closure[C]//MüLLER P, HENDERSON D.Parameterization of small scale processes.Hawaiian:Winter Workshop,1989:251-272.

[14]KANTHA L,CLAYSON C A.An improved mixed layer modelforgeophysicalapplication [J].Journalof Geophysical Research,1994,99(C12):25235-25266.

[15]CANUTO V M,HOWARD A,CHENG Y,et al.Ocean turbulence,part I:one-point closure model momentum and heatverticaldiffusivities [J].JournalofPhysical Oceanography,2001,31(6):2546-2559.

[16]MARTIN P J.Simulation of the mixed layer at OWS November and Papa with several models[J].Journal of Geophysical Research,1985,90(C1):903-916.

[17]MONIN A S,YAGLOM A M.Statistical fluid mechanics: mechanics of turbulence[M].Cambridge:The MIT Press, 1971.

[18]WEBSTER C A G.An experimental study of turbulence in a density stratified shear flow [J].Journal of Fluid Mechanics,1964,19(2):221-245.

[19]GERZ T,SCHUMANN U,ELGHOBASHI S E.Direct numericalsimulation stratified homogeneousturbulent shear flows[J].Journal of Fluid Mechanics,1989,220 (1):563-594.

[20]WANG D,LARGE W G,MCWILLIAMS J C.Large eddy simulation of the equatorial ocean boundary layer:diurnal cycle,eddy viscosity and horizontal rotation[J].Journal of Geophysical Research,1996,101(C2):3649-3662.

[21]RODI W.Turbulence models and their application in hydraulics[M].Delft:IAHR Publication,1984.

[22]ANDRéJ C,LACARRèRE P.Mean and turbulent structures of oceanic surface layer as determined from onedimensional,third-ordersimulations[J].Journalof Physical Oceanography,1985,15(2):121-132.

[23]CANUTO V M.Large eddy simulation of turbulence:a sub-grid model including shear,vorticity,rotation and buoyancy[J].The Astrophysical Journal,1994,428(2): 729-752.

[24]ABDELLLA K,MCFARLANE N.A new second-order turbulence closure scheme for the planetary boundary[J]. Journal of the Atmospheric Sciences,1997,54(14):1850-1867.

[25]ZILITINKEVICH S,GRYANIK V M,LYKOSSOV V N,et al.Third-order transport and nonlocal turbulence closures for convective boundary layers[J].Journal ofthe Atmospheric Sciences,1999,56(19):3463-3477.

[26]MOENG C H,WYNGAARD J C.Evaluation of turbulent transport and dissipation closures in second-order modeling [J].Journal of the Atmospheric Sciences,1989,46(14): 2311-2330.

[27]PATRICK J L,SANDRO C,GEORG U.Validation of turbulence closure parameterizations for stably stratified flows using the PROVESS turbulence measurements in north sea[J].Journal of Sea Research,2002,47(3): 239-267.

[28]YAMAZAKIH.Stratified turbulence neara critical dissipation rate[J].Journal of Physical Oceanography, 1990,20(10):1583-1598.

[29]THORODDSON S T,VAN ATTA C W.The influence of stable stratification on small-scale anisotropy and dissipation in turbulence[J].Journal of Geophysical Research,1992,97(C3):3647-3658.

[30]ITSWEIRE E C,KOSEFF J R,BRIGGGS D A,et al. Turbulence in stratified shear flows: implications for interpreting shear-induced mixing in the ocean[J]. Journal of Physical Oceanography,1993,23(7):1508-1522.

[31]DICKEY T D.An experiment study of decaying and diffusing turbulence in neutral and stratified fluids[D]. Princeton:Princeton University,1977.

[32]MELLOR G L.One-dimensional,ocean surface layer modeling:a problem and a solution[J].Journal of Physical Oceanography,2001,31(3):790-809.

[33]RASCLE N,CHAPPON B,ARDHUIN F,et al.A note on the direct injection of turbulence by breaking waves[J]. Ocean Modelling,2013,70:145-151.

[34]張敬.海岸、河口區(qū)三維近岸環(huán)流與物質(zhì)輸運(yùn)數(shù)值研究[D].青島:中國(guó)海洋大學(xué),2010.

[35]QIAO F,YUAN Y,YANG Y,et al.Wave-induced mixing in the upper ocean:distribution and application to a global ocean circulation model[J].GeophysicalResearch Letters,2004,31(11):L11303.1-L11303.4.

[36]CRAIG P D,BANNER M L.Modeling wave-enhanced turbulence in the ocean surface layer[J].Journal of Physical Oceanography,1996,26(5):2546-2559.

[37]TERRAY E A,DONELAN M A,Agrawal Y C,et al. Estimates of kinetic energy dissipation under breaking waves[J].Journal of Physical Oceanography,1996,26 (5):792-807.

[38]TERRAY E A,DRENNAN W M,DONELAN M A.The vertical structure of shear and dissipation in the ocean surface layer [C]//Csanady G T.Proceeding of symposium on air-sea interaction.Sydney:University of New South Wales,2000:239-245.

[39]SOLOVIEV A,LUKAS R.Observation of wave-enhanced turbulence in the near surface layer of the ocean during TOGA COARE[J].Deep Sea Research,2003,50(3): 371-395.

[40]GEMMRICH J R,FARMER D M.Near-surface turbulence in the presence of breaking waves[J].Journal of Physical Oceanography,2004,34(5):1067-1086.

[41]KUDRYAVTSEV V,SHRIRA V,DULOV V,et al.On the vertical structure of wind-driven sea currents[J].Journal of Physical Oceanography,2008,38(10):2121-2144.

[42]SULLIVAN P P,MCWILLIAMS J C,MELVILLE W K. The oceanic boundary layer driven by wave breaking with stochastic variability,part 1:Direct numerical simulation [J].Journal of Fluid Mechanics,2004,507:143-174.

[43]SULLIVAN P P,MCWILLIAMS J C,MELVILLE W K. Surface gravity wave effects in the oceanic boundary layer: large-eddy simulation with vortex force and stochastic breakers[J].Journal of Fluid Mechanics,2007,593:405-452.

Review of two-order turbulence closure schemes for ocean circulation model//

LIANG Shuxiu,YAN Bin,SUN Zhaochen, ZHANG Yihui
(State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024, China)

A brief review of the development of second-order turbulence closure is presented aiming to overcome the two deficiencies in the prediction of the ocean circulation model.The paper begins from Reynolds stress equations,analyzes and summarizes the improvement and development of pressure relations term,diffusions term,and dissipations term aiming at stating the effects of the terms on the prediction ability of corresponding turbulence closure.Finally,the different ways to consider the wave mixing in ocean circulation model are discussed as well.The improvement of pressure correlation focuses on adding the relative terms such that the Richardson's number of the turbulence approaches 1.The diffusion term is improved by the third stability function Sk.The improvement of dissipation relies on the empiricism by using the Heaviside step function to simulate the strong stable stratified flow.In simulating the wave impact on the vertical diffusion coefficient and injecting energy dissipated in wave breaking into turbulent kinetic energy equation,the two general problems-too shallow mixing layer and the low intensity of the thermocline-may be improved physically.

second-order turbulence closure;pressure relations;diffusions;dissipations;wave mixing

TV131.2;P751

:A

:1006-7647(2014)04-0082-07

10.3880/j.issn.1006-7647.2014.04.018

2013-0704 編輯:周紅梅)

國(guó)家自然科學(xué)基金(51279028)

梁書(shū)秀(1972—),女,遼寧鳳城人,副教授,博士,主要從事海洋環(huán)境數(shù)值模擬及海洋信息數(shù)字化研究。E-mail:sxliang@dlut.