付文鋒，王藍(lán)婧，李 飛，楊勇平

（1.華北電力大學(xué) 電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，保定071003；2.華北電力大學(xué) 計(jì)算機(jī)系，保定071003）

汽輪機(jī)組的給水回?zé)嵯到y(tǒng)既是汽輪機(jī)熱力系統(tǒng)的基礎(chǔ)，也是電廠熱力系統(tǒng)的核心，它對(duì)機(jī)組和電廠的熱經(jīng)濟(jì)性起著決定性的作用，合理選擇給水回?zé)嵫h(huán)的熱力參數(shù)，使之達(dá)到最佳配合是有效降低發(fā)電廠能耗的關(guān)鍵［1-2］.其中，給水在各加熱器中的焓升分配是影響回?zé)嵫h(huán)熱經(jīng)濟(jì)性的重要參數(shù)之一，實(shí)現(xiàn)對(duì)加熱器給水焓升分配的優(yōu)化，可以在不增加設(shè)備投資和材料消耗的情況下獲得一定的經(jīng)濟(jì)效益.因此，針對(duì)給水回?zé)岱峙鋯栴}，曾有學(xué)者進(jìn)行了大量的研究工作，提出了多種尋找最佳回?zé)岱峙涞姆椒?經(jīng)典的分配方法有焓降分配法、平均分配法和幾何級(jí)數(shù)法等［3］，這些方法通過簡化循環(huán)、推導(dǎo)通式，為之后的研究工作提供了理論指導(dǎo).一些學(xué)者在此基礎(chǔ)上，考慮實(shí)際系統(tǒng)中的各種具體因素，應(yīng)用循環(huán)函數(shù)或等效焓降等方法［4-5］，結(jié)合規(guī)劃原理或遺傳算法等尋優(yōu)方法對(duì)現(xiàn)有熱力系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，取得了一定的成果［6-7］.但是，現(xiàn)有的這些方法相對(duì)繁瑣、復(fù)雜且通用性和精度不高，目前還沒有出現(xiàn)一種精確、簡單、通用且行之有效的方法來解決這一問題.

粒子群優(yōu)化（PSO）［8-9］算法作為一種基于群智能的啟發(fā)式進(jìn)化算法，具有搜索效率高、計(jì)算簡潔和易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、系統(tǒng)控制、工作調(diào)度和工業(yè)設(shè)計(jì)等諸多領(lǐng)域，并表現(xiàn)出良好的性能.但是，PSO 算法也表現(xiàn)出一些缺點(diǎn)，如求解高維復(fù)雜問題時(shí)容易早熟收斂；在進(jìn)化后期，由于缺乏有效的機(jī)制使算法逃離局部極值，使得算法的收斂速度變慢，當(dāng)接近最優(yōu)解時(shí)，算法停滯，導(dǎo)致精確度受到限制.為解決這些問題，許多學(xué)者進(jìn)行了各種嘗試，其中一種方式是通過調(diào)整慣性權(quán)重來改進(jìn)算法性能，如線性遞減權(quán)重［10］、模糊自適應(yīng)權(quán)重［11］、非線性權(quán)重［12］、隨機(jī)權(quán)重［13］和動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重［14］等.

筆者將PSO 算法應(yīng)用于汽輪機(jī)組給水回?zé)岱峙鋬?yōu)化問題，首先對(duì)基于進(jìn)化狀態(tài)的自適應(yīng)粒子群算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了新的慣性權(quán)重更新策略，并構(gòu)造了基于PSO 算法的汽輪機(jī)組給水回?zé)岱峙涞挠?jì)算框架，最后將改進(jìn)算法應(yīng)用于某1 000 MW 汽輪機(jī)組給水回?zé)岱峙鋯栴}.

1 標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法

PSO 算法起源于對(duì)鳥類覓食行為的模擬，由Eberhart和Kennedy于1995年提出.算法初始化時(shí)，對(duì)每個(gè)粒子的狀態(tài)隨機(jī)賦值，然后根據(jù)式（1）和式（2）來更新它們的速度和位置.

式中：c1和c2為加速系數(shù)，一般取c1＝c2＝2；r1和r2為2 個(gè)獨(dú)立的均勻分布在［0，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；vi∈［-Vmax，Vmax］，Vmax是為了遏止過度漫游粒子而定義的一個(gè)常數(shù)；ptid為第i個(gè)粒子在t次迭代中搜索到的最好位置在第d維的分量；gtid為整個(gè)群體在t次迭代中搜索到的最好位置在第d維的分量.

為了提高算法的收斂性能，Shi通過修改式（1）對(duì)原始的PSO 算法進(jìn)行了如下改進(jìn)

式中：ω為慣性權(quán)重因子.

上述POS 算法在大多數(shù)文獻(xiàn)中被稱為標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法.

2 PSO 算法的改進(jìn)

2.1 改進(jìn)的PSO 算法

在動(dòng)態(tài)自適應(yīng)算法［14］中，基于收斂準(zhǔn)則并不要求粒子速度最終趨于零，給出了如下粒子的速度和位置更新公式

與傳統(tǒng)PSO 算法相比，速度更新式（4）有2個(gè)不同的特點(diǎn)：（1）r1和r2的值僅隨粒子數(shù)量和迭代次數(shù)隨機(jī)改變，即在第t＋1 次迭代中，第i個(gè)粒子在每個(gè)維度中都有相同的隨機(jī)值；（2）慣性權(quán)重也隨著粒子數(shù)和迭代次數(shù)而不同.

進(jìn)化速度因子和聚集度因子是動(dòng)態(tài)自適應(yīng)PSO 算法在搜索過程中的兩類特征參數(shù)，慣性權(quán)重值隨進(jìn)化速度因子和聚集度因子的變化而不斷變化，變化的目的是使算法具有更出色的搜索能力和跳出局部最優(yōu)的能力.與文獻(xiàn)［14］中不同，筆者采用如下方法定義進(jìn)化速度因子和聚集度因子.

進(jìn)化速度因子：

式中：F（pt-1i）為pt-1i的適應(yīng)值；h在［0，1］之間，h值越大，粒子的進(jìn)化速度越快.

聚集度因子：

式中：Ft為第t次迭代中的最佳適應(yīng)值；為第t次迭代中的平均適應(yīng)值；N為種群規(guī)模；L為搜索空間的最長半徑；D為解空間的維數(shù)；pid為第i個(gè)粒子的第d維坐標(biāo)；為所有粒子第d維坐標(biāo)的平均值.

按照上述定義可知，s1和s2均在［0，1］之間，s1表征了粒子進(jìn)化中體現(xiàn)在適應(yīng)值上的分布狀態(tài)，s2表征了粒子進(jìn)化中體現(xiàn)在空間距離上的分布狀態(tài).與文獻(xiàn)［14］相比，筆者通過2種聚集度因子可以從不同角度更全面地描述粒子的進(jìn)化狀態(tài).

參考自然界中鳥類的覓食習(xí)慣：個(gè)體（如一個(gè)粒子）在搜索過程中，如果找到對(duì)象的可能性增加（即h相對(duì)較大），它將不急于加速到下一個(gè)位置，而是減速（即減小慣性權(quán)重）飛向最優(yōu)位置，這導(dǎo)致目前搜索區(qū)域的搜索強(qiáng)度增加，以便更快地找到最優(yōu)位置.否則，需要擴(kuò)大搜索范圍繼續(xù)尋找.同時(shí)，為了加強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力，當(dāng)某一代的適應(yīng)值趨于穩(wěn)定（即s1趨于較大值時(shí)），應(yīng)增大粒子群的搜索空間（即增大慣性權(quán)重）.特別地，在進(jìn)化后期（h相對(duì)較?。绻Ｗ記]有能夠迅速找到最優(yōu)位置，出現(xiàn)粒子之間相對(duì)集中而適應(yīng)度值并不穩(wěn)定的情況時(shí)（即s2較大而s1較小），應(yīng)收縮空間進(jìn)行更細(xì)致的搜索（即減小慣性權(quán)重）.

綜上所述，在本文中慣性權(quán)重按下式給出

式中：α、β在［0，1］內(nèi)選擇，取α＝β＝0.5；a、b為控制聚集度因子的閾值，一般取a＝0.9，b＝0.5.

2.2 算法測(cè)試與對(duì)比試驗(yàn)

為了評(píng)價(jià)所提出的改進(jìn)算法的求解性能，采用4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)（見表1）進(jìn)行分析.其中，x＊為全局最優(yōu)點(diǎn)，f（x＊）為全局最小值.這些測(cè)試函數(shù)具有不同的特點(diǎn)，可以充分考察算法對(duì)不同類型問題的優(yōu)化性能，并有效檢驗(yàn)算法的全局搜索性能和避免早熟收斂的能力.

表1 4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Tab.1 Four benchmark functions used for assessment purpose

選取近年來提出的多個(gè)PSO 算法的變種與本文算法進(jìn)行比較.為了清晰地對(duì)比各種算法對(duì)測(cè)試函數(shù)的性能，對(duì)表1中的基準(zhǔn)函數(shù)設(shè)置了相同的參數(shù)（見表2）進(jìn)行測(cè)試.

表2 測(cè)試函數(shù)的參數(shù)設(shè)置Tab.2 Parameter setting for the test functions

用于對(duì)比的多個(gè)PSO 算法變種描述如下：

（1）慣性權(quán)值線性遞減PSO 算法（PSO＿w）［10］；

（2）收 縮 因 子 局 部PSO 算 法（PSO＿cf＿local）［15］；

（3）基于適應(yīng)度距離比例POS 算法（FDR＿PSO）［16］；

（4）互聯(lián)型PSO 算法（FIPS）［17］；

（5）綜合學(xué)習(xí)PSO 算法（CLPSO）［18］；

（6）動(dòng)態(tài)自適應(yīng)PSO 算法（DAPSO）［14］；

（7）本文算法（DAPSO＿ex）.

對(duì)f1～f4，每種算法被連續(xù)運(yùn)行20次.表3給出了在最大迭代次數(shù)內(nèi)，各種算法分別在20次優(yōu)化計(jì)算時(shí)所得到的最優(yōu)適應(yīng)度值和最差適應(yīng)度值，適應(yīng)度值以函數(shù)值表示.其中，PSO＿cf＿local和FIPS的數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)［18］，PSO＿w、FDR＿PSO 以及CLPSO的數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)［19］，DAPSO 和DAPSO＿ex的數(shù)據(jù)來自本文試驗(yàn).

由表3可知，在最大迭代次數(shù)內(nèi)，DAPSO＿ex對(duì)上述4個(gè)函數(shù)的優(yōu)化均取得了最好的求解精度.對(duì)于f1和f3，本文算法在20次試驗(yàn)中均能收斂于全局最優(yōu)解；對(duì)于f2，新算法能收斂于精度較高的局部最優(yōu)點(diǎn)8.881 8×10-16，僅有1次陷入較差的19.950 4；對(duì)于f4，本文算法能收斂于精度較高的局部最優(yōu)點(diǎn)1.272 8×10-4.試驗(yàn)結(jié)果表明，新算法的求解精度和穩(wěn)定性明顯高于其他PSO 變種算法.

3 基于PSO 算法的汽輪機(jī)組給水回?zé)岱峙淠Ｐ?/h2>

3.1 循環(huán)熱效率的計(jì)算

對(duì)于一般的大型汽輪機(jī)組一次再熱給水回?zé)嵯到y(tǒng)（見圖1），由于系統(tǒng)熱經(jīng)濟(jì)性的優(yōu)劣可用循環(huán)熱效率η來評(píng)價(jià)，所以建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型的基礎(chǔ)工作是進(jìn)行機(jī)組循環(huán)熱效率的計(jì)算.

表3 測(cè)試函數(shù)試驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Experimental results of the test functions

圖1 現(xiàn)代大型汽輪機(jī)組一次再熱給水回?zé)嵯到y(tǒng)示意圖Fig.1 Typical single-reheat feedwater heating system of a large steam turbine unit

η可按式（10）計(jì)算：

式中：w為單位工質(zhì)的循環(huán)做功量；q為單位工質(zhì)的循環(huán)吸熱量；h0為初蒸汽焓；hc為汽輪機(jī)排汽焓；hfw為鍋爐給水焓；qrh為工質(zhì)在再熱器內(nèi)的焓升；αj為汽輪機(jī)各抽汽流量份額；hj為汽輪機(jī)各抽汽焓；αrh為汽輪機(jī)再熱蒸汽份額，αrh＝1-α1-α2-…-αr；r為再熱前的抽汽流個(gè)數(shù)；z為汽輪機(jī)抽汽個(gè)數(shù).

由式（10）可知，計(jì)算η時(shí)需要首先確定汽輪機(jī)各抽汽焓hj和汽輪機(jī)各抽汽流量份額αj.

3.2 hj 的計(jì)算

根據(jù)汽輪機(jī)汽態(tài)膨脹線，可得hj的遞推公式：

當(dāng)j＝r＋1 時(shí)，有p′＝（1-δp）pr，h′＝fp，t→h（p′，t′）.

式中：ηj為各級(jí)組的等熵效率；pj為各級(jí)抽汽壓力；δp為再熱壓損系數(shù)；t′為再熱溫度；p′和h′為中壓缸進(jìn)汽壓力和焓；fs，p→h、fh，p→s、fp，t→h分別為已知熵和壓力求焓、已知焓和壓力求熵、已知壓力和溫度求焓的函數(shù)關(guān)系式，可以由國際水和水蒸氣性質(zhì)協(xié)會(huì)提供的1997年工業(yè)用計(jì)算模型（IAPWS-IF97）確定.

所以hj可以表示為pj的函數(shù)，記為hj＝fjp→h（p1，p2，…，pj）.

3.3 αj 的計(jì)算

對(duì)于不同的回?zé)峒訜崞餍问剑ㄒ妶D2），有如下定義［4］：

圖2 不同回?zé)峒訜崞餍问紽ig.2 Definition for different types of regenerative heaters

疏水放流式加熱器：

匯集式加熱器：

式中：hw，j為加熱器出口水焓；hs，j為加熱器疏水焓.

根據(jù)加熱器疏水利用的不同方式，利用加熱器的上端差和下端差，可將τj、qj、γj計(jì)算公式中加熱器出口水焓hw，j和疏水焓hs，j轉(zhuǎn)化為加熱器內(nèi)飽和水焓hb，j的函數(shù).

當(dāng)加熱器不設(shè)置疏水冷卻器時(shí)

當(dāng)加熱器設(shè)置疏水冷卻器時(shí)

式中：θj和φj分別為用焓表示的加熱器上端差和下端差.

考慮抽汽管路壓損系數(shù)δpj后，可以求得加熱器內(nèi)的飽和水壓力pb，j＝（1-δpj）pj，即可以確定出加熱器內(nèi)飽和水焓hb，j＝fpb→hb（pb），其中fpb→hb為IAPWS-IF97中已知壓力求飽和水焓的函數(shù)關(guān)系式.

根據(jù)各加熱器熱量平衡和質(zhì)量平衡推出下式

式中：A為z階下三角矩陣；qf為主系統(tǒng)外的能量流，包括附加汽水能量流和給水泵焓升等，其書寫規(guī)則詳見文獻(xiàn)［20］.

A中元素ai，j（i為行、j為列）滿足以下規(guī)則：當(dāng)i＜j時(shí)，ai，j＝0；當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，ai，j＝qi；當(dāng)i＞j時(shí)，如果i號(hào)加熱器接受j號(hào)加熱器疏水，則ai，j＝γi，否則ai，j＝τi.

對(duì)于圖1所示的一般性回?zé)嵯到y(tǒng)，式（16）可以展開成如下形式：

式中：k表示第k號(hào)加熱器為除氧器；l表示小汽輪機(jī)與第l號(hào)加熱器共汽源；（τfw）（k-1）表示τfw項(xiàng)位于qf中的第k-1項(xiàng)；τfw為給水泵焓升；αq為小汽輪機(jī)流量份額.

由式（17）得到的αj可以表示為pj的函數(shù)，記為αj＝fjp→α（p1，p2，…，pj＋1）.

3.4 汽輪機(jī)組給水回?zé)岱峙鋯栴}的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

由式（10）、式（11）和式（16）可知，在其他設(shè)計(jì)條件（主蒸汽參數(shù)、終端參數(shù)、再熱蒸汽溫度、管道壓損、加熱器端差、排汽干度和加熱器個(gè)數(shù)等）一定的條件下，以抽汽壓力為優(yōu)化變量，機(jī)組循環(huán)熱效率為尋優(yōu)目標(biāo)，可以建立如下數(shù)學(xué)模型

約束 條件為：pc＜pj＜p0

式中：p0和pc分別為汽輪機(jī)組初壓和排汽壓力的設(shè)計(jì)值.

4 應(yīng)用實(shí)例

某1 000MW 汽輪機(jī)組給水回?zé)嵯到y(tǒng)連接形式見圖3.

圖3 某1 000 MW 汽輪機(jī)組給水回?zé)嵯到y(tǒng)圖Fig.3 Feedwater heating system of a 1 000 MW steam turbine unit

初始條件：主蒸汽壓力p0＝25 MPa，溫度t0＝600 ℃，再熱蒸汽溫度tr＝600 ℃，汽輪機(jī)排汽壓力pc＝0.004 9 MPa，排汽干度為0.905，汽輪機(jī)抽汽個(gè)數(shù)z＝8，各抽汽管路壓損系數(shù)δpj＝3%，小汽輪機(jī)和除氧器共用第4號(hào)抽汽（即l＝k＝4）.各加熱器的上、下端差見表4，各附加汽水能量流參數(shù)見表5.

選取種群規(guī)模為20，迭代次數(shù)為500，分別采用遺傳算法（GA）［7］、基本粒子群算法（PSO）和本文改進(jìn)粒子群算法（DAPSO＿ex）各經(jīng)過50次重復(fù)優(yōu)化計(jì)算，得到3種算法的最佳適應(yīng)度值進(jìn)化曲線（見圖4）.

表4 各加熱器的端差Tab.4 Terminal temperature difference of various feedwater heaters

表5 附加汽水來源及份額Tab.5 Sources and shares of additional steam

由圖4可知，無論從求解精度方面或收斂速度方面，DAPSO＿ex都優(yōu)于GA算法和PSO算法.DAPSO＿ex所得的優(yōu)化結(jié)果與機(jī)組原設(shè)計(jì)值的比較見表6.

圖4 最佳適應(yīng)度值進(jìn)化曲線Fig.4 Best fitness trend line for the optimization

表6 優(yōu)化結(jié)果與原設(shè)計(jì)值的比較Tab.6 Comparisons between optimization results and original design values

如表6所示，在本優(yōu)化實(shí)例中只針對(duì)1號(hào)、2號(hào)外的加熱器所對(duì)應(yīng)的抽汽壓力進(jìn)行優(yōu)化，原因是1號(hào)、2號(hào)加熱器抽汽壓力分別影響給水溫度和再熱蒸汽壓力，如果1 號(hào)、2 號(hào)加熱器抽汽壓力發(fā)生改變，汽輪機(jī)回?zé)嵯到y(tǒng)外的其他設(shè)備（如省煤器和再熱器等）的選材和布置都需要進(jìn)行重新設(shè)計(jì)和考慮.

由表6可以看出，優(yōu)化后的機(jī)組循環(huán)熱效率比原設(shè)計(jì)值相對(duì)提高了0.23%，若機(jī)組發(fā)電標(biāo)準(zhǔn)煤耗率以280g／（kW·h）計(jì)，年利用小時(shí)數(shù)以5 500h計(jì)，一臺(tái)機(jī)組每年可以節(jié)約標(biāo)準(zhǔn)煤約3 526.38t，經(jīng)濟(jì)效益可觀.

所提出的基于改進(jìn)PSO 算法的給水回?zé)岱峙鋬?yōu)化方法比傳統(tǒng)方法簡捷、易實(shí)現(xiàn)、收斂精度更高，對(duì)回?zé)嵯到y(tǒng)或設(shè)備不需要進(jìn)行任何假設(shè)（如假設(shè)沒有再熱和所有加熱器都是混合型加熱器等），便于考慮實(shí)際系統(tǒng)中各種具體因素，可以實(shí)現(xiàn)更加合理的最佳設(shè)計(jì)方案.

5 結(jié) 論

對(duì)基于進(jìn)化狀態(tài)的自適應(yīng)粒子群算法中的聚集度描述進(jìn)行了改進(jìn)，試驗(yàn)證明改進(jìn)的PSO 算法具有良好的性能.構(gòu)造了通用性給水回?zé)岱峙鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型，并將改進(jìn)PSO 算法應(yīng)用于汽輪機(jī)組給水回?zé)岱峙鋯栴}.實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明，該方法能迅速、準(zhǔn)確地求得最優(yōu)解.該方法可以推廣應(yīng)用于其他形式的機(jī)組，對(duì)大型汽輪機(jī)組熱力系統(tǒng)挖掘節(jié)能潛力和優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義.

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