邵冬冬章 青夏曉舟

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院,江蘇南京 210098)

混凝土等顆粒型材料的偶極效應(yīng)分析

邵冬冬,章 青,夏曉舟

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院,江蘇南京 210098)

考慮物質(zhì)點(diǎn)的偶極效應(yīng),基于Cosserat連續(xù)體介質(zhì)力學(xué)模型,把球形微顆粒推廣到方形微顆粒,推導(dǎo)出方形微顆粒對(duì)應(yīng)的偶應(yīng)力和曲率應(yīng)變之間的線彈性關(guān)系,并提出了一種能考慮微顆粒傾覆破壞的廣義屈服準(zhǔn)則。編寫了基于Cosserat連續(xù)體介質(zhì)力學(xué)模型的有限元分析程序,進(jìn)行了混凝土試樣單軸壓縮試驗(yàn)和土體邊坡穩(wěn)定性分析的數(shù)值模擬。研究結(jié)果表明,物質(zhì)點(diǎn)的偶極效應(yīng)確實(shí)存在,且是材料發(fā)生應(yīng)變局部化的直接原因。

偶極效應(yīng);方形微顆粒;應(yīng)變局部化;數(shù)值模擬

傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)廣泛應(yīng)用于當(dāng)今各個(gè)領(lǐng)域,但在微細(xì)觀領(lǐng)域,由于尺度效應(yīng)廣泛存在,其適用性受到制約。為了正確而有效地解釋尺度效應(yīng),偶應(yīng)力逐漸成為力學(xué)研究的熱點(diǎn)。早在19世紀(jì)法國Cosserat兄弟[1]就提出了偶應(yīng)力理論,即每個(gè)顆粒形變時(shí)不僅產(chǎn)生位移,還伴隨著轉(zhuǎn)動(dòng)。在基于Cosserat連續(xù)體理論的有限元方法中,除引入線位移自由度外,還另加入獨(dú)立于線位移的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度?；贑osserat連續(xù)體理論進(jìn)行的數(shù)值模擬計(jì)算,能有效模擬變形局部化效果并消除了網(wǎng)格依賴性[2]。該理論在分析特定材料[3-5]和特定物理現(xiàn)象[6]時(shí),表現(xiàn)出很高的求解精度和良好的模擬效果。

混凝土、巖體等高度非均質(zhì)材料形成的顆粒夾雜相形狀大小各異,只用球形或圓形來模擬混凝土顆粒等過于單一。本文在Cosserat連續(xù)體介質(zhì)力學(xué)模型的框架下,把球形微顆粒推廣到方形微顆粒,建立考慮方形微顆粒偶極效應(yīng)的偶應(yīng)力與曲率應(yīng)變之間的線彈性關(guān)系,在此基礎(chǔ)上,提出一種能考慮微顆粒傾覆破壞的廣義屈服準(zhǔn)則。

1 考慮物質(zhì)點(diǎn)偶極效應(yīng)的基本方程

物質(zhì)點(diǎn)被賦予內(nèi)稟尺度,其廣義應(yīng)力狀態(tài)如圖1所示,圖中σij為應(yīng)力張量分量,μij為偶應(yīng)力張量分量,因此平衡方程還包括旋轉(zhuǎn)平衡,即

式中:bj——體積力分量;Ψi——體力偶分量;eijk——置換符。

與經(jīng)典連續(xù)體相比,剪應(yīng)力互等定理已不再成立[7],由于與曲率能量共軛的偶應(yīng)力的出現(xiàn),角動(dòng)量的守恒將產(chǎn)生不對(duì)稱的應(yīng)力張量。

幾何協(xié)調(diào)方程:

式中:εij——應(yīng)變張量分量;ωk——旋轉(zhuǎn)向量分量;χij——曲率張量分量;ωj,i——對(duì)旋轉(zhuǎn)向量求偏導(dǎo)。當(dāng)不考慮旋轉(zhuǎn)向量的影響時(shí),協(xié)調(diào)方程退化為連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的幾何方程。應(yīng)變張量ε不僅與位移有關(guān),同時(shí)與旋轉(zhuǎn)向量也存在關(guān)系。

圖1 細(xì)觀物質(zhì)點(diǎn)的廣義應(yīng)力狀態(tài)Fig.1 Generalized stress state of meso material point

本構(gòu)方程:

式中:D*——Cosserat物質(zhì)點(diǎn)的彈性矩陣。寫成分量形式為

式中:Dijkl——應(yīng)力與應(yīng)變之間的彈性矩陣分量形式;Hijkl——偶應(yīng)力與曲率(扭率)應(yīng)變之間的彈性矩陣分量形式。

2 物質(zhì)點(diǎn)的彈性矩陣

對(duì)于球形物質(zhì)點(diǎn),給定其內(nèi)稟特征尺度,即直徑ld,則偶應(yīng)力μ與曲率(扭率)應(yīng)變?chǔ)种g的彈性矩陣H為[8]

式中:G——細(xì)觀物質(zhì)點(diǎn)的剪切模量。

對(duì)于方形物質(zhì)點(diǎn),應(yīng)在其局部坐標(biāo)系下建立本構(gòu)方程。在局部坐標(biāo)系下,對(duì)于三維問題,物質(zhì)點(diǎn)的廣義應(yīng)力分量為

廣義應(yīng)變分量為

則局部坐標(biāo)系下的本構(gòu)方程可寫為

式中:Gc——Cosserat剪切模量;ν——泊松比。

對(duì)于方形物質(zhì)點(diǎn),給定其內(nèi)稟尺度,即長la、寬lb和高lc,則偶應(yīng)力ˉ與曲率(扭率)應(yīng)變之間的彈性矩陣H為

式中:E——細(xì)觀物質(zhì)點(diǎn)的彈性模量;β1、β2、β3——方形截面桿的扭轉(zhuǎn)形狀參數(shù),根據(jù)該截面長寬(長高或?qū)捀?之比來定,具體數(shù)值可由彈性力學(xué)[9]中方形扭轉(zhuǎn)桿的解答給出。

3 考慮物質(zhì)點(diǎn)偶極效應(yīng)的廣義屈服準(zhǔn)則

可直接采用截?cái)嘈湍?庫倫屈服準(zhǔn)則[10-11]描述細(xì)觀物質(zhì)點(diǎn)拉裂與滑移2種極限狀態(tài),但由于偶應(yīng)力的存在導(dǎo)致剪應(yīng)力不互等,其莫爾圓如圖2所示(σS與σN分別代表切向應(yīng)力和法向應(yīng)力)。

圖2 細(xì)觀物質(zhì)點(diǎn)的莫爾圓Fig.2 Mohr's circle of meso material point

為了方便,把應(yīng)力張量分成對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分[12],其中對(duì)稱部分就是傳統(tǒng)意義下的應(yīng)力張量,又可分解成偏量和球量,因此反映拉裂和滑移的截?cái)嘈湍獱?庫倫屈服準(zhǔn)則直接利用對(duì)稱部分套用即可。為了數(shù)學(xué)上的方便處理,在對(duì)稱應(yīng)力張量空間下,可采用 DP (Drucker-Prager)屈服準(zhǔn)則[13]來反映;對(duì)于傾覆這種極限狀態(tài),在偶應(yīng)力空間下描述要比反對(duì)稱應(yīng)力張量空間下方便,因?yàn)檫_(dá)到傾覆屈服后,偶應(yīng)力與扭率、曲率應(yīng)變之間的關(guān)系可直接套用應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系來處理。

對(duì)于傾覆或滾動(dòng)的極限狀態(tài)可引入靜摩阻系數(shù)δmax,如果對(duì)于平面應(yīng)變問題,球形顆粒的極限平衡狀態(tài)應(yīng)為

式中:τvy、τvx——平面內(nèi)的剪應(yīng)力項(xiàng);l——內(nèi)稟尺度;c——材料的黏聚力;δmax——砂漿強(qiáng)相顆粒相對(duì)于弱項(xiàng)顆粒的靜摩阻系數(shù)。

空間問題的長方體顆粒相對(duì)復(fù)雜些,考慮到棱角帶來的肋性效應(yīng),對(duì)摩阻系數(shù)加以修正,將應(yīng)力空間下DP屈服準(zhǔn)則推廣到偶應(yīng)力空間,即:

式中:λ——實(shí)常數(shù)。s表示對(duì)相應(yīng)變量求偏微分。

對(duì)于對(duì)稱應(yīng)力空間,彈塑性部分的應(yīng)力增量計(jì)算同連續(xù)介質(zhì)力學(xué)處理方式一樣。對(duì)于偶應(yīng)力空間,采用理想塑性模型,同樣采用廣義中點(diǎn)法[14]算出該迭代步的真實(shí)偶應(yīng)力,然后代入平衡方程(2),算出真實(shí)的反對(duì)稱應(yīng)力部分。

4 算例分析

通過編寫的基于Cosserat連續(xù)體介質(zhì)力學(xué)模型的有限元分析程序,進(jìn)行混凝土試樣單軸壓縮試驗(yàn)的數(shù)值模擬,并應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定性分析計(jì)算。

4.1 混凝土試樣單軸壓縮

某一平面應(yīng)變條件下的混凝土板,大小為40 cm×40 cm,上下端放置剛性板,施加位移荷載,即接觸面上各節(jié)點(diǎn)水平位移為0,垂直位移相同,取1/4(20 cm×20 cm)進(jìn)行模擬。材料參數(shù)為:E=30 GPa,μ=0.17,c= 3 MPa,δmax=1 mm。圖3、圖4分別為頂部受垂直指定位移0.04 cm時(shí)試樣的變形圖及微顆粒旋轉(zhuǎn)位移圖。

圖3 試樣變形Fig.3 Deformation patterns of specimens

圖4 旋轉(zhuǎn)位移等效云圖Fig.4 Equivalent image of rotational displacement

從圖3可以看出模擬過程中隨著壓力的逐漸增加,混凝土在受壓方向(面內(nèi))發(fā)生壓縮變形的同時(shí)產(chǎn)生橫向膨脹,混凝土顆粒發(fā)生微旋轉(zhuǎn)(圖4),物質(zhì)點(diǎn)的偶極效應(yīng)確實(shí)存在。

從圖5和圖6可以看出在云圖發(fā)展區(qū)域塑性應(yīng)變相對(duì)集中在試樣對(duì)角線?？紤]壓應(yīng)力與剪應(yīng)力的關(guān)系,一般工程材料滿足τs=(0.56-0.6)σs,σs為壓應(yīng)力,τs為剪應(yīng)力。算例中得到的剪切塑性應(yīng)力的值超過上述范圍,因此剪切破壞優(yōu)先發(fā)生。

圖5 等效塑性應(yīng)變Fig.5 Equivalent plastic strain

圖6 等效塑性應(yīng)力Fig.6 Equivalent plastic stress

由于物質(zhì)點(diǎn)存在偶極效應(yīng),即剪切導(dǎo)致混凝土顆粒旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生局部化變形。等效塑性應(yīng)變?cè)诩虞d過程中不斷發(fā)展,在由屈服到破壞過程中達(dá)到峰值,最終導(dǎo)致試樣發(fā)生破壞產(chǎn)生局部變形。從細(xì)觀層面考慮:一方面,隨著剪切應(yīng)力的逐漸變大,打破了微顆粒的平衡狀態(tài),使之發(fā)生旋轉(zhuǎn),激活了顆粒的旋轉(zhuǎn)自由度;另一方面,顆粒的微旋轉(zhuǎn)又加速了局部化變形。由此可推斷出物質(zhì)點(diǎn)的偶極效應(yīng)存在,且是材料發(fā)生應(yīng)變局部化的直接原因。

4.2 邊坡穩(wěn)定性分析

土體材料具有明顯的峰值和殘余強(qiáng)度,存在應(yīng)變軟化行為,導(dǎo)致土體的邊坡穩(wěn)定性分析十分復(fù)雜。在峰值和殘余強(qiáng)度之間,抗剪強(qiáng)度會(huì)隨著應(yīng)變的增長而迅速降低,產(chǎn)生非均勻的應(yīng)變,導(dǎo)致抗剪強(qiáng)度非均勻變化,最終發(fā)生漸進(jìn)破壞。為合理分析這種由應(yīng)變軟化引起的漸進(jìn)破壞現(xiàn)象,采用基于Cosserat連續(xù)體介質(zhì)力學(xué)模型的有限元數(shù)值方法。

取某土質(zhì)邊坡,底寬40m,頂寬30m,高10m,材料參數(shù)為:E=50MPa,μ=0.3,Gc=G/3,c=50kPa,內(nèi)稟尺度l分別為1mm、2mm、5mm3種顆粒級(jí)別且隨機(jī)分布。假定材料進(jìn)入塑性后服從線性應(yīng)變軟化規(guī)律[15]:σ=σy=σy0+hpεp,軟化模量hp取-150kPa。在邊坡頂部添加剛性單元,使施加的荷載壓力與實(shí)際相符(圖7)。

基于Cosserat連續(xù)體介質(zhì)力學(xué)模型的有限元分析可以追蹤漸進(jìn)破壞過程,直到出現(xiàn)明顯的破壞現(xiàn)象(圖8),相比于傳統(tǒng)有限元計(jì)算,效率更高,結(jié)果更為準(zhǔn)確。對(duì)于應(yīng)變軟化土體,在接近結(jié)構(gòu)的極限破壞狀態(tài)時(shí),采用方形微顆粒模型能夠模擬出局部化破壞區(qū)域的位置及漸進(jìn)破壞過程,進(jìn)一步驗(yàn)證了物質(zhì)點(diǎn)偶極效應(yīng)的存在與作用。

圖7 邊坡模型Fig.7 Slope model

圖8 等效塑性應(yīng)變演化過程Fig.8 Evolution process of equivalent plastic strain

5 結(jié) 論

數(shù)據(jù)模擬證明,考慮物質(zhì)點(diǎn)的偶極效應(yīng),在Cosserat連續(xù)體介質(zhì)力學(xué)模型框架下推導(dǎo)出的基于方形微顆粒模型下偶應(yīng)力和曲率應(yīng)變之間的線彈性關(guān)系,以及提出的考慮微顆粒傾覆破壞的廣義屈服準(zhǔn)則是正確可行的。通過編寫基于Cosserat連續(xù)體介質(zhì)力學(xué)模型的有限元分析程序,能夠得到更加準(zhǔn)確合理的結(jié)果。

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Dipole effect analysis of granular materials(such as concrete)

SHAO Dongdong,ZHANG Qing,XIA Xiaozhou
(College of Mechanics and Materials,Hohai University,Nanjing 210098,China)

Within the framework of the Cosserat continuum medium mechanics model,the spherical micro particle is extended and transformed into a square micro particle with consideration of the dipole effect of material points.Based on the Cosserat continuum medium mechanics model,a linear elastic relationship between the couple stress and the curvature strain for the square micro particle is derived,and a generalized yield criterion that can consider the overturning failure of micro particles is put forward.With the finite element analysis program based on the Cosserat continuum medium mechanics model,a numerical simulation was performed in order to analyze the concrete specimens under uniaxial compression and the soil slope stability.The results show that the dipole effect of material points indeed exists,and it is a direct cause of strain localization of materials.

dipole effect;square micro particles;strain localization;numerical simulation

TV314

:A

:1000-1980(2014)06-0513-05

10.3876/j.issn.1000-1980.2014.06.009

2013-11 12

水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(2011490911);國家自然科學(xué)基金(10972072,51179064,11132003)

邵冬冬(1989—),男,江蘇南通人,碩士研究生,主要從事細(xì)觀本構(gòu)建摸和數(shù)值模擬研究。E-mail:sbsdd@126.com

章青,教授。E-mail:lxzhangqing@hhu.edu.cn