韓雙霜，閔樂泉，韓丹丹

（1.北京科技大學(xué)a.自動(dòng)化學(xué)院；b.數(shù)理學(xué)院，北京 100083；2.武警北京指揮學(xué)院信息管理中心，北京 100012）

一種新的混沌圖像加密算法設(shè)計(jì)

韓雙霜1a，2，閔樂泉1a，1b，韓丹丹1a

（1.北京科技大學(xué)a.自動(dòng)化學(xué)院；b.數(shù)理學(xué)院，北京 100083；2.武警北京指揮學(xué)院信息管理中心，北京 100012）

基于修正版的Marotto定理提出了一種新的2維離散混沌映射。通過一個(gè)實(shí)數(shù)域到整數(shù)域的變換將該映射產(chǎn)生的混沌流轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制偽隨機(jī)序列。在此基礎(chǔ)上結(jié)合二維非等長Arnold變換設(shè)計(jì)了數(shù)字圖像加密算法，該算法具有類似一次一密的功能。對該算法的密鑰空間、密鑰敏感性、統(tǒng)計(jì)特性和抗干擾能力進(jìn)行仿真分析。研究結(jié)果表明：該加密算法可以達(dá)到較好的加解密效果，可以滿足商業(yè)網(wǎng)絡(luò)安全通訊的需求。

Marotto定理；圖像加密；非等長Arnold變換

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，圖像信息成為人們進(jìn)行信息交流的重要手段，如何安全地傳送圖像信息成為一個(gè)迫切需要解決的問題［1］。常用的圖像加密算法主要有像素空間位置置亂、圖像灰度變換以及兩者相結(jié)合的方法。較常用的置亂算法包括Arnold變換、幻方變換、Hilbert變換、Gray碼變換和亞仿射變換等［2－5］。其中，Arnold變換由于簡單且具有周期性的優(yōu)點(diǎn)，在圖像加密中得到了廣泛應(yīng)用。但它僅適合正方形圖像的置亂。針對這一不足，文獻(xiàn)［6］提出了適用高寬不等圖像置亂的二維不等長Arnold變換。

混沌作為一種特有的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，具有良好的偽隨機(jī)特性、軌道的不可預(yù)測性以及對初始狀態(tài)極端敏感性?；煦缑艽a學(xué)為信息安全保障提供了新的工具。目前，應(yīng)用于圖像加密中的離散混沌系統(tǒng)主要是采用對常見系統(tǒng)進(jìn)行擴(kuò)展、改進(jìn)或復(fù)合［7－9］，直接利用混沌判據(jù)構(gòu)造新混沌的比較少。本文基于史玉明和陳光榮提出的修正版Marotto定理［10］構(gòu)造了一個(gè)新的二維離散混沌映射，在此基礎(chǔ)上結(jié)合二維非等長Arnold變換設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)字圖像加密算法，能夠?qū)叶葓D像成功加密且實(shí)現(xiàn)了無失真解密。相關(guān)的安全性分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明：該加密算法安全性較高，可滿足商業(yè)網(wǎng)絡(luò)安全通訊的需求。

1 預(yù)備知識(shí)

在本節(jié)中先介紹一下修正版的Marotto定理，以便于后面的證明。

定理1［10］設(shè)z∈?n為映射f：?n→?n的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。假設(shè)：

（Ⅰ）f在z的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)可微且Df（z）的所有特征值之絕對值大于1，從而存在一個(gè)正常數(shù)r和?n的一個(gè)范數(shù)，使得f在之下在上擴(kuò)張，其中

（Ⅱ）z是f的返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)，即存在點(diǎn)x0∈Br（z）及正整數(shù)m，使fm（x0）＝z，（x0≠z），其中，Br（z）是空間以z為中心的閉球；是空間以z為中心的開球，且f在x0，x1，…，xm－1的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微且滿足det Df（xj）≠0（0≤j≤m－1），其中，xj＝f（xj－1），0≤j≤m－1。

則系統(tǒng)在Li-Yorke意義下是混沌的。

2 圖像加密算法

2.1 新二維離散混沌映射

基于定理1，本文構(gòu)造了一個(gè)新的二維離散映射，

其中，參數(shù)分別為a＝3，b＝5。下面證明該映射是混沌映射。

證明可以看出z＝（0，0）T為該離散映射的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且對于一個(gè)r0＞0，映射（1）在Br0（z）上連續(xù)可微，對任一點(diǎn)X＝（xn，yn）T其Jacobi矩陣的表達(dá)式為：

代入z得到兩個(gè)特征值λ1，2＝±3.873i，即所有特征值的絕對值均大于1，滿足定理1中的（1）。

下面證明f在Br（z）內(nèi)有返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)。設(shè)存在正整數(shù)m＝2及一點(diǎn)x0＝（x，y）T使得f2（x0）＝0，x1＝f（x0）≠0。即

綜上所述該映射滿足定理1，即映射在Li-Yorke意義下是混沌的。證畢。

在a＝3，b＝5，x0＝0.5，y0＝0.1時(shí)能產(chǎn)生混沌軌道，其迭代軌跡如圖1所示。

圖1 混沌映射的迭代軌跡

2.2 算法描述

設(shè)要加密的圖像為I＝｛I（i，j）｝，其中I（i，j）為空間坐標(biāo)（i，j）處的像素灰度值，圖像大小為m×n，設(shè)定一個(gè)可逆變換A，該算法中的密鑰集為加密方案中的參數(shù)為m1，n1，a1， a2，該加密算法的框架如圖2所示。下面將詳細(xì)描述該算法實(shí)現(xiàn)過程。

圖2 加密算法框架

2.2.1 置亂變換

步驟1：選取A為可逆矩陣

步驟2：以x0，y0作為初始條件，利用系統(tǒng)（1）迭代一定次數(shù)后生成混沌序列｛x（k），

步驟3：將圖像進(jìn)行2×2分塊，得到P1，P2，P3，P4（編號按行優(yōu)先的順序編排，如圖3所示）。

步驟4：以其中的圖像子塊P1為例，其圖像大小為m1×n1。選取迭代第m1次后得到的序列x（m1）、y（m1）和常數(shù)a1、a2做處理產(chǎn)生b1和r1，其中，b1＝abs（round（x（m1）×a1）），r1＝abs（round（y（m1）×a2））。利用二維非等長Arnold置換k1次得到P′1。其余子塊按類似方法置亂，得到P′2，P′3，P′4。

圖3 圖像分塊示意圖

步驟5：將圖像P′1，P′2，P′3，P′4拼合后按步驟4中的方法再進(jìn)行一次置亂后，得到密文圖像I′。

2.2.2 像素值變換

利用表達(dá)式I′b（i，j）＝t（i，j）⊕I′（i，j）完成像素值變換，其中，I′（i，j）為密文圖像I′的灰度值，t（i，j）是由系統(tǒng)（1）在步驟（2）中產(chǎn)生的混沌序列，經(jīng)過一個(gè)實(shí)數(shù)域到整數(shù)域的變換得到，其中，X（k）＝k1x（k）＋k2y（k），K1＝

2.3 仿真分析

3 算法的安全性分析

3.1 密鑰敏感性分析

為了使圖像能抵抗差分攻擊，加密圖像必須對密鑰敏感性較高。數(shù)值模擬顯示，本算法對密鑰集中的9個(gè)參數(shù)的敏感程度均達(dá)到10－15，即攻擊者對密鑰的嘗試攻擊即使密鑰值有10－15的微擾，想破解原圖像也幾乎不可能成功。圖5a為原圖像，圖5b～圖5 f為密鑰集中選取5個(gè)密鑰分別進(jìn)行10－15的微擾時(shí)所得的解密圖像，從中識(shí)別不出原圖像。

圖4 加密方案仿真圖

圖5 錯(cuò)誤密鑰解密圖

3.2 密鑰空間分析

為抵抗窮舉攻擊，圖像加密方案的密鑰空間應(yīng)盡可能的大。通過對密鑰密感性測試的數(shù)值模擬表明，本算法對密鑰集中的9個(gè)密鑰來說，密鑰空間已經(jīng)達(dá)到10235＞2448。若將算法中所涉及的其他一些常數(shù)設(shè)計(jì)為密鑰，則密鑰空間可進(jìn)一步增大。

3.3 統(tǒng)計(jì)分析

3.3.1 統(tǒng)計(jì)直方圖

圖6 直方圖分析

圖6a和圖6b分別為原圖像及加密圖像的統(tǒng)計(jì)直方圖，橫坐標(biāo)代表256個(gè)灰度級，縱坐標(biāo)代表所有像素取每個(gè)灰度級的頻數(shù)。由圖6可以看出：兩者有很大區(qū)別，并且加密圖像的直方圖分布的比原圖像均勻，概率分布接近等概率分布，增加了破譯的難度。

3.3.2 相鄰像素的相關(guān)性

圖7為對角方向原始圖像和加密后圖像相鄰像素的相關(guān)關(guān)系。由圖7可看出：原始圖像像素間的相關(guān)性呈線性結(jié)構(gòu)關(guān)系，而加密后圖像像素間的相關(guān)性呈隨機(jī)的對應(yīng)關(guān)系。計(jì)算原圖像和加密圖像像素間的相關(guān)系數(shù)也可發(fā)現(xiàn)：原圖的相鄰像素高度相關(guān)，而加密后圖像相鄰相關(guān)系數(shù)接近為零，已基本不相關(guān)。

圖7 對角方向相鄰像素相關(guān)性

4 結(jié)論

本文基于修正版的Marotto定理，構(gòu)造了一個(gè)新的二維混沌映射。在此基礎(chǔ)上結(jié)合二維非等長Arnold變換設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)字圖像加密方案。仿真結(jié)果表明：該算法可以實(shí)現(xiàn)對灰度圖像的加解密，并且有較好的效果。對算法的安全性分析表明：該算法密鑰空間大、密鑰敏感性高且統(tǒng)計(jì)特性較好。下一步的工作重點(diǎn)將放在對加密算法進(jìn)行優(yōu)化，尤其是由控制密鑰來進(jìn)行圖像分塊的實(shí)現(xiàn)以及提高抗干擾能力上。

［1］ 孫燮華.數(shù)學(xué)圖像處理原理與算法［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010：35－40.

［2］Deng X P，Zhao D M.Color Component 3D Arnold Transform for Polychromatic Pattern Recognition［J］.Optics Communications，2011，284（24）：5623－5629.

［3］ Yen E，Lin L H.Rubik’s Cube Watermark Technology for Grayscale Images［J］.Expert Systems with Applications，2010，37（6）：4033－4039.

［4］ Joshi M，Shakher C，Singh K.Image Encryption Using Radial Hilbert Transform Filter Bank as an Additional Key in the Modified Double Random Fractional Fourier Encoding Architecture［J］.Optics and Lasers in Engineering，2010，48（5）：605－615.

［5］ 盧斌，王冰.基于改進(jìn)亞仿射變換的圖像信息隱藏算法［J］.計(jì)算機(jī)工程，2011，37（11）：164－166.

［6］ 邵利平，覃征，高洪江，等.二維非等長圖像置亂變換［J］.電子學(xué)報(bào)，2007，35（7）：1290－1294.

［7］ Kanso A，Ghebleh M.A Novel Image Encryption Algorithm Based on a 3D Chaotic Map［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17（7）：2943－2959.

［8］ Wu Y，Noonan J P，Yang G L，et al.Image Encryption Using the Two-dimensional Logistic Chaotic Map［J］.Journal of Electronic Imaging，2012，21（1）：013014.

［9］ Wang X，Teng L，Qin X.A Novel Color Image Encryption Algorithm Based on Chaos［J］.Signal Processing，2012，92（4）：1101－1108.

［10］ Shi Y M，Chen G R.Discrete Chaos in Banach Spaces［J］.Science in China，Series A：Mathematics，Physics，Astronomy，2005，48（2）：222－238.

TN918

A

1672－6871（2014）05－0037－05

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61074192，61170037）

韓雙霜（1982－），女，安徽潁上人，博士生；閔樂泉（1951－），男，北京人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)樽√幇踩D像處理.

2013－05－14