薛嬌，常勝，鄧麗

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，蘭州 730070)

定時截尾樣本下兩參數(shù)指數(shù)-威布爾分布的可靠性Bayes估計

薛嬌，常勝，鄧麗

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，蘭州 730070)

將可靠度R和失效率λ分別看成隨機變量或是關(guān)于隨機變量θ的函數(shù);首先求出了指數(shù)-威布爾分布的可靠度和失效率的極大似然估計;然后根據(jù)參數(shù)θ的后驗密度求出可靠度和失效率的后驗密度;進(jìn)一步在Entropy損失函數(shù)下求出了可靠度和失效率的Bayes估計，并給出了可靠度和失效率的E-Bayes估計;最后進(jìn)行實例模擬。結(jié)果表明:Entropy損失下的Bayes估計較極大似然估計好。

指數(shù)-威布爾分布;Entropy損失函數(shù);可靠度;失效率;極大似然估計;Bayes估計

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，在生物學(xué)、工程學(xué)、航天學(xué)和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中，出現(xiàn)了一種非單調(diào)失效率的分布，例如浴缸型失效率、單峰型失效率等，其中服從浴缸型失效率分布的產(chǎn)品表現(xiàn)為在使用初期有著很高的失效率，但是隨著使用時間的延長，失效率就趨于穩(wěn)定，最后由于產(chǎn)品的損耗，失效率又逐步增加。鑒于此種情況，Mudholkar和Srivasta［1］于1993年首次提出了指數(shù)威布爾分布EW(α，θ)。由于其具有良好的非單調(diào)失效性質(zhì)，較好地解決了上述存在的問題，在研究各類壽命的數(shù)據(jù)分布時得到了廣泛的運用。例如:黃傲林，葉林軍［2］研究了指數(shù)-威布爾分布在船舶裝備故障率方面的應(yīng)用;張秋華［3］運用威布爾分布研究了產(chǎn)品失效時間的預(yù)測。

對于失效率和可靠度估計的討論，以往都是將參數(shù)的估計取代可靠度表達(dá)式中相應(yīng)位置的參數(shù)，如:王建華、夏小艷［4］研究了無失效數(shù)據(jù)情形下指數(shù)分布的貝葉斯估計的性質(zhì);李翔、韋來生［5］介紹了定數(shù)截尾情形下指數(shù)分布的參數(shù)型經(jīng)驗貝葉斯(PEB)估計;劉超男［6］討論了兩參數(shù)指數(shù)威布爾分布參數(shù)的Bayes估計及其可靠性分析。但對于指數(shù)-威布爾分布的可靠性分析的文章還不多見。本文主要討論當(dāng)參數(shù)a已知時，參數(shù)θ、可靠度、失效率等的極大似然估計(MLE)，然后將可靠度R和失效率λ分別看成隨機變量，或者將其看成關(guān)于隨機變量θ的函數(shù)，討論其在Entropy損失下的Bayes估計以及E-Bayes估計。首先設(shè)指數(shù)-威布爾分布的分布函數(shù)為

1 指數(shù)-威布爾分布的可靠度和失效率的極大似然估計(MLE)

對式(6)兩邊分別取對數(shù)得指數(shù)-威布爾分布的似然函數(shù)的對數(shù)為對式(7)關(guān)于參數(shù)θ求導(dǎo)并令其為0，則有

2 Entropy損失函數(shù)下指數(shù)-威布爾分布的可靠性Bayes估計

定義2［10］r．v．T服從密度函數(shù)為f(θ，t)的分布，其中θ為參數(shù)，如果δ是θ的判別空間中的一個估計，則Entropy損失函數(shù)定義為如下似然比對數(shù)的數(shù)學(xué)期望:

引理1［11］設(shè)r．v．T～f(t，θ)，θ∈Θ，L(θ，δ)為某統(tǒng)計決策問題的損失函數(shù)，參數(shù)θ的先驗分布為G(θ)，若損失函數(shù)為δ的嚴(yán)格凸函數(shù)，則該統(tǒng)計判決問題的Bayes解是唯一的。

證明在Entropy損失式(14)下，決策函數(shù)δG(t)的Bayes風(fēng)險為

3 Entropy損失函數(shù)下指數(shù)-威布爾分布可靠性E-Bayes估計

4 實例模擬

設(shè)某產(chǎn)品的壽命X服從指數(shù)威布爾分布式(1)，已知a0=2，θ=1．5，x=0．2，則t=0．04，即T服從指數(shù)威布爾分布式(2)，且θ=1．5，t=0．04。在θ的先驗分布中，取α=1，β=2，此時求得可靠度R和失效率λ的真值為:R(t)=0．895 966，λ(t)=0．613 2。

由上述例子可知:當(dāng)樣本容量較小時，Entropy損失下的Bayes估計比極大似然估計能更好地接近可靠性指標(biāo)的真值;當(dāng)樣本容量較大時，兩者均為可靠性指標(biāo)的較好估計，但是Bayes估計較接近真值，因此Entropy損失下的Bayes估計較極大似然估計要好。

［1］Mudholkar G S，Strivastva D K.Exponentiated Weibull family for analyzing bathtub failure-rate date［J］.IEEE Trans，Realiability，1993，42(2):299-302.

［2］黃傲林，葉林軍.基于威布爾分布的船舶裝備故障分析［J］.船艦電子工程，2007(1):180-183.

［3］張秋華.壽命服從威布爾分布的產(chǎn)品失效時間的預(yù)測［J］.池州學(xué)院學(xué)報，2011，25(2):7-9.

［4］王建華，夏小艷.指數(shù)分布參數(shù)多層Bayes估計及其E-Bayes估計的性質(zhì)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2008，20:33-36.

［5］Lindiey D V.Approximate Bayesian Methods［J］.Bayesian statistics Valency，1980，20:224-245.

［6］劉超男.兩參數(shù)指數(shù)威布爾分布的參數(shù)Bayes估計及其可靠性分析［D］.長沙:中南大學(xué)，2008.

［7］Rameshwar D.Gupta and Debasis Kundu.Discriminating between Gamma and Generalised Exponential Distribution［J］.Journal of statistical computation and simulation，2004，274(2):107-121.

［8］茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計［M］.2版.北京:高等教育出版社，2006.

［9］曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論［M］.北京:科學(xué)出版社，1986.

［10］方開泰，許建倫.統(tǒng)計分析［M］.北京:科學(xué)出版社，1987.

［11］Yang J，Yu X.Existence of solution for a semi-linear elliptic equation in RNwith sign-changing weigh［J］.Advanced Nonlinear studies，2008，8(2):401-412.

［12］劉超男，劉小慧，郭艷.熵?fù)p失函數(shù)下兩參數(shù)指數(shù)威布爾分布尺度參數(shù)的Bayes估計［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2008，28(4): 54-57.

［13］韓明.Pascal分布參數(shù)估計［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，2(4):510-514.

［14］韓明.多層先驗分布的構(gòu)造及其應(yīng)用［J］.運籌與管理，1997，6(3):31-40.

(責(zé)任編輯 劉舸)

Reliability Bayes Estimation of Two-Parameter Exponential-Weibull Distribution Based on Fixed Time Censoring Sample

XUE Jiao，CHANG Sheng，DENG Li
(School of Mathematics，Physics and Software Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)

In this paper，reliability R and failure rate λ are regarded as random variables，or as function with a random variable θ.Firstly the Maximum Likelihood estimations of R and λ for Exponential-Weibull Distribution are solved.Then the posterior densities of R and λ are obtained according to the posterior density of parameter θ.The Bayes estimation and E-Bayes estimation of R and λ are solved under the Entropy loss function.At last，by the instance simulation，the result shows that the Bayes estimation under the Entropy loss is better than the Maximum Likelihood estimation.

Exponential-Weibull distribution;Entropy loss function;reliability;failure rate;maximum likelihood estimation;Bayes estimation

O212

A

1674-8425(2014)08-0132-08

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.08.027

2014-03-18

甘肅省自然科學(xué)基金資助項目(1208RJZA111)

薛嬌(1989—)，女，甘肅蘭州人，碩士研究生，主要從事應(yīng)用概率與隨機分析研究。

薛嬌，常勝，鄧麗.定時截尾樣本下兩參數(shù)指數(shù)-威布爾分布的可靠性Bayes估計［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2014(8):132-139.

format:XUE Jiao，CHANG Sheng，DENG Li.Reliability Bayes Estimation of Two-Parameter Exponential-Weibull Distribution Based on Fixed Time Censoring Sample［J］.Journal of Chongqing University of Technology: Natural Science，2014(8):132-139.