班桂寧，許永峰，陳倩，趙麗萍

（廣西大學 數(shù)學與信息科學學院，廣西 南寧 530004）

關于有限p-群的自同構群的階方面有一個著名的LA-猜想：階大于p2的有限非循環(huán)p-群的階是其自同構群的階的因子。LA-猜想作為群論研究的熱門問題之一，受到相關學者的極大興趣，各方面的研究工作也相繼被展開.關于LA-猜想的研究，俞曙霞、班桂寧等得到了許多有價值的結果（見文獻［1-4］）。1980年，Rodney James對階小于等于p6（p為奇素數(shù)）的有限p-群進行了完全分類（見文獻［5］），本文對Rodney James在文獻［5］中給出的p6階群Φ23家族的Φ23(16)進行推廣，得到了有限p-群的一個重要類，然后運用Schreier群擴張理論和Van Dyek自由群理論證明了所得群G的存在性，并且給出了群G的一些性質，最后通過計算群G自同構群的正規(guī)子群R(R=Inn(G)Ac(G))的階，以此證明所得到的群是LA-群.本文的意義在于將LA-猜想推廣到其他p-群上，從而為解決該猜想邁出實質性的一步。文中所討論的群均為有限p-群，p為奇素數(shù)，其余所有參數(shù)均為非負整數(shù)，相關符號若無特殊說明均是標準的，具體可參考文獻［5］、［7］.

1 相關引理

引理 1.1［6］（Van Dyek）

設G是由生成元x1,x2,…,xr和關系fi(x1,x2,…,xr)=1，i∈I所定義的群，

H=

則存在唯一的滿同態(tài)σ：G=Fr/N→H使得xiN→ai，其中Fr=

Y=<{fi(x1,x2,…,xr)|i∈I}＞，N=YFr（Y在Fr中的正規(guī)閉包），

G=Fr/N.如果|G|≤|H|<+∞，

則上述的σ為群同構（即H是由生成元{a1,a2,…,ar}與定義關系fi(a1,a2,…,ar)=1，?i∈I所定義的群）.

引理1.2［7］

設G′是G的全不變子群，并且若N＞G，

則G N是交換群?N≥G′.

引理1.3［7］

設G是群，a,b,c∈G，

引理 1.4［7］

設G是有限p-群，若c(G)

引理 1.5［7］

設G是有限群，則G的全體中心內自同構組成的Aut(G)的子群，并且它和Z(G/Z(G))是同構的.

引理 1.6［8］

設G是PN-群，GG′和Z(G)的不變型分別為1≤mt≤mt-1≤…≤m1和1≤ks≤ks-1≤…≤k1，則|Ac(G)|=pa，其中a=

2 主要結果

定理1

設

則G成為一個群的必要條件是r≤t2，

其中所給的關系是群G的定義關系，且|G|=pt+t1+t2+t3+t4+r.

證 (I)假設定理中所給的G是一個群。由

得

進而有

由此可得

t4≤t.綜合上述條件可得r≤t2，t2≤min{t1,t}，t4≤t3≤t2≤t1.

(II)利用群的擴張理論證明在定理所給的條件下群G的存在性，分以下兩步完成：

(1)先證明

r≤t2，t4≤t3≤t2≤t1＞的存在性，且G1中所給的關系即為群G1的定義關系.

令

設F=

則根據(jù)條件

此時

故τ∈Aut(N).顯然1τ=1，下證τpt1=1.根據(jù)條件r≤t2≤t1，

有

從而

若此時記擴張函數(shù)f：F×F→N和α：F→Aut(N)有如下形狀：

則由Schreier擴張理論得到N被F的一個擴張因此G1是存在的，且|G1|=pt1+t2+t3+t4+r.

下面利用自由群理論證明G1中所給的關系即為群G1的定義關系.

設F={x1,x2,x3,x4,y}是一個自由群，

則

于是

由引理1.1知G1?，所以

(2)再證明

r≤t2，t2≤min{t1,t}，t4≤t3≤t2≤t1＞的存在性，且G中所給的關系即為群G的定義關系.

令N=G1，設F=

根據(jù)條件r≤t2，t4≤t3≤t2≤t1，

有

此時有

故τ∈Aut(N)，顯然1τ=1，下證τpt=1.

根據(jù)條件r≤t2，t2≤min{t1,t}，t4≤t3≤t2≤t1，

有

有如下形狀：

則由Schreier擴張理論得到N被F的一擴張G=Ext(N,pt;1,τ)且F?G/N.因此G是存在的，且

下面利用自由群理論證明G中所給的關系即為群G的定義關系.

設F={x,x1,x2,x3,x4,y}是一個自由群，

由有限群G的子群P(G)定義有P(G)=

即

（2）當p＞4時，由（1）知c(G)=4

（3）由于 [α2,α3]=[α2,α4]=[α2,γ]=[α3,α4]=[α3,γ]=[α4,γ]=1，所以G″=[G′,G′]=1，故G為亞交換p-群.

則

同理

由此可得

這使得

即

由g的任意性可得

于是

進而

所以

其中

（5）由于

則

由此可得

這使得

即

由g的任意性可得

于是

進而

故

其中

（6）由（1）、（4）知，Z(G)≤Φ(G)，故G為PN-群.

（7）系直接驗證，見文獻［5］.

定理3在以下六種情形下群G均為LA-群.

情形1r≤t4≤t3≤t2≤t1≤t；情形2t4≤r≤t3≤t2≤t1≤t;

情形3t4≤t3≤r≤t2≤t1≤t；情形4r≤t4≤t3≤t2≤t≤t1;

情形5t4≤r≤t3≤t2≤t≤t1；情形6t4≤t3≤r≤t2≤t≤t1.

證 令R=Inn(G)Ac(G)（Ac(G)為G的中心自同構），則易知R為Aut(G)的正規(guī)p子群。于是只需證明|R|≥|G|，即可知G為LA-群.

由引理1.5

由定理2知

其型不變量為(t,t1);

其型不變量為(t-t2,t1-t2,t2-m,t3-t4,t4,r);|G/Z2(G)|=

其中m=max{t3,r}.

下面只證明情形1下群G為LA-群.其他情形下可類似情形1的證明過程證明群G為LA-群.

在情形1r≤t4≤t3≤t2≤t1≤t下GG′的不變型為t1≤t，

需討論t-t2,t1-t2,t2-m,t3-t4,t4,r的大小關系.

(I)不妨設Z(G)的不變型為r≤t4≤t3-t4≤t2-t3≤t1-t2≤t-t2

(i)t1≤t-t2時，

由引理 1.6，

則

因此

故群G為LA-群.(ii)t-t2≤t1時，

由引理1.6，

故群G均為LA-群.

(II)同理，對于Z(G)的其它不變型，類似于(i)的討論過程可以證群G為LA-群.

故在情形1下群G為LA-群;對于情形2到情形6做類似于情形1同樣的討論，可以證明群G為LA-群.

［1］YU S X，BAN G N，ZHANG J S.Mininalp-group with automorphism groups of order［J］.Alg Colloq，1996，3（2）：97-106.

［2］BAN G N，LI S Y，ZHANG J S.The new series of LA-groups（I）［J］.Chinese Quarterly Journal of Mathematics，1994，9（2）：73-78.

［3］俞曙霞，班桂寧.若干LA-群及有關定理［J］.廣西大學學報：自然科學版，1993，18（1）：6-13.

［4］俞曙霞，班桂寧.關于LA-群的一個定理［J］.廣西大學學報：自然科學版，1994，19（1）：10-17.

［5］JAMES R ，The groups of orderp6（ pan odd prime）［J］.Math.Comput.1980，34：613-637.

［6］班桂寧，俞曙霞.一類 p-群的自同構群的階［J］.數(shù)學學報，1992，35（4）：570-574.

［7］徐明曜.有限群導引（上，下）［M］.第2版.北京：科學出版社，2001.

［8］EXARCHAKOS T.LA-groups［J］.J Math Soc Japan，1981，33（2）：185-190.