鄭 蘭，周衛(wèi)東，廖成毅，程 華

（1.哈爾濱工程大學自動化學院，150001哈爾濱；2.齊齊哈爾建華機械有限公司，161006黑龍江齊齊哈爾）

模型不確定非線性系統(tǒng)的自適應模糊Backstepping預測控制

鄭 蘭1，周衛(wèi)東1，廖成毅1，程 華2

（1.哈爾濱工程大學自動化學院，150001哈爾濱；2.齊齊哈爾建華機械有限公司，161006黑龍江齊齊哈爾）

為解決一類模型不確定嚴格反饋非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題，提出一種使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滾動時域性能指標在線最小化的自適應模糊反步預測控制策略.模糊系統(tǒng)用來逼近該設計過程中的未知非線性項，自適應參數(shù)直接用來估計最優(yōu)逼近權值向量范數(shù)的平方，從而只有一個自適應參數(shù)需要在線調節(jié)；同時考慮模糊基函數(shù)的性質，所設計的控制律與自適應律均不含模糊基函數(shù)項，理論證明該方法設計的控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號是半全局有界的，并且跟蹤誤差收斂于零的某一鄰域.該方法所設計的控制器形式簡單，計算量小，更易于實際應用，仿真算例驗證提出算法的有效性.

模型不確定；滾動時域；模糊自適應控制；反步設計；預測控制

在各類工業(yè)系統(tǒng)中，不確定性普遍存在，且有可能使系統(tǒng)性能變差甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定.因而，不確定系統(tǒng)的控制器設計成為控制領域研究的熱點.由于Backstepping設計方法在處理具有嚴格反饋形式的不確定系統(tǒng)時所特有的優(yōu)越性，已成為設計非線性系統(tǒng)控制器的主流工具［1-8］.但反步設計法對可調整的性能指標缺乏“自適應”能力.相反，預測控制在最優(yōu)控制的框架內(nèi)可顯示地處理系統(tǒng)的控制目標，這使得預測控制無論在理論上還是在實際應用中都取得了令人矚目的發(fā)展.

模型預測控制（model predictive control，MPC），又稱為滾動時域控制（receding horizoncontrol，RHC），是處理不確定問題的一種行之有效的方法.它通過在線優(yōu)化給定的目標函數(shù)來設計控制器，現(xiàn)已被廣泛應用于各個領域.針對不確定系統(tǒng)的魯棒預測控制研究目前倍受關注［9-16］.何德峰等［9］采用仿射輸入定義預測控制的控制律，研究了一類模型不確定非線性系統(tǒng)的H∞魯棒預測控制；平續(xù)斌等［10］基于輔助優(yōu)化方法研究了一類具有多胞不確定性和有界噪聲系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋魯棒模型預測控制，并將閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了擴展；劉曉華等［11］針對一類同時具有狀態(tài)和輸入時滯的不確定廣義系統(tǒng)通過近似求解無窮時域二次性能指標優(yōu)化問題，提出了魯棒預測控制器的設計方法；蘇成利等［12］在文獻［11］的基礎上，針對一類同時存在多重狀態(tài)和輸入時滯且具有非線性擾動的不確定系統(tǒng)研究了其魯棒預測控制器的設計方法；黃鶴等［13］針對具有有界擾動的多胞不確定系統(tǒng)著重研究了采用混合H2／H∞指標的魯棒預測控制算法的設計及其可行性、穩(wěn)定性以及在線計算量的分析；史冬琳等［14］針對有擾動的受限非線性系統(tǒng)，基于仿射控制輸入方法提出了一種反饋控制策略，且給出了擾動上界的求解方法；鄭鵬遠等［15］基于控制不變集方法研究了一類具有結構不確定性時滯系統(tǒng)的閉環(huán)魯棒預測控制算法，增加了控制設計的自由度；楊國詩等［16］將預測控制與構造性控制結合研究了基于反步設計的構造性非線性預測控制算法；張利賓［17］等針對多衛(wèi)星處置階段非線性姿態(tài)控制算法進行了研究，基于反饋線性化理論研究了非線性預測控制算法設計，并對系統(tǒng)的魯棒性進行了分析.該控制算法具有良好的抗擾性，快速性，穩(wěn)定性和魯棒性；楊青等［18］將預測控制與反步設計方法相結合，針對模型不確定的非線性系統(tǒng)設計了一種預測控制器，該方法比傳統(tǒng)的預測控制算法更容易使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且具有良好的動態(tài)特性.但此方法是在假設系統(tǒng)的不確定性是有界且為已知的有界光滑函數(shù)的前提下研究的，使用范圍很有限.因此，針對更一般的系統(tǒng)設計相應的控制器是需要進一步解決的問題.

本文在文獻［18］的基礎上直接針對一類模型不確定的嚴格反饋非線性系統(tǒng)設計基于反步法的自適應模糊控制器.通過每一步對Lyapunov函數(shù)的構造以及對模糊邏輯系統(tǒng)的使用，最終得到實際的控制律和自適應律，與此同時系統(tǒng)的不確定性也得以解決.與以往所設計的控制器相比，本文所設計的控制器結構簡單，并且包含更少的自適應參數(shù)（只有一個），從而降低了計算量，減少了計算時間.仿真結果驗證了該算法的有效性.

1 問題描述

考慮如下一類單輸入單輸出非線性系統(tǒng)

式中：ˉχi＝［χ1，χ2，…，χi］T，（i＝1，2，…，n-1）；χ＝［χ1，χ2，…，χn］T∈Rn和u∈Rn分別是系統(tǒng)狀態(tài)向量和控制輸入；y∈R為系統(tǒng)輸出；fi（·），g（·）和fn（·）為未知光滑非線性函數(shù)，i＝1，2，…，n-1．控制目標是設計一個穩(wěn)定的自適應控制器，使系統(tǒng)式（1）所有的信號半全局有界．為此，作如下假設：

假設1 存在正常數(shù)gr和ˉg≥g＞0使函數(shù)g（χ）滿足0＜g≤｜g（χ）｜≤ˉg且｜.g（χ）｜≤gr．這里，不妨設g（χ）≥g＞0．

假設2 yd（t）及其一階導數(shù).yd（t）是已知光滑有界函數(shù)．

在自適應模糊控制設計中，首先引入誤差向量

式中：yd表示期望輸出，＾αi是期望虛擬控制信號，將在第i步中給出．

考慮系統(tǒng)式（1）中存在的未知非線性，將采用模糊系統(tǒng)來進行逼近.根據(jù)萬能逼近定理，可以把模糊系統(tǒng)寫為如下形式：

式中：Φi為最優(yōu)權向量，Pi（Xi）為模糊基函數(shù)，δi（Xi）為逼近誤差，且｜δi（Xi）｜≤εi，εi為某一正常數(shù)．模糊基函數(shù)Pi（Xi）滿足0＜（Xi）Pi（Xi）≤1．

定義

在控制器設計步驟中，＾θ為θ的估計，估計誤差?θ為?θ＝θ-＾θ．

自適應Backstepping控制算法中虛擬控制量以及自適應律設計如下：

式中k0，r，ai（i＝1，2，…，n）為設計的正常數(shù)，實際控制律u＝αn，即

2 主要結論

2.1 控制器設計

控制器設計分為n步，在每一步中將設計虛擬控制律αi，i＝1，2，…，n．最后，在第n步時將會得到系統(tǒng)的控制律u．

步驟1 考慮如下的Lyapunov候選函數(shù)

由式（1）、（2）可知

對V1求導有

式中c1為常數(shù)，

因為＾α1為未知函數(shù)，用模糊邏輯系統(tǒng)來逼近＾α1，

式中｜δ1｜≤ε，ε1是一個正常數(shù)．

將式（5）、（12）代入式（10），整理可得：

步驟2 選取如下的Lyapunov候選函數(shù)

對V2求導得

式中：c2為一個常數(shù)，＾α2＝c2e2＋ˉf2，

利用模糊系統(tǒng)和虛擬控制α2可得

步驟k （3≤k≤n-1），利用類似的推導過程并選擇Lyapunov候選函數(shù)為

利用模糊系統(tǒng)和虛擬控制αk同理可推出

步驟n 這一步將得到控制u，根據(jù)式（1）、（2）可得

式中：c′n為一個常數(shù)，

采用模糊系統(tǒng)來逼近未知函數(shù)＾αn，可得

由假設1可得

通過選擇適當?shù)腸′n使得

將式（5）、（9）代入式（8），.Vn可進一步表示為

從步驟1到步驟n的設計過程來看，控制律u的設計清晰明了，對比文獻［9-10］等，此文的關鍵之處在于采用了一種新的Lyapunov函數(shù)，自適應律僅包含一個參數(shù)θ．與文獻［18］所設計的控制器相比，本文設計的控制器結構簡單，降低了計算量，減少了計算時間.

2.2 穩(wěn)定性分析

為了分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，選取Lyapunov候選函數(shù)為V＝Vn．由式（4）、（10）可得

設a0＝min｛2ci，k0，i＝1，2，…，n｝，

由式（11）得.V（t）＋a0V（t）≤b0，則

in）和?θ都是有界的．又因為θ是一個常量，則＾θ是有界的，所以αi也是有界的．由此得出χi是有界的．證明閉環(huán)系統(tǒng)所有信號是有界的．ci，r，ai和k0是設計的參數(shù)，并且θ，g和ˉg是常數(shù)．對任意給定的ε＞0，首先設計參數(shù)ci和k0，選擇ai，εi和ρ充分小且r充分大，可得b0／a0≤ε2／2．另外，由式（12）得

3 控制器參數(shù)在線優(yōu)化

利用在線滾動優(yōu)化確定控制器參數(shù)，提出一種非線性預測控制算法.在傳統(tǒng)的Backstepping設計中控制器參數(shù)c1，c2，…，c′n為時變的正實數(shù)變量，在滾動優(yōu)化過程中，在線調整參數(shù)c1，c2，…，c′n使得預測控制的目標函數(shù)最?。?/p>

為適應在線計算機計算的需要，采用差分的方法把系統(tǒng)式（1）、（3）和（5）離散化，采樣時間為T：

考慮取目標函數(shù)為

1）RΔu（k＋i-1）］＋eT（k＋P）Se（k＋P）．式中：Δu為輸入量的變化量，Q，S為正定矩陣，R為正實數(shù)，P為預測時域.基于Backstepping設計思想的非線性預測控制算法為

通過在線求解有約束非線性規(guī)劃的方法，得到使目標函數(shù)最優(yōu)的控制器參數(shù)矩陣C，得到所設計的預測控制器.采用序列二次規(guī)劃的方法求解［19-20］.

4 仿真研究

考慮如下三階非線性系統(tǒng)：

定義yd＝sin 2t＋cos t，控制律與自適應律為

由圖1～2可以看出系統(tǒng)輸出能跟蹤給定的期望信號，跟蹤誤差收斂于零的某一鄰域.圖3表示控制輸入，由圖可知控制輸入有界.圖4為系統(tǒng)性能指標，可知所設計的控制器可使得性能指標在線最小化.

圖1 系統(tǒng)輸出與期望信號曲線軌跡

圖2 跟蹤誤差曲線

圖3 控制輸入曲線

圖4 性能指標曲線

5 結 語

針對模型的不確定性，本文研究了一類嚴格反饋非線性系統(tǒng)的自適應模糊反步預測控制算法.反步設計方法與模糊系統(tǒng)的引入解決了模型的不確定性，降低控制器的設計難度.考慮萬能逼近特性和模糊基函數(shù)的性質，設計的控制器結構簡單，且有效降低預測控制在線優(yōu)化的計算量.通過仿真驗證了所提出控制器設計方法的有效性.

［1］KANELLAKOPOULOS I，KOKOTOVIC P V，MORS E A S.Systematic design of adaptive controllers for feedback linearizable systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1991，36（11）：1241-1253.

［2］ZHANG Tao，GE S S，HANG C C.Adaptive neural network control for strictfeedback nonlinear systems using backstepping design［J］.Automatica，2000，36（12）：1835-1814.

［3］YANG Yansheng，ZHOU Changjiu，REN Jusheng. Model reference adaptive robust fuzzy control for ship steering autopilot with uncertain nonlinear systems［J］. Applied Soft Computing，2003，3：305-316.

［4］YANG Yansheng，F(xiàn)ENG Gang，REN Junsheng.A combined backsteppingandsmall?gainapproachto robust adaptive fuzzy control for strict?feedback nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics?PartA：SystemsandHumans，2004，34（3）：406-420.

［5］ZHOU Jing，WEN Changyun，WANG Wei.Adaptive backstepping control of uncertain systems with unknown input time?delay［J］.Automatica，2009，45（6）：1415-1422.

［6］WEN Changyun，ZHOU Jing，WANG Wei.Decentralized adaptivebacksteppingstabilizationofinterconnected systems with dynamic input and output interactions［J］. Automatica，2009，45（1）：55-67.

［7］CHEN Bing，LIU Xiaoping，LIU Kefu，et al.Direct adaptivefuzzycontrolofnonlinearstrict?feedback systems［J］.Automatica，2009，45：1530-1535.

［8］文杰.非仿射非線性不確定系統(tǒng)的自適應模糊控制研究及應用［D］.南京：南京航空航天大學，2011.

［9］何德峰，季海波，鄭濤.持續(xù)有界擾動下的非線性H∞魯棒預測控制［J］.自動化學報，2008，34（2）：215-219.

［10］平續(xù)斌，丁寶蒼，韓崇昭.動態(tài)輸出反饋魯棒模型預測控制［J］.自動化學報，2012，38（1）：31-37.

［11］劉曉華，王利杰.帶有狀態(tài)和輸入時滯的不確定廣義系統(tǒng)的魯棒預測控制［J］.控制理論與應用，2010，27（4）：527-532.

［12］黃鶴.混合H2／H∞指標魯棒模型預測控制器的設計［D］.上海：上海交通大學，2011.

［13］蘇成利，趙家程，李平.一類具有非線性擾動的多重時滯不確定系統(tǒng)的魯棒預測控制［J］.自動化學報，2013，39（5）：644-649.

［14］SHI Donglin，MAO Zhizhong.Input?to?state stabilizing MPC for constrained nonlinear system with persistent disturbance［C］／／Proceedings of the Chinese Control and Decision Conference（CCDC），Mianyang：IEEE，2011，1126-1129.

［15］ZHENG Pengyuan，XI Yugeng，LI Dewei.Closed?loop robust model predictive control for time?delay systems with structured uncertainties［J］.Control Theory＆Applications，2013，30（6）：683-692.

［16］楊國詩，何德峰.基于反步設計的構造性非線性預測控制算法［J］.信息與控制，2011，40（3）：314-317.

［17］ZHANG Libin，CUI Naigang，PU Jialun.Research on nonlinear attitude control algorithm for upper stage during multi?satellite disposing［J］.Journal of Harbin Institute of Technology（New Series），2011，18（5）：14-18.

［18］楊青，李樹榮.基于Backstepping設計的不確定非線性系統(tǒng)的預測控制［J］.控制理論與應用，2007，24（4）：525-529.

［19］袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法［M］.北京：科學出版社，2001.

［20］趙敏，李少遠.基于信賴域二次規(guī)劃的非線性模型預測控制優(yōu)化算法［J］.控制理論與應用，2009， 26（6）：634-640.

（編輯 苗秀芝）

Adaptive fuzzy backstepping predictive control for a class for nonlinear systems with model uncertainty

ZHENG Lan1，ZHOU Weidong1，LIAO Chengyi1，CHENG Hua2
（1.College of Automation，Harbin Engineering University，150001 Harbin，China；2.Qiqihaer jianhua machinery co.，LTD，161006 Qiqihaer，Heilongjiang，China）

To overcome the tracking control problem for a class of strict?feedback nonlinear system with model uncertain，an adaptive fuzzy backstepping predication control algorithm which can make the closed?loop system stable and minimize the receding horizon guaranteed cost on?line is proposed.Fuzzy logic systems are employed to approximate the unknown term in the design process.As the adaptive parameter are directly used to estimate the norm of the optimal approximation weight vector，only one parameter need to be tuned on?line.Considering the property of the fuzzy basis function，the designed control laws and adaptive laws do not contain the fuzzy basis function term.Theoretically，it is proved that the using the constructed controller can guarantee that all signals in closed?loop are semi?globally uniformly ultimately bounded，and the tracking error convergence to a small neighborhood of the origin.As the form of the controller designed in this way is simplicity and the computation is small，this control strategy is easily realized in practice.Finally，the simulation results demonstrate the feasibility of the proposed scheme.

model uncertain；receding horizon；fuzzy adaptive control；backstepping design；prediction control

TP273

：A

：0367-6234（2014）11-0107-05

2013-10-09.

國家自然科學基金（61102107；61374208）.

鄭 蘭（1982—），女，博士研究生；周衛(wèi)東（1966—），男，教授，博士生導師.

鄭 蘭，zhenglan000＠163.com.