鄒志華，鄭金來，喻道遠(yuǎn)，周小強(qiáng)，張永杰

(1.華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074;2. 江蘇高精機(jī)電裝備有限公司 技術(shù)中心，江蘇 鹽城 224053)

0 引言

立柱是三坐標(biāo)加工單元的關(guān)鍵支撐部件，它底部連接機(jī)床底座，頂部支撐主軸箱、刀庫等關(guān)鍵部件，其動(dòng)態(tài)性能關(guān)系到整個(gè)機(jī)床的工作性能，將直接影響到加工中心的穩(wěn)定切削及加工精度，因此對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的動(dòng)態(tài)特性分析顯得尤為重要。

機(jī)床立柱內(nèi)部加強(qiáng)筋的結(jié)構(gòu)、布局等在很大程度上決定了機(jī)床立柱結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能，但往往由于立柱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不合理，導(dǎo)致立柱的剛度不足，產(chǎn)生各種變形、振動(dòng)［1］。合理地選擇和布置立柱內(nèi)部加強(qiáng)筋是提高立柱剛度的一個(gè)有效措施。眾多學(xué)者對(duì)床身筋板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化研究［2-8］。但是他們并未對(duì)在不同外形尺寸下何種加強(qiáng)筋動(dòng)態(tài)特性更好做出明確研究，本文以立柱結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，利用ANSYS 軟件對(duì)立柱進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性計(jì)算分析，以立柱的固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)，重點(diǎn)研究不同元結(jié)構(gòu)單元的動(dòng)態(tài)特性，得到不同尺寸大小下的最優(yōu)元結(jié)構(gòu)類型;最后以優(yōu)選的元結(jié)構(gòu)單元對(duì)立柱加強(qiáng)筋進(jìn)行重新布置設(shè)計(jì)，獲得了動(dòng)態(tài)性能更好的立柱結(jié)構(gòu)。

1 立柱有限元模型

幾何模型是進(jìn)行有限元分析的基礎(chǔ)和前提。本文采用Pro/E 軟件建立立柱的三維實(shí)體模型，然后將其轉(zhuǎn)換為CAE 模型，再導(dǎo)入ANSYS 進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性計(jì)算分析。在建模過程中對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化與修改，忽略模型中對(duì)分析結(jié)果影響較小的特征，如部分倒角、凸臺(tái)、小孔等［9］。圖1 為簡(jiǎn)化后的立柱三維實(shí)體模型，圖2 為簡(jiǎn)化后立柱的有限元網(wǎng)格劃分模型。

圖1 立柱三維實(shí)體模型

圖2 立柱有限元網(wǎng)格劃分模型

2 立柱結(jié)構(gòu)的有限元模態(tài)分析

2.1 模態(tài)分析理論

模態(tài)分析是用來研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的重要手段，通過模態(tài)分析能夠確定復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形態(tài)和薄弱環(huán)節(jié)。模態(tài)是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的固有特性，與外載荷無關(guān)，進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，不需要設(shè)置外載邊界條件;由于阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響很小，所以不考慮系統(tǒng)阻尼的影響。對(duì)于一個(gè)n自由度的無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)微分方程可表示為:

式中:［M］、［K］分別為結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;{f(t)}為外激勵(lì)矩陣，這里為零矩陣;{x}、{¨x}分別為物理坐標(biāo)系下結(jié)構(gòu)的位移向量和加速度向0 量。式(1)的特征值方程為:

求解特征值方程式(2)就可以得到ω 和{x}，即系統(tǒng)的固有頻率和主振型;解此方程得ω 的m個(gè)互異正根，ω0i(i=1，2，3…，m)，并按升序排序，

第i階固有頻率:

各階固有頻率f0i均與成正比，f0i大，說明單位質(zhì)量的剛度高，可作為結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)。固有頻率與主振型是振動(dòng)系統(tǒng)最基本的固有屬性，不會(huì)隨意改變，只有在被激勵(lì)時(shí)才表現(xiàn)出來。

2.2 立柱結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

立柱在實(shí)際工作中并非處于自由狀態(tài)，而是和機(jī)床連在一起，處于約束狀態(tài)，根據(jù)立柱的實(shí)際工作狀態(tài)，可認(rèn)為立柱底端發(fā)生的位移量很小近似于零，可對(duì)立柱的底端施加X、Y、Z三方向的自由度約束。在理論與實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)影響較大，只有低階模態(tài)的頻率才有可能與激振頻率重合或接近，高階固有頻率已遠(yuǎn)高于可能出現(xiàn)的激振力頻率，一般不會(huì)發(fā)生共振。立柱材料為灰鑄鐵HT250，彈性模量E= 1. 15GPa，泊松比μ = 0. 265，密度ρ =7100kg/m3。綜合分析各種模態(tài)提取方法的特點(diǎn)［10］，本文采用Block Lancozos 法求解立柱模型的固有頻率和振型，得到立柱的前6 階固有頻率列表如下表1 所示，前6 階振型如圖3 所示。

表1 立柱模態(tài)頻率

圖3 立柱的各階振型圖

綜合立柱前6 階的模態(tài)頻率及振型進(jìn)行對(duì)比分析知:其一階模態(tài)陣型是沿立柱Z軸方向的來回振動(dòng)，立柱由下到上振動(dòng)的幅度不斷增強(qiáng)，最大振幅發(fā)生在立柱的頂部;二階模態(tài)陣型為立柱整體繞Y軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，振幅最大值發(fā)生在立柱頂部的四個(gè)角上;三階模態(tài)為立柱沿X方向的來回振動(dòng);四階模態(tài)為立柱沿Z方向的膨脹擠壓振動(dòng)，對(duì)立柱結(jié)構(gòu)有很大的破壞性;五階、六階振動(dòng)頻率相差較小，陣型均為向Z方向的彎曲振動(dòng)。立柱兩側(cè)的壁板的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)及彎曲振動(dòng)比較大，是立柱結(jié)構(gòu)中比較薄弱的環(huán)節(jié)，同時(shí)立柱的振動(dòng)勢(shì)必會(huì)將影響與之相連的機(jī)床底座和主軸箱等部件，影響加工質(zhì)量，應(yīng)當(dāng)引起重視并加以改進(jìn)。

3 立柱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化分析與改進(jìn)

3.1 元結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)討B(tài)特性分析

元結(jié)構(gòu)的基本思想是把機(jī)械結(jié)構(gòu)大件就其組成形體進(jìn)行分解，最終得到一些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化不大、相對(duì)獨(dú)立的基本單元結(jié)構(gòu)，其單元結(jié)構(gòu)特性會(huì)影響到整個(gè)結(jié)構(gòu)特性的優(yōu)劣。若從動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)角度優(yōu)化這些元結(jié)構(gòu)，能得到其變量化的優(yōu)化尺寸參數(shù);若以固有頻率和振型為目標(biāo)優(yōu)化這些元結(jié)構(gòu)，能獲得元結(jié)構(gòu)的合理的尺寸模型，供快速設(shè)計(jì)選用。通過立柱模態(tài)分析可知，立柱兩側(cè)壁板對(duì)其動(dòng)態(tài)性能有很大的影響，可以通過改變立柱加強(qiáng)筋的布置方式，來提高其動(dòng)態(tài)特性。

立柱加強(qiáng)筋縱橫交錯(cuò)，由口字型結(jié)構(gòu)重復(fù)排列構(gòu)成，即口字型結(jié)構(gòu)為立柱的元結(jié)構(gòu)單元?，F(xiàn)以構(gòu)成立柱加強(qiáng)筋板結(jié)構(gòu)的一個(gè)元結(jié)構(gòu)單元為研究對(duì)象，將其簡(jiǎn)化為由板單元圍城的六面體結(jié)構(gòu)。常用的4 種立柱加強(qiáng)筋元結(jié)構(gòu)形式如圖4 所示。形式1 為加強(qiáng)筋交叉布置的的十字型;形式2 為加強(qiáng)筋交叉布置的X 型;形式3 為加強(qiáng)筋交叉布置的星型;形式4 為加強(qiáng)筋交叉布置的米字型。元結(jié)構(gòu)的尺寸設(shè)置如下:長(zhǎng)度L=300mm，寬度B=300mm，厚度T1 =20mm，加強(qiáng)筋厚度T2 =50mm，加強(qiáng)筋寬度b1 =15mm，b2 =2b1 =30mm，針圖示形式的元結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元計(jì)算分析，元結(jié)構(gòu)單元四周固定(約束條件)，計(jì)算出各單元的低階振動(dòng)頻率，下表2 為上述元結(jié)構(gòu)單元的前6 階固有頻率。

圖4 各種元結(jié)構(gòu)單元

表2 各種元結(jié)構(gòu)單元的固有頻率(單位:HZ)

為了更直觀地看出元結(jié)構(gòu)單元對(duì)固有頻率的影響，下面就把第一階頻率變化曲線圖給出，如下圖5 所示，橫坐標(biāo)是元結(jié)構(gòu)單元類型，1:空白型，2:十字型，3:X 字型，4:星字型，5:米字型;縱坐標(biāo)是元結(jié)構(gòu)單元的固有頻率(單位:Hz)。

比較圖表中的模態(tài)分析結(jié)果知:在上述尺寸形式下十字型、米字型的前6 階固有頻率較高，動(dòng)態(tài)性能較好，星字型次之，X 字型動(dòng)態(tài)性能最差;X 字型結(jié)構(gòu)看上去較十字型更穩(wěn)定，但是其動(dòng)態(tài)特性卻不一定較好，其一階固有頻率也由3817.1Hz 下降到3096.2Hz;十字型和星字型相比，后者雖然增加了一條加強(qiáng)筋板，表面看是增加了它的剛度和強(qiáng)度，但其固有頻率并未隨之提高，一階固有頻率由3817.1Hz 下降到3495.1Hz，可見星字型雖然其布局較緊湊，其動(dòng)態(tài)性能未必就理想，這說明盲目地增加加強(qiáng)筋數(shù)量，并不一定能提高其固有頻率。

圖5 一階固有頻率變化曲線

3.2 元結(jié)構(gòu)單元邊長(zhǎng)比與固有頻率的研究

為了使元結(jié)構(gòu)分析應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，對(duì)構(gòu)造參數(shù)化元結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行分析:改變?cè)Y(jié)構(gòu)單元中L和B的比值，研究相應(yīng)的元結(jié)構(gòu)單元的固有頻率的變化規(guī)律。以L/B的比值為橫坐標(biāo)，元結(jié)構(gòu)單元的一階固有頻率為縱坐標(biāo)，可繪制如下圖6 所示的變化曲線。

圖6 元結(jié)構(gòu)單元一階固有頻率隨L/B 值的變化曲線

分析曲線可知，隨著L/B的增加，其一階固有頻率呈下降的趨勢(shì)，并且下降趨勢(shì)逐漸變緩，單元大的邊長(zhǎng)比不利于提高其動(dòng)態(tài)特性;總體來看十字型、米字型和星字型有較好的動(dòng)態(tài)特性，X 字型的動(dòng)態(tài)特性較差;當(dāng)L/B的比值大于2.2 時(shí)，X 字型元結(jié)構(gòu)單元的固有頻率比沒加筋板的原始結(jié)構(gòu)的更低，說明在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中不能盲目的增加加強(qiáng)筋;隨著L/B的比值增大，十字型和星字型的動(dòng)態(tài)特性越來越好，在L/B大于1.6后，十字型的元結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性甚至比米字型的動(dòng)態(tài)特性還好，十字型具有較優(yōu)的動(dòng)態(tài)特性;在L/B大于2.0時(shí)，星字型的元結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)討B(tài)性能也比米字型的動(dòng)態(tài)特性好，增加加強(qiáng)筋的數(shù)目不一定能提高結(jié)構(gòu)的固有頻率;當(dāng)L/B比值大于3.4 時(shí)，原始的空白結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)討B(tài)性能比米字型單元的要好;當(dāng)L/B值大于3.8 時(shí)，原始的空白單元的動(dòng)態(tài)特性甚至超過了星字型，說明增加加強(qiáng)筋不僅不能提高結(jié)構(gòu)的一階固有頻率，反而使結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性變差，因此在元結(jié)構(gòu)單元邊長(zhǎng)比L/B的比值要小于3.4 較為合理。

3.3 立柱優(yōu)化研究

當(dāng)L/B大于1.6 以后，十字型加強(qiáng)筋的元結(jié)構(gòu)單元為該比例尺寸下的最優(yōu)元結(jié)構(gòu)類型，并且相比較米字型結(jié)構(gòu)而言質(zhì)量更輕、更經(jīng)濟(jì);原始的立柱結(jié)構(gòu)中元結(jié)構(gòu)單元L=390mm，B=235mm，其比值L/B為1.66，在不明顯改變?cè)辛⒅Y(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，十字型單元為選擇的最優(yōu)單元，以此元結(jié)構(gòu)單元為基礎(chǔ)對(duì)立柱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，下表3 是利用元結(jié)構(gòu)單元優(yōu)化前后的立柱固有頻率(注:A 方案是原始的立柱結(jié)構(gòu);B 是以X 字型元結(jié)構(gòu)單元優(yōu)化后的立柱;C 以十字型元結(jié)構(gòu)單元優(yōu)化后的立柱)。

圖7 基于X 字型、十字型單元優(yōu)化后立柱結(jié)構(gòu)

表3 立柱固有頻率(單位:Hz)

經(jīng)過優(yōu)化后立柱的一階固有頻率得到了提高，其中X 字型的只提高了3.62%，而十字型的提高了5.45%，與元結(jié)構(gòu)分析的數(shù)據(jù)吻合，說明通過優(yōu)化元結(jié)構(gòu)單元來提高立柱的固有頻率是可行的。

4 結(jié)論

機(jī)床立柱采用合理的加強(qiáng)筋結(jié)構(gòu)，既能減輕了立柱的重量，又能保證必要的剛度，有利于提高動(dòng)態(tài)性能。元結(jié)構(gòu)單元的長(zhǎng)寬比(L/B)對(duì)其固有頻率有很大的影響:當(dāng)L/B的值小于1.6 時(shí)，米字型的元結(jié)構(gòu)單元具有最好的動(dòng)態(tài)特性;當(dāng)L/B的值大于1.6 時(shí)，十字型的元結(jié)構(gòu)單元具有較優(yōu)的動(dòng)態(tài)特性;當(dāng)L/B的比值增大時(shí)，星字型元結(jié)構(gòu)單元的動(dòng)態(tài)特性變好，而X 字型元結(jié)構(gòu)單元的動(dòng)態(tài)特性則較差;星字型結(jié)構(gòu)和十字型結(jié)構(gòu)相比，雖然它較十字型的元結(jié)構(gòu)單元多了一條加強(qiáng)筋，但是其動(dòng)態(tài)特性確并沒有變好，盲目設(shè)置多根筋板并不一定有利于結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度的提高。總的來說，十字型元結(jié)構(gòu)單元具有較好的動(dòng)態(tài)特性，應(yīng)該優(yōu)先進(jìn)行選擇。對(duì)比基于元結(jié)構(gòu)單元的立柱結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后的固有頻率變化可知，其一階固有頻率提高了5.45%，說明改變筋板的布置形式來提高機(jī)床動(dòng)態(tài)性能是可行的。

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