董雙虎

(同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系，上海 200092)

0 引言

氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)是描述橋梁結(jié)構(gòu)氣動(dòng)性能的重要參數(shù)，對(duì)橋梁顫抖振分析都必不可少.目前，氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的識(shí)別有自由振動(dòng)法，強(qiáng)迫振動(dòng)法和CFD方法，其中自由振動(dòng)法因試驗(yàn)裝置簡(jiǎn)單，應(yīng)用較多.

1971年，Scanlan等人提出了最早的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別的節(jié)段模型自由振動(dòng)方法[1]，該方法分狀態(tài)識(shí)別氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，工作量大且識(shí)別精度不高.1984年，謝霽明發(fā)展了基于Karman濾波器的初脈沖耦合振動(dòng)法[2]，方法中采用了非定常自激力模型，通過(guò)比較非定常自激力模型和Scanlan自激力模型建立自激力系數(shù)矩陣和Scanlan氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求得氣動(dòng)導(dǎo)數(shù).1994年，Sarkar提出了氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別的MITD法[3]，通過(guò)迭代來(lái)減小參數(shù)識(shí)別精度，但未能解決時(shí)延參數(shù)選取的問(wèn)題.二十世紀(jì)九十年代，日本學(xué)者Yamada和Iwamoto也先后在橋梁氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的識(shí)別中應(yīng)用了耦合自由振動(dòng)方法[4～5].1998 年，張若雪提出了橋梁斷面氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別的總體最小二乘法[6]，該方法用交叉迭代進(jìn)行總體最小二乘擬合.2001年，丁泉順針對(duì)總體最小二乘法的不足提出了修正總體最小二乘法[7]，提高了高折減風(fēng)速下氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別的穩(wěn)定性.

上述氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別的自由振動(dòng)法均采用了傳統(tǒng)處理方法[8]，即計(jì)算與豎彎有關(guān)的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)時(shí)采用頻率w1，計(jì)算與扭轉(zhuǎn)有關(guān)的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)時(shí)采用頻率w2.為克服該傳統(tǒng)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別方法中的缺陷，丁泉順提出了一種模態(tài)參數(shù)插值求氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的方法并給出了數(shù)值驗(yàn)證[9].在此基礎(chǔ)上，本文主要探討了一種由歸一化提取可直接插值的模態(tài)參數(shù)的方法，數(shù)值算例驗(yàn)證表明該方法是可行的，從而保證了模態(tài)參數(shù)插值求氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的可行性.

先介紹氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)插值方法.

1 氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)插值方法

考慮自激力作用的兩自由度橋梁節(jié)段模型的運(yùn)動(dòng)方程為:

其中h為豎向位移，α為扭轉(zhuǎn)角，m為單位長(zhǎng)質(zhì)量，I為單位長(zhǎng)質(zhì)量慣矩，Lse和Mse是氣動(dòng)升力和升力矩.

根據(jù)Scanlan的顫振理論，升力和升力矩可寫(xiě)成如下形式:

其中U為風(fēng)速，B為模型寬度，ρ為空氣密度，折減頻率K=ωB/U(i=1，2，3，4)是氣動(dòng)導(dǎo)數(shù).

將(3)(4)式代入(1)(2)中，移項(xiàng)并令

圖1 不同初始激勵(lì)下橋梁斷面的位移響應(yīng)時(shí)程

則方程(1)(2)變?yōu)?/p>

取x(t)=[h(t)α(t)]T，則方程(7)(8)可寫(xiě)為

式中

設(shè)方程的解為x(t)=Ψeλt，其中λ和Ψ依次為系統(tǒng)(包括結(jié)構(gòu)和自激力)的復(fù)特征值和復(fù)特征向量，且λ=(－ζ+i)ω=(ζ為復(fù)模態(tài)的阻尼比，ω為圓頻率)，由此可得出上述控制方程的特征方程為

已知同一折減風(fēng)速下的八個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，對(duì)式(11)進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)特征分析可以得到該折減風(fēng)速下的一組模態(tài)參數(shù)，反之，由同一折減風(fēng)速下的一組模態(tài)參數(shù)可求得該折減風(fēng)速下的八個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù).為了確定包含氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)自激力矩陣，式(11)可進(jìn)一步寫(xiě)成

也即

每一個(gè)i值對(duì)應(yīng)兩組共軛的復(fù)特征值和復(fù)特征向量，八個(gè)方程可求得八個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù).因此，氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為同一折減風(fēng)速下的模態(tài)參數(shù)的識(shí)別.

圖2 橋梁斷面系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別值與理論值的比較

2 模態(tài)參數(shù)提取方法

系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)在物理坐標(biāo)系中可表示為

其中 cr，為由初始條件決定的常數(shù)，且成共軛對(duì)的形式出現(xiàn).令λr= αr+βir，λ*r= αr－ iβr，代入上式可得

這里采用總體最小二乘法獲取低試驗(yàn)風(fēng)速下系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)[6]，而高試驗(yàn)風(fēng)速下系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)采用傳統(tǒng)最小二乘法按單一模態(tài)擬合，由于模態(tài)振型參數(shù)和初始激勵(lì)有關(guān)，建議一種歸一化方法提取與初始激勵(lì)無(wú)關(guān)并可直接插值的模態(tài)參數(shù)，較式

(14)和(15)不難得出如下對(duì)應(yīng)關(guān)系

式中，r=1，2分別對(duì)應(yīng)豎彎模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài).

由式(16)可知，只要確定模態(tài)中某種運(yùn)動(dòng)的幅值和相位，則另一種運(yùn)動(dòng)的幅值和相位也相應(yīng)確定，可直接插值的模態(tài)參數(shù)也即相應(yīng)確定.以扭轉(zhuǎn)模態(tài)為例

不妨令uα2－iv2α=1，則可按如下方法提取可直接插值的模態(tài)參數(shù).

不難證明，變換后的參數(shù)與初始激勵(lì)無(wú)關(guān).同理可提取可直接插值的豎彎模態(tài)參數(shù).對(duì)不同風(fēng)速下的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行線性插值，即可得到同一折減風(fēng)速(或折減頻率)下的一組模態(tài)參數(shù)，進(jìn)而由式(13)可求得氣動(dòng)導(dǎo)數(shù).

圖3 橋梁斷面氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別值與理論值的比較

3 算例分析

方便起見(jiàn)，本文采用一組特殊形式的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)獲得響應(yīng)時(shí)程對(duì)上述方法進(jìn)行驗(yàn)證.

取兩自由度橋梁節(jié)段模型斷面寬B=0.5m，單位長(zhǎng)度質(zhì)量m=10kg/m，單位長(zhǎng)度質(zhì)量慣矩Im=0.2kg·m2/m，空氣密度 ρ=1.225kg/m3，豎彎和扭轉(zhuǎn)固有頻率依次為 12.0rad/s，18.0rad/s.阻尼比均取為0.005.氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)表達(dá)為

風(fēng)速?gòu)牧汩_(kāi)始每級(jí)增加1m/s直至18m/s.用matlab進(jìn)行系統(tǒng)非線性時(shí)域分析求得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程.給系統(tǒng)不同的初始激勵(lì)，可以得到不同激勵(lì)下平板振動(dòng)的位移響應(yīng)時(shí)程.本文以三組5m/s時(shí)程為例，驗(yàn)證歸一化提取可直接插值的模態(tài)參數(shù)的可行性.

用總體最小二乘法獲取上述三組不同激勵(lì)下橋梁斷面板的阻尼，頻率，幅值等識(shí)別參數(shù)并歸一化處理得到模態(tài)參數(shù).以豎彎模態(tài)為例，表1為計(jì)算結(jié)果.(注:h0，a0為初始激勵(lì)豎彎位移和扭轉(zhuǎn)角).

表1 不同初始激勵(lì)下模態(tài)參數(shù)提取結(jié)果

由表1可知，不同初始激勵(lì)下得到的可直接插值的模態(tài)參數(shù)是和初始激勵(lì)無(wú)關(guān)的常數(shù)，即驗(yàn)證了歸一化提取可直接插值的模態(tài)參數(shù)方法的可行性.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述模態(tài)參數(shù)提取的歸一化方法，本文進(jìn)行了兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)和氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的識(shí)別.時(shí)程信號(hào)由上述三種不同的初始激勵(lì)通過(guò)時(shí)域分析得到.圖2給出了各風(fēng)速下系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)參數(shù)的識(shí)別結(jié)果，其中實(shí)線為理論值，圓點(diǎn)為識(shí)別值，兩者高度吻合.圖3給出了各氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的識(shí)別結(jié)果，其中實(shí)線為理論值，圓點(diǎn)為識(shí)別值，除了H2*個(gè)別點(diǎn)由于插值誤差稍有偏差外，氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別值均與理論值吻合較好，從而表明上述識(shí)別參數(shù)

歸一化處理提取模態(tài)參數(shù)的方法是可行的.

4 結(jié)語(yǔ)

由系統(tǒng)復(fù)模態(tài)的特征分析發(fā)現(xiàn)，同一折減風(fēng)速(或折減頻率)下的模態(tài)參數(shù)和該折減風(fēng)速(或折減頻率)下的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.基于該思想可建立系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)參數(shù)確定橋梁斷面氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的方法.該方法的關(guān)鍵是獲取同一折減風(fēng)速(或折減頻率)下的模態(tài)參數(shù).在此基礎(chǔ)上，本文主要探討了一種歸一化提取可直接插值的模態(tài)參數(shù)的方法.數(shù)值算例驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果和理論值完全吻合，在此基礎(chǔ)上用插值模態(tài)參數(shù)求得的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)也與理論值吻合較好，從而驗(yàn)證了該方法的可靠性和適用性.

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