劉 秀，韋華全，馬儇龍

（1.昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昭通657000；2.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530023；3.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004；4.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院，北京100875）

有限群的廣義轉(zhuǎn)移

劉 秀1，韋華全2，3，馬儇龍4

（1.昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昭通657000；2.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530023；3.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004；4.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院，北京100875）

給出了有限群廣義置換表示和廣義轉(zhuǎn)移映射的概念，推廣Burnside定理.

有限群；廣義置換表示；廣義轉(zhuǎn)移；p-冪零

確定一個(gè)已知群的非單性或可解性，是群論中最重要的課題之一，其中單項(xiàng)表示方法和轉(zhuǎn)移方法是行之有效的研究方法.本文提出廣義置換表示和廣義轉(zhuǎn)移映射的概念，目的是推廣Burnside定理，為研究有限群的非單性、p-冪零性和可解性打下基礎(chǔ).

1 基本定義及引理

定義1（參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］定義1） 設(shè)G1，G2是群，映射f：G1→G2叫做G1到G2的廣義同態(tài)映射，記為G1G2，如果?a，b∈G1，等式（ab）f＝afbf和（ab）f＝bfaf至少有一個(gè)成立.當(dāng)f為同態(tài)時(shí)，可簡(jiǎn)記G1～G2；當(dāng)f為反同態(tài)時(shí)，亦可記G1G2.

定義2（參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］定義2） 設(shè)G是群，稱群G廣義作用在非空集合Ω上，如果G到變換群SΩ有一個(gè)廣義同態(tài)，即對(duì)每個(gè)元素x∈G，對(duì)應(yīng)Ω上的一個(gè)變換φ（x）：α｜→αx，并且滿足（αx）y＝αxy，或者（αy）x＝αxy，這里x，y∈G，α∈Ω.

定義3 所謂群的廣義置換表示指的是群到置換群中的廣義同態(tài).

例1 設(shè)G是群，H≤G，取Ω＝｛Hx｜x∈G｝為H的全體右陪集的集合.作如下映射：P：G→SΩ，其中P（g）：Hx｜→Hxg，或P（g）：Hx｜→Hxg-1，?Hx∈Ω，?g∈G.由于

假定

則τ（g）是集合｛1，2，…，n｝的一個(gè)廣義置換，而τ可看成是G到對(duì)稱群Sn內(nèi)的廣義同態(tài)映射.

所謂G到H內(nèi)的廣義轉(zhuǎn)移指的是G到H／H′內(nèi)的映射VG→H，滿足

定義5（參見(jiàn)文獻(xiàn)［3］5.3定義Ⅱ） 設(shè)G是有限群，P是G的Sylow p-子群.如果G有正規(guī)子群N，滿足N∩P＝1，NP＝G，則稱G為p-冪零群，而稱N為G的正規(guī)p-補(bǔ).

引理1（參見(jiàn)文獻(xiàn)［3］4.9命題Ⅰ） G′是G的全不變子群，并且若N?G，則G／N是交換群?N≥G′.

2 主要結(jié)果

定理1 1）VG→H是G到H／H′內(nèi)的廣義同態(tài)；

2）VG→H不依賴于H的陪集代表的選?。?/p>

證明 1）設(shè)g1，g2∈G，則

故VG→H是廣義同態(tài).

或

對(duì)于任意的h∈H，設(shè)yjh＝kj（h）yjσ（h）或yjh-1＝kj（k-1）yjσ（h-1），其中kj（h），kj（h-1）∈K，σ是H在K上的廣義置換表示得到的H到Sm中的廣義同態(tài).于是有

或

由此得

或

又因?yàn)镵／K′是交換群，且由同態(tài)基本定理，H／Ker VH→K?Im（K／K′）≤K／K′，所以H／Ker VH→K是交換群，于是由引理1得，Ker VH→K≥H′，因而有VH→K（h′）＝K′.

由計(jì)算可得

或

由定理1，映射VG→H不依賴于H的陪集代表系的選擇，下列定理中所給出的陪集代表的選擇方法，對(duì)于許多須計(jì)算廣義轉(zhuǎn)移的問(wèn)題都是比較方便的.

定理3 設(shè)G是有限群，P是G的Sylow p-子群.若NG（P）＝CG（P），則G為p-冪零群.

證明 由NG（P）＝CG（P）≥P，知P為交換群.考慮廣義轉(zhuǎn)移映射VG→P.若能證明VG→P（G）＝P，則由同態(tài)基本定理知Ker VG→P就是G的正規(guī)p-補(bǔ)，G為p-冪零群.

事實(shí)上，我們可以證明VG→P（P）＝P.設(shè)1≠g∈P，由定理2，并注意到P′＝1，有

或

因?yàn)椋╬，｜G：P｜）＝1，由g≠1就得到VG→P（g）≠1.這說(shuō)明VG→P限制在P上是P到P的單射.由P有限，當(dāng)然也是滿射.因此有VG→P（P）＝P.于是P＝VG→P（P）≤VG→P（G）≤P／P′＝P，從而VG→P（G）＝P.

［1］韋華全，劉秀，楊麗英.廣義自同構(gòu)與有限群結(jié)構(gòu)［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，31（5）：522-525.

［2］謝芬芳，韋華全，馬儇龍.群在集合上的廣義作用及廣義自同構(gòu)群［J］.廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，29（2）：17-20.

［3］徐明曜.有限群導(dǎo)引（上冊(cè)）［M］.北京：科學(xué)技術(shù)出版社，1999.

［4］張遠(yuǎn)達(dá).有限群構(gòu)造（上冊(cè)）［M］.北京：科學(xué)出版社，1982.

［5］HUPPER T B，BLACKBURNN.Endliche cruppen［M］.New York：Springer-Verlag，1967.

［6］王守峰.半群成群的幾個(gè)充要條件［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)學(xué)版，2012，32（2）：39-41.

（責(zé)任編輯 梁志茂）

Generalized transfer of a finite group

LIU Xiu1，WEI Hua-quan2，3，MA Xuan-long4
（1.School of Mathematics and Statistics，Zhaotong University，Zhaotong 657000，China；2.School of Mathematics，Guangxi Teachers University，Nanning 530023，China；3.College of Mathematics and Information Science，Guangxi University，Nanning 530004，China；4.School of Mathematcal Sciences，Beijng Normal University，Beijng 100875，China）

The concept of generalized substitution expressibility and generalized transfer are given and the Burnsider theory is generalized.

finite group；generalized substitution expressibility；generalized transfer；p-nilpotency

O152.1

：A

：1672-8513（2014）01-0048-04

2013-06-17.

國(guó)家自然科學(xué)基金（10961007，11161006）；云南省教育廳科學(xué)研究基金（2012Y435）.

劉秀（1980-），女，碩士，講師.主要研究方向：群論.