李 莎，卓瑪措，王 微

（1.青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，青海西寧810008；2.唐山市第四十九中學(xué)，河北唐山063000）

Hosoya指數(shù)第二小、第三小的雙圈圖

李 莎1，卓瑪措1，王 微2

（1.青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，青海西寧810008；2.唐山市第四十九中學(xué)，河北唐山063000）

雙圈圖是邊數(shù)等于點(diǎn)數(shù)加1的連通圖.一個(gè)圖的Hosoya指數(shù)是這個(gè)圖的所有匹配的個(gè)數(shù).在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上通過加邊，并利用求指數(shù)的刪邊、刪點(diǎn)公式，刻畫了具有m－匹配的Hosoya指數(shù)第二小、第三小的雙圈圖.

Hosoya指數(shù)；m－匹配；雙圈圖

關(guān)于圖的Hosoya指數(shù)是H.Hosoya在1971年提出的，它是組合化學(xué)的拓?fù)渲笜?biāo)中的一個(gè)突出例子，也是目前研究的熱點(diǎn)之一.［1－7］這里考慮的所有圖均是有限、簡(jiǎn)單、無向圖，沒有定義的概念和術(shù)語，參見文獻(xiàn)［8］.對(duì)于一個(gè)圖G，我們用V（G）表示它的點(diǎn)集，E（G）表示它的邊集.G中的兩條邊若不相鄰，則稱這兩條邊是獨(dú)立的.G中k個(gè)相互獨(dú)立的邊組成的集合稱為G的一個(gè)k－匹配.用Z（G）表示G的匹配的個(gè)數(shù)，則其中m（G，k）表示G的k－匹配的個(gè)數(shù)，并且m（G，0）＝1，m（G，1）＝｜E（G）｜.容易看出，若m（G，k）＝0，則m（G，k＋1）＝0（k≥2）.并且些刻畫Hosoya指數(shù)極圖的文獻(xiàn)，主要刻畫了給定的幾類圖－樹，涉及四邊形、六圈的特定結(jié)構(gòu)的圖［5，9－13］.文獻(xiàn)［14］刻畫了具有m－匹配的Hosoya指數(shù)最小及第二小的樹.文獻(xiàn)［15］刻畫了具有m－匹配的Hosoya指數(shù)最小和第二小的單圈圖，及具有m－匹配的Hosoya指數(shù)最小的雙圈圖.文獻(xiàn)［16］刻畫了具有m－匹配的Hosoya指數(shù)第三小至第六小的單圈圖.而我們刻畫了具有m－匹配的Hosoya指數(shù)第二小、第三小的雙圈圖.

1 預(yù)備知識(shí)

令M表示G的一個(gè)匹配，若v與M中一條邊關(guān)聯(lián)，則稱v是M飽和的，記為v∈M；否則稱為M不飽和的，記為v?M.如果G中所有點(diǎn)均是M飽和的，則稱M是G的一個(gè)完美匹配.如果不存在G中的一個(gè)匹配M′，滿足｜M′｜＞｜M｜，則稱M是G的最大匹配.顯然，完美匹配一定是極大匹配.我們用α′（G）表示G的最大匹配｜M′｜＞｜M｜的邊數(shù).令U（n，m）表示α′（G）＝m點(diǎn)數(shù)為n的單圈圖.B（n，m）表示α′（G）＝m點(diǎn)數(shù)為n的雙圈圖.

若W?V（G），我們用G－W表示刪掉W中的點(diǎn)及與這些點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊的G的子圖.類似的，如果E′?E（G），用G－E′表示刪掉E′中的邊的G的子圖.如果W＝v，并且E′＝｛xy｝，我們用G－v，G－xy分別代替G－｛v｝，G－｛xy｝.對(duì)于圖G的一個(gè)點(diǎn)v，令NG（v）＝｛v｝∪｛u｜uv∈E（G）｝.

引理1［14］令G表示一個(gè)圖，并且v∈V（G），令v1，v2，…，vk是v的鄰點(diǎn)，則

引理2［14］令G表示一個(gè)圖，并且uv表示G的一條邊，則

推論1 令G表示一個(gè)圖，如果u∈V（G）是G的一個(gè)懸掛點(diǎn)，并且v是u的唯一的鄰點(diǎn)，則

引理3［14］令G表示具有k個(gè)分支G1，G2，…，Gk的圖，則

圖1 一些具有m－匹配的單圈圖和雙圈圖

引理4［14］令Pn和Sn表示含有n個(gè)點(diǎn)的路和星，則對(duì)于含有n個(gè)點(diǎn)的所有樹T，我們有

這里fn是第n個(gè)Fibonacci數(shù)，并且f0＝0，f1＝1.

引理5 令G表示一個(gè)圖，G1是G的子圖，則Z（G）≥Z（G1）.并且若｜E（G1）｜＜｜E（G）｜，則

因?yàn)镚1的每一個(gè)匹配也是G的匹配，從而引理5顯然成立.

引理6 令T是一個(gè)樹，α′（T）＝k（k≥1），并且T?lK1∪kK2（l≥0），則Z（T）≥5·2k－2等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)T?P4∪（k－2）P2∪l′（k1）（l′≥0）.

引理7［15］G∈U（n，m）（n≥2m，m≥4），則Z（G）≥2m－2（2n－3m＋4）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?U1（n，m）（如圖1）.

引理8［15］令G∈U（n，m）（n≥2m，m≤4），G?U1（n，m）.則Z（G）≥2m－4（10n－15m＋13）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?U2（n，m）（見圖1）.

引理9［16］令G∈U（n，m）（n≥2m，m≥4），G?｛U1（n，m），U2（n，m）｝，則Z（G）≥2m－4（10n－15m＋14）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G∈｛U3（n，m），U7（8，4），U10（10，5）｝.

引理10 令T是一個(gè)樹，α′（T）＝m（m≥1），并且T?｛（n－2m）K1∪mK2，P4∪（m－2）K2∪（n－2m）K1｝，則Z（T）≥3×2m－1等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)T?｛T3，T5｝（見圖2）.若還有其他含有m個(gè)匹配的圖，以圖2中9個(gè)圖中的一個(gè)作為子圖，則T3，T5在m≥4中是第三小的圖.

圖2 一些包含若干K1和K2的具有m－匹配的圖

引理11［15］令G∈B（n，m）（n≥2m，m≥4），則Z（G）≥2m－2（2n－3m＋5）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?B1（n，m）（見圖1）.

2 主要結(jié)果及證明

定理1 令G∈B（n，m），G?B1（n，m）（n≥2m，m≥4），則Z（G）≥2m－4（10n－15m＋18）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G∈｛B2（n，m），B7（8，4）｝.

證明 令G∈B（n，m）（n≥2m，m≥4），并且M是G的一個(gè)m－匹配，我們總能從G的圈中找出一條邊uv，使得uv?M，則G－uv是一個(gè)連通單圈圖.此外，α′（G－uv）＝m（因?yàn)镚－uv是G的一個(gè)子圖，由引理5有α′（G－uv）≤α′（G）＝m，注意到M是G－uv的一個(gè)m－匹配，我們有α′（G－uv）≥m，因此α′（G－uv）＝m，G－uv∈U（n，m）.現(xiàn)在分以下三種情況討論：

（1）G－uv?U1（n，m），并且G?B1（n，m），則G∈｛B2（n，m），G1，G2，G3，G4，G5，G6，G7｝（見圖1），由引理1直接計(jì)算，得：

因此，Z（Gi）＞Z（B2（n，m）），1≤i≤7.

（2）G－uv?U1（n，m），并且G?B1（n，m），由引理8，Z（G－uv）≥2m－4（10n－15m＋13）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－uv?U2（n，m）.注意到G－｛u，v｝有（m－2）－匹配，所以有Z（G－｛uv｝）≥2m－2等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－｛u，v｝?（n－2m＋1）K1∪（m－2）K2，易看出uv中必有一個(gè)點(diǎn)是U2（n，m）中的一個(gè)（n－m）度點(diǎn)，另一個(gè)是U2（n，m）中的一個(gè)3度點(diǎn)，這種情況是不可能的.由引理6，若Z（G－｛u，v｝）≥5·2m－4等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－｛u，v｝?（m－4）K2∪P4∪（n－2m＋2）K1.由引理2，

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－uv?U2（n，m），并且G－｛u，v｝?（m－2）K2∪P4∪（n－2m＋2）K1.易看出u，v中的一個(gè)點(diǎn)是U2（n，m）中的一個(gè)（n－m）度點(diǎn)，另一個(gè)是一個(gè)鄰接于U2（n，m）中的一個(gè)2度點(diǎn)的懸掛點(diǎn).因此等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?B2（n，m）.

（3）G－uv?｛U1（n，m），U2（n，m）｝，如果m＝4，n＝8，則

并且

所以

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)u，v的兩個(gè)點(diǎn)在U7（8，4）中為3度點(diǎn).因此等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?B7（8，4）.如果m＝5，n＝10，則Z（G－uv）≥Z（U10（10，5）），并且Z（G－｛u，v｝）≥25－2＝23＝Z（（5－2）K2），

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－uv?U10（10，5），且G－｛u，v｝?3 K2.此時(shí)G不可能是m＝5時(shí)，Hosoya指數(shù)第二小的圖.

當(dāng)G－uv?｛U1（n，m），U2（n，m），U7（8，4），U10（10，5）｝，由引理9，Z（G－uv）≥2m－4（10n－15m＋14）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－uv?U3（n，m）.注意到G－｛u，v｝有（m－2）－匹配，所以有Z（G－｛u，v｝）≥2m－2等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－｛u，v｝?（n－2m＋2）K1∪（m－2）K2.從而

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－uv?U3（n，m），而且G－｛u，v｝?（m－2）K2∪（n－2m＋2）K1.此時(shí)，uv的一個(gè)端點(diǎn)必是U3（n，m）的一個(gè)（n－m）度點(diǎn)，另一個(gè)是鄰接于一個(gè)3度點(diǎn)的2度點(diǎn)，此時(shí)Z（G）≥Z（B2（n，m））.綜上，定理得證.

定理2 G∈B（n，m），G?｛B1（n，m），B2（n，m），B7（8，4）｝（n≥2m，m≥4），則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G∈｛G2，B3（n，m），B10（10，5），B12（12，6），B11（13，5）｝.

證明 G∈B（n，m）（n≥2m，m≥4），使得G?｛B1（n，m），B2（n，m），B7（8，4）｝，并且M是G的一個(gè)m－匹配，我們總能從G的一個(gè)圈中選出一條邊uv，使得uv?M，則G－uv是一個(gè)n度點(diǎn)的連通單圈圖，并且α′（G－uv）＝m（因?yàn)镚－uv是G的一個(gè)子圖，由引理5我們有α′（G－uv）≤α′（G）＝m，注意到M是G－uv的一個(gè)m－匹配，我們有α′（G－uv）≥m，因此α′（G－uv）＝m）.現(xiàn)在分以下4種情況討論：

（1）G－uv?U1（n，m），并且G?｛B1（n，m），B2（n，m），B7（8，4）｝，由定理1，有

（2）G－uv?U1（n，m），并且G?｛B1（n，m），B2（n，m），B7（8，4）｝，由引理8，有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－uv?U2（n，m）.注意到G－｛u，v｝有（m－2）－匹配，我們?cè)俜?種情況討論：

ⅰ.若G－｛u，v）?（m－2）K2∪（n－2m＋2）K1，Z（G－｛u，v｝）＝2m－2，則容易看出uv的一個(gè)端點(diǎn)是U2（n，m）的一個(gè)（n－m）度點(diǎn)，并且uv的另一個(gè)端點(diǎn)是U2（n，m）的一個(gè)3度點(diǎn).顯然，這是不可能的.

ⅱ.若G－｛u，v｝?（m－4）P2∪P4∪（n－2m＋2）K1，Z（G－｛u，v｝）＝5·2m－4，因此G?B2（n，m）.矛盾.

ⅲ.由引理10，我們有Z（G－｛u，v｝）≥3·2m－3等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－｛u，v）?｛T3，T3｝（見圖2）.因此，如果G－｛u，v｝?T5，那么

但P5是T5的子圖，并且U2（n，m）中的子圖P5必以U2（n，m）的（n－m）度點(diǎn)為點(diǎn)，從而若u，v中有點(diǎn)是（n－m）度點(diǎn)，則G－｛u，v｝中不可能有T5.若v中沒有點(diǎn)是（n－m）度點(diǎn)，則G－uv?U2（n，m），從而矛盾.如果G－｛u，v｝?T3，那么

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)uv的一個(gè)端點(diǎn)是U2（n，m）的（n－m）度點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是鄰接于一個(gè)3度點(diǎn)的懸掛點(diǎn)，從而Z（G）≥Z（G2）.

（3）G－uv?｛U1（n，m），U2（n，m）｝，此時(shí)Z（G－uv）≥2m－4（10n－15m＋14）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－uv?U3（n，m）.又G－｛u，v｝中有（m－2）－匹配，Z（G－｛u，v｝）≥2m－2等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－｛u，v｝?（m－2）K2∪（n－2m＋2）K1.此時(shí)，u，v中必有一個(gè)端點(diǎn)是（n－m）度點(diǎn)，另一個(gè)是鄰接于一個(gè)3度點(diǎn)的2度點(diǎn)，此時(shí)G?B2（n，m），矛盾.從而Z（G－｛u，v｝）≥5·2m－4等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－｛u，v｝?（m－4）P2∪P4∪（n－2m＋2）K1.此時(shí)，

當(dāng)m＝4，n＝8，則Z（G－uv）≥Z（U7（8，4）），此時(shí)G－｛u，v｝中有2－匹配，從而｛G－｛u，v｝｝≥22.矛盾.若G－｛u，v｝?P4∪2k1，此情況不可能.當(dāng)G－｛u，v｝?｛T3，T5｝，此情況也不可能.當(dāng)m＝5，n＝10，則Z（G－uv）≥Z（U10（10，5）），并且G－｛u，v｝中有3－匹配.

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?（B10（10，5））.

（4）G－uv?｛U1（n，m），U2（n，m），U3（n，m），U7（8，4），U10（10，5）｝，此時(shí)Z（G－uv）≥2m－4（10n－15m＋15）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G∈｛U4（n，m），U5（n，m）｝，并且G－｛u，v｝中有（m－2）－匹配，Z（G－｛u，v｝）≥2m－2等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－｛u，v）?（m－2）K2∪（n－2m＋2）K1.

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G－uv?U4（n，m）且G－｛u，v｝?（m－2）K2∪（n－2m＋2）K1，或G－uv?U5（n，m）且G－｛u，v｝?（m－2）K2∪（n－2m＋2）K1.此時(shí)易得Z（G）≥Z（G2），并且容易證出B12（12，6），B11（10，5）也是Hosoya指數(shù)第三小的圖.

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Bicycle graphs with the second and third Hosoya index

LI Sha1，ZHUOMA Cuo1，WANG Wei2
（1.Department of Mathematics，Qinghai Normal University，Xining 810008，China；2.Tangshan No.49Middle School，Tangshan 063000，China）

Bicycle graphs are connected graphs with m＝n＋1，where mdenotes the number of edges and ndenotes the number of vertices.The Hosoya index of a graph G，denoted by Z（G），is defined as the total number of matchings（independent edge subsets），including the empty edge set，of a graph.On the basis of the existing conclusions，we characterize the bicycle graphs with the second and third Hosoya index with m－matching by adding edges and using known formulas.

Hosoya index；m－matching；bicycles

O 157.5 ［學(xué)科代碼］ 110·7470

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000－1832（2014）02－0045－06

10.11672／dbsdzk2014－02－010

2013－12－16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11161037；11101232）.

李莎（1988—），女，碩士研究生，主要從事圖論及其應(yīng)用研究.