王欣欣

（武漢理工大學(xué)，湖北 武漢 430070）

1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

用迭代方法處理各種反問(wèn)題已有悠久的歷史。但是研究表明，使用迭代方法求解反問(wèn)題，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所謂的“半收斂”現(xiàn)象，即在迭代的早期階段，近似解可穩(wěn)定地得到改進(jìn)，展現(xiàn)出“自正則化”效應(yīng)，但當(dāng)?shù)螖?shù)超過(guò)某個(gè)閾值后便會(huì)趨向于發(fā)散。因而，使用迭代法求解的關(guān)鍵是要尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕K止原則，在迭代次數(shù)和原始數(shù)據(jù)誤差水平之間找到平衡值。研究表明，迭代指數(shù)，即迭代步數(shù)正好起到正則化參數(shù)的作用，而這個(gè)終止準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)著正則化參數(shù)的某種選擇方法。并且使用迭代方法求解還有很多優(yōu)點(diǎn)，因此，在正則化問(wèn)題求解中通常選用迭代的方法，常用的迭代方法有：Landweber 迭代法、VanCittert 迭代方法、最速下降方法和迭代Tikhonov 正則化的求解方法，以及正則化方法的快速數(shù)值實(shí)現(xiàn)。

2 基于解空間分解的GMRES 算法及圖像復(fù)原應(yīng)用

2.1 正則化模型與圖像復(fù)原

設(shè)F 和U 分別表示度量空間，度量為ργ和ρμ，算子A：F 到U 映F到U，則該問(wèn)題變?yōu)榫€性反問(wèn)題（當(dāng)A 為線性算子時(shí)），或非線性反問(wèn)題（當(dāng)A 為非線性算子時(shí)）?！安贿m定性”（病態(tài)性）是所有反問(wèn)題所具有的一個(gè)共同的特性。一般情況下，不適定性是反問(wèn)題本身的固有特征：如果問(wèn)題的先驗(yàn)信息是未知的，那么就無(wú)法得到理想的結(jié)果。因此，我們應(yīng)該盡可能多的收集先驗(yàn)信息，最大限度的復(fù)原原問(wèn)題。通常，人們將求解反問(wèn)題(不適定問(wèn)題)的理論和方法稱為正則化方法。對(duì)于圖像處理問(wèn)題，由于涉及到大規(guī)模的方程組求解，法方程的維數(shù)太大，此時(shí)再應(yīng)用代數(shù)方法求解就會(huì)遇到一些難以實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問(wèn)題，而選用正則化方法不但可以克服上述缺點(diǎn)，還具有某些優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)問(wèn)題從無(wú)窮維度變到有限維度時(shí)，迭代求解不會(huì)影響系數(shù)結(jié)構(gòu)，而且能夠起到節(jié)約運(yùn)算空間的效果。這些優(yōu)勢(shì)在大規(guī)模計(jì)算中非常有利。

對(duì)于圖像恢復(fù)的病態(tài)性問(wèn)題，利用正則化思想進(jìn)行圖像復(fù)原時(shí)，需要利用先驗(yàn)信息，構(gòu)造某種約束條件，使用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，將圖像復(fù)原這一不適定問(wèn)題轉(zhuǎn)變成適定問(wèn)題，進(jìn)而使得近似解滿足適定性的三項(xiàng)約束，這也是正則化方法的優(yōu)勢(shì)所在。

2.2 解空間分解的廣義極小殘量算法

在對(duì)線性方程組Ax=b，A 緊算子，進(jìn)行求解時(shí)，為了盡可能減少存儲(chǔ)空間和計(jì)算開銷，Krylov 子空間迭代法是求行之有效的方法。當(dāng)系數(shù)矩陣A 對(duì)稱正定，共扼梯度法(CG)或預(yù)共轆梯度法(PCG)可快速準(zhǔn)確求解該方程組的近似解；當(dāng)A 對(duì)稱但不正定時(shí)，極小殘量法或預(yù)極小殘量法則能有效求解方程組。對(duì)于一般的非對(duì)稱矩陣，常采用廣義極小殘量法、共扼梯度法來(lái)求解。GMRES 算法利用Arnold 過(guò)程產(chǎn)生Krylov 子空間Kj 的正交基，Arnold 過(guò)程中每次迭代運(yùn)算，都要調(diào)用所有前面的迭代所產(chǎn)生的正交基來(lái)生成下一個(gè)正交基。

2.3 光學(xué)圖像復(fù)原結(jié)果

對(duì)于方程Ax=b，利用基于解空間分解的加速GMRES 算法迭代求解。計(jì)算步驟如下：

Step1.置初始值x0=0，并令δ=10-8；

Step2.用解空間分解的加速GMRES 算法迭代求解式Ax=b，在第j 步的值為xj；

圖像復(fù)原實(shí)驗(yàn)中處理的是256*256 尺寸的0-255 灰度級(jí)的liftingbody 圖像。用改進(jìn)信噪比來(lái)衡量算法的復(fù)原性能。從復(fù)原之后的對(duì)比效果看，共扼梯度法(CG)并不能有效的抑制模糊退化，復(fù)原結(jié)果仍然比較模糊，圖像邊緣有振鈴波紋出現(xiàn)。解空間分解的加速GMRES算法復(fù)原結(jié)果的邊界紋路比較清晰，很好的顯示出原圖像邊緣細(xì)節(jié)部分，與此同時(shí)，振鈴波紋因?yàn)榧哟疤幚淼玫接行б种?，整體視覺(jué)效果很好。

3 線性代數(shù)方法與圖像復(fù)原應(yīng)用

在涉及到復(fù)雜矩陣和向量的離散圖像復(fù)原模型中，可以從線性代數(shù)方法中得到一種效率較高的求解方法，常用的方法是約束最小二乘法。對(duì)約束最小二乘法進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)先驗(yàn)信息，把正則化思想和約束最小二乘法等有機(jī)結(jié)合在一起，并將其運(yùn)用到離散圖像復(fù)原中，得到的約束最小二乘的空域迭代法可以出色的抑制噪聲，而且在噪聲很強(qiáng)是也可以得到很好地復(fù)原結(jié)果。

將正則化思想與約束最小二乘法相結(jié)合，繼而復(fù)原退化圖像。通過(guò)對(duì)噪聲能量的限制來(lái)使用正則化理論，運(yùn)用空域迭代時(shí)很好的抑制了噪聲放大現(xiàn)象，同時(shí)克服了病態(tài)性，而且計(jì)算速度得到了提升。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，本方法更適合復(fù)原污染程度較大的圖像，但不適合復(fù)原模糊程度較大的圖像。

4 總結(jié)與展望

圖像復(fù)原近年來(lái)受到了越來(lái)越廣泛的關(guān)注，正則化方法理論的發(fā)展也越來(lái)越得到完善，許多學(xué)者從模型上、理論上、應(yīng)用上分別展開了對(duì)于正則化的圖像復(fù)原的深入研究，本文的研究雖然力求有較強(qiáng)的實(shí)用性，但是由于受到多方面的限制，在理論和工程應(yīng)用等方面仍存在很多的待豐富和改進(jìn)之處，需要在以后的工作中繼續(xù)深入研究。

首先，要加深對(duì)觀測(cè)圖像的先驗(yàn)信息的挖掘，因?yàn)槿绻軌蛴行Ю孟闰?yàn)信息，就能極大的改善估計(jì)精度以及問(wèn)題的病態(tài)性。要充分的利用各種先驗(yàn)知識(shí)，構(gòu)造更加精確地目標(biāo)泛函，設(shè)計(jì)出更加優(yōu)良的算法，同時(shí)要充分分析現(xiàn)有正則化參數(shù)的選擇方法，結(jié)合各個(gè)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，構(gòu)造出更加高效的正則化算子；要注意噪聲擴(kuò)大與圖像復(fù)原的平衡，充分利用成像時(shí)的分段平滑性質(zhì)，去除圖像邊緣模糊和振鈴現(xiàn)象。其次，要注重正則化圖像復(fù)原方法與其他圖像復(fù)原方法的有機(jī)結(jié)合?，F(xiàn)階段，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析和遺傳算法等新式的算法在圖像復(fù)原方面取得了極大的進(jìn)展，如果能夠?qū)⑦@些理論結(jié)合在一起，形成優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，一定能得到性能更好的圖像處理算法。

［1］肖庭延，于慎根，王延飛.反問(wèn)題的數(shù)值解法[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

［2］鄒謀炎.反卷積和信號(hào)復(fù)原[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2001.

［3］蘇超偉.偏微分方程逆問(wèn)題的數(shù)值解法及其應(yīng)用[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1995.

［4］鐘寶江.GMRES 方法的收斂率[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，25(3)：253-260.