陳漢寶，徐海玨,，白玉川,

振蕩流底層擬序結(jié)構(gòu)運動理論模式

陳漢寶1，徐海玨1,2，白玉川1,2

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072)

湍流擬序結(jié)構(gòu)是一種可檢測的有序運動，在壁面湍流結(jié)構(gòu)中往往表現(xiàn)出復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)．針對對稱振蕩流(純振蕩流)，建立了描述對稱振蕩流湍流擬序結(jié)構(gòu)的理論模式，并對其特性進行了研究．探討了振蕩流擬序結(jié)構(gòu)能夠保持的雷諾數(shù)范圍、擬序擾動波數(shù)范圍以及所能激發(fā)不穩(wěn)定擬序波的波數(shù)頻率范圍，分析了振蕩流激發(fā)的二維擾動波與三維擾動波的相互關(guān)系以及擬序波的對稱性特征、擬序擾動流速、雷諾應(yīng)力、附加渦量的時空分布等．結(jié)果表明，對稱性振蕩流擬序結(jié)構(gòu)不僅與通常研究的雷諾數(shù)等因素有關(guān)，而且與振蕩頻率有很大的關(guān)系．

振蕩流；擬序結(jié)構(gòu)；穩(wěn)定性特征

切變湍流的擬序結(jié)構(gòu)是近年湍流研究中的重大發(fā)現(xiàn)，它表明湍流并非完全不規(guī)則運動，在表面上看來不規(guī)則的運動中具有可檢測的有序運動，這種運動在切變湍流脈動發(fā)生和發(fā)展中起著重要的作用．

邊界層湍流較自由切變湍流更為復(fù)雜，由于受到床面壁限制，湍流結(jié)構(gòu)往往是三維的．早期湍流邊界層理論認(rèn)為床面附近的流動是層流，并稱之為層流底層；自20世紀(jì)50年代以來，大量湍流研究表明所謂的層流底層并非層流，它是觸發(fā)湍流的重要區(qū)域．1967年Kline等[1]用氫泡顯示了平板邊界層近壁區(qū)的擬序結(jié)構(gòu)，該研究工作被認(rèn)為是認(rèn)識剪切湍流中準(zhǔn)周期與準(zhǔn)確定性擬序結(jié)構(gòu)存在的經(jīng)典研究工作；之后經(jīng)過20年的研究，人們才對單向平板邊界層流擬序結(jié)構(gòu)有了比較清晰的認(rèn)識[2]．

對于振蕩流擬序結(jié)構(gòu)的研究，主要是結(jié)合波浪掀沙及振蕩流掀沙機理進行研究，Black[3]分別就對稱振蕩流(純振蕩流)和非對稱振蕩流(波流)近底流區(qū)(離床面高度為5～46,mm范圍內(nèi))在其一個運動周期內(nèi)的掀沙狀況進行了室內(nèi)實驗和現(xiàn)場觀測研究，發(fā)現(xiàn)在其一個運動周期內(nèi)，存在3個掀沙峰值，最大的峰值出現(xiàn)在振蕩流水質(zhì)點由正向轉(zhuǎn)反向的瞬間，此時質(zhì)點軌道速度和底部切應(yīng)力都很小，且它們均處于減速階段，這樣按照常規(guī)計算波浪掀沙的方法，就很難加以描述．通過深入的實驗研究表明，淺水對稱振蕩流(純振蕩流)和非對稱振蕩流(波浪)的掀沙過程及掀沙含量滯后于底部切應(yīng)力和軌道速度的原因主要是由于底邊界層紊動結(jié)構(gòu)而并非泥沙的慣性所致，即決定于振蕩流底層中的擬序結(jié)構(gòu)，其演化及其猝發(fā)噴射大渦噴射對床面形態(tài)的發(fā)展、床面泥沙的掀動上揚起著決定性的作用．

振蕩流底層擬序結(jié)構(gòu)在自然界起著重要的作用，吸引了無數(shù)學(xué)者對其進行研究，其一是針對振蕩流本身紊動結(jié)構(gòu)，其二是將紊動結(jié)構(gòu)引入振蕩流掀沙過程.對于前者，Hino等[4]、Sleath[5]和Jensen等[6]曾分別就光滑床面、粗糙床面及高雷諾數(shù)等情況，對振蕩流本身湍流特性、底層擬序結(jié)構(gòu)發(fā)展過程進行實驗研究，發(fā)現(xiàn)在振蕩流加速階段，湍流首先由底層的剪切不穩(wěn)定性失穩(wěn)而激發(fā)產(chǎn)生，但此時尚被主流抑制而不能發(fā)展，只有到振蕩流減速階段的開始，湍流才逐步強烈地增長并以擬序猝發(fā)的運動形式所表現(xiàn)出來，若此時床面若有足夠的泥沙供給，則將產(chǎn)生強大的掀沙上揚通量．Hagatun等[7]、Horikawa等[8]、Dick等[9]和Savioli等[10]的掀沙實驗和現(xiàn)場實測結(jié)果從另一方面也的確相繼證實了這一點．

對于平板底層擬序結(jié)構(gòu)的研究，目前既有實驗也有理論和數(shù)值方面的研究，已取得了較大的進展[11]；對于振蕩流底層穩(wěn)定性研究目前也是研究的熱點[12-14]；而對于振蕩流底層擬序結(jié)構(gòu)的研究，目前剛剛起步，迄今為止理論方面鮮見報道，筆者就是希望在該方面做初步探討．

1 理論模式

1.1 基本方程

以平底床面為例，取振蕩流底邊界層外最大流速umax、振蕩流底層厚度δ=2ν/ω和振蕩流基本頻率ω，分別作為特征流速、特征長度和特征時間，無量綱化Navier-Stokes方程為其他方向的表達式類似．

1.2 擬序相平均和擬序分解

1)擬序事件

在時空(x，t)中任一點的{xc，tc}觸發(fā)一次擬序運動稱為一擬序事件．

2)擬序相平均

擬序事件的平均稱為擬序平均〈〉u，如擬序速度場的相平均為

3)擬序分解

將湍流流動分解為擬序相平均和脈動之和，稱作擬序分解.

4)擬序擾動

擬序相平均和全系綜平均(或雷諾平均)之差定義為擬序擾動.

結(jié)合式(4)和式(5)可以看出，在引入擬序事件、擬序相平均和擬序擾動后，在擬序分解的情況下，速度壓力可分解為

可以看出全系綜平均分解的脈動項實質(zhì)上是擬序擾動和擬序脈動之和.

1.3 擬序擾動方程

將式(6)代入式(1)和式(2)中，做擬序平均和全系綜平均，然后用前者減去后者可以得到擬序擾動方程．

振蕩流實驗[8-10]表明，湍流大尺度擬序結(jié)構(gòu)與小尺度結(jié)構(gòu)同時存在，但小尺度結(jié)構(gòu)對大尺度結(jié)構(gòu)的發(fā)展所起的作用不大，因此，可不考慮湍流小尺度結(jié)構(gòu)的影響，有其他方向的表達式可做類似展開．

1.4 基本流速度分布

振蕩流底層接近平行流，故基本流方程可化簡為

而邊界層外區(qū)為勢流運動，不存在剪切力，其運動方程為

式中：pw為邊界層外壓強；wu為邊界層外水質(zhì)點的水平速度，由Stokes理論知其無量綱的形式為

式中C.C代表共軛復(fù)數(shù)．跟據(jù)邊界層理論，p=pw，用式(9)減去式(10)，有

利用分離變量法，并考慮到wu的表達式，則

繪出的圖形如圖1所示．其中，橫坐標(biāo)為用邊界層外最大流速umax無量綱化的振蕩流速，而縱坐標(biāo)為用邊界層厚度δ無量綱化的垂向深度坐標(biāo)．

圖1 振蕩流流速分布Fig.1 Velocity distribution of oscillatory flow

以上是層流情況下的流速分布，但目前討論的是底層湍流擬序的運動，因此，應(yīng)將其修整到湍流情況．根據(jù)Nielsen[15]的研究結(jié)果，F(xiàn)0(y)修整為

1.5 擬序運動的理論分析

壁湍流中擬序運動具有強烈的三維效應(yīng)，如縱向條帶和縱向渦，目前比較公認(rèn)的推測是，某種擾動通過非線性作用，在近壁面處形成三維擾動，三維擾動在近壁面處發(fā)展起來，導(dǎo)致流向速度剖面具有拐點，這種局部不穩(wěn)定剖面進一步失穩(wěn)、崩潰破裂，發(fā)生猝發(fā)現(xiàn)象，完成一個擬序運動過程．在振蕩流中也存在類似的現(xiàn)象，實驗研究表明，這種擬序大尺度結(jié)構(gòu)實際上是一種不穩(wěn)定波，而小尺度結(jié)構(gòu)對大尺度結(jié)構(gòu)的演化作用不大，可以用流動穩(wěn)定性的理論來研究其運動特性．

1.5.1 擬序擾動攝動展開

將式(14)代入式(7)和式(8)，得

1.5.2 擬序擾動運動線性分析

略去上述方程中的高階量，只保留線性部分，即得0ε的相關(guān)方程為

實驗研究表明，這種擬序大尺度結(jié)構(gòu)實際上是一種不穩(wěn)定波；同時實驗研究也發(fā)現(xiàn)，振蕩流底層的擬序結(jié)構(gòu)，既有二維的成分，同時也具有三維的成分，因此，本文對其線性部分亦用二維擾動和三維擾動加以構(gòu)造與模擬．

式中：下標(biāo)“0a”表示二維擬序；下標(biāo)“0b”表示三維擬序．將式(19)代入式(17)和式(18)中，先考慮ei(αbx+βbz-ωbt)項，消去u0b(y,t)、w0b(y,t)和p0b(y,t)后得三維Orr-Sommerfeld方程為

邊界條件整理為

由于u(y,t)為周期函數(shù)，利用Floquet理論，v0b(y,t)可展為級數(shù)形式，即

式(21)中1σ=，結(jié)合式(13)，式(19)可重新寫為

將式(13)、式(21)代入式(20)中，相應(yīng)于e-imσt項 (m取不同的正整數(shù))，所有特征函數(shù)所滿足的方程為

當(dāng)0y=及∞時，有

式(23)代表了振蕩流邊界層流動穩(wěn)定性特征的Orr-Sommerfeld方程，依此研究擬序大尺度結(jié)構(gòu)這種不穩(wěn)定波的變化情況．類似常規(guī)處理二次穩(wěn)定性的方法[4]，對于式(22)，在m=1處截斷，即m〉1，v0bm(y)=0．令m=-1,0,1，共3個方程，結(jié)合邊界條件(24)，共同構(gòu)成了特征問題，求解可得出所有的v?0bm(y)．當(dāng)β=0時，方程即可代表二維情況，同理可求出所有的v?0am(y)．

2 分析及計算結(jié)果

2.1 對稱性分析

邊界層內(nèi)流速u(y,t)=F0(y)ei(-t)+C.C在一個時間周期[0,2π]內(nèi)，有方向相反幅值相同的2個過程的運動，即

這2個過程共同組成了振蕩流的整個周期性運動過程，這樣就出現(xiàn)了成對的對稱性振蕩流的特征值，即分別有正向傳播擾動波和逆向傳播的擾動波.

本文首先采用譜配置方法將方程離散，然后采用具有移位的QR方法進行全部特征值的篩選計算，最后采用Muller方法進行詳細(xì)計算．表1中列出了用QR方法計算得到的最具代表性的3個特征值(ωb)的結(jié)果(Re=522，αb=0.15，β=0，σ=1.0)來說明問題．

表1 特征值比較分析Tab.1 Comparison of eigenvalues

2.2 類Squire變換及穩(wěn)定性特征

考慮到Squire變換關(guān)系，引入類似變換，其關(guān)系為

則式(20)可變?yōu)?/p>

其形式與考慮二維情況下的方程形式是一致的，所以，仍然可以證明在二維流向波數(shù)與三維流向波數(shù)、展向波數(shù)的關(guān)系滿足Squire變換的情況下，由Reαb=Re1α1可知，Re≤Re1，即在坐標(biāo)變換關(guān)系α2b+β2=α21下，二維擬序渦首先出現(xiàn)．

本文的特征值問題歸結(jié)為求滿足F(αb,β,ωb, Re,σ)=0的αb、β、ωb、Re和σ的關(guān)系問題，其中無量綱化量綱σ=1，所以可變變量有4個. 圍繞這4個變量的變化，給出特征值的變化情況．

圖2和圖3給出的是特征頻率在波數(shù)-雷諾數(shù)平面上的分布情況．圖2為特征值虛部等值線圖，其中實線代表穩(wěn)定的中性曲線．圖2中的3等值線表現(xiàn)出了一定的規(guī)律，在波數(shù)較小的范圍內(nèi)，中性線在大雷諾數(shù)方向，而且3等值線表現(xiàn)出了較散的趨勢．隨著波數(shù)的增長，中性線向小雷諾數(shù)方向移動，并在αb≈0.215處，中性線到達雷諾數(shù)最小處，此即為臨界雷諾數(shù)，再向上中性線又向大雷諾數(shù)的方向發(fā)展．在波數(shù)增大的過程中，3等值線也表現(xiàn)出了從散到集中的過程．圖3為特征值實部等值線圖，在中性曲線分布相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)特征值實部表現(xiàn)出了相對均勻的分布情況，隨著波數(shù)和雷諾數(shù)的增加，特征值實部也逐漸增加．

圖2 特征值虛部等值線Fig.2 Contour of imaginary part of eigenvalue

圖3 特征值實部等值線Fig.3 Contour of real part of eigenvalue

為了證明Squire變換，將Squire變換關(guān)系和計算結(jié)果進行了對比，其結(jié)果吻合．圖4給出了不同展向波數(shù)下中性曲線等值線圖．可以看出，對于對稱性振蕩流的流動穩(wěn)定性問題，同樣可以進行Squire變換，將三維問題轉(zhuǎn)換成二維問題進行分析；而且也有相當(dāng)于平面Poiseuille穩(wěn)定性的結(jié)論，即二維失穩(wěn)首先出現(xiàn)，然后才會由于共振機理向三維擾動轉(zhuǎn)變．

圖4 不同展向波數(shù)下中性曲線等值線Fig.4Contour of neutral curve under different spanwise wave numbers

2.3 擾動流速分布

圖5～圖8給出了計算得到的擾動流速及擾動壓強分布規(guī)律，其中縱坐標(biāo)y代表用邊界層厚度δ無量綱化的垂向深度．從圖5～圖7中可以看出，3方向上的擾動流速u、v、w都顯示出相似的規(guī)律．由于近底給定的是無滑移邊界條件，所以擾動流速在底部都是從零起步，在一定高度范圍內(nèi)出現(xiàn)了幅度較小、波長較短的振蕩，隨著距離底部距離的加大，幅值和波長逐漸變大，從而在離地面高度大約為10δ ～30δ的范圍內(nèi)達到峰值，能量在此集中較多．向上的發(fā)展趨緩，幅值逐漸趨于零．整個趨勢顯示出在振蕩流不穩(wěn)定發(fā)生初期，擾動能量在底部聚集、慢慢向水面擴散的發(fā)展過程．

圖5 擾動流速u沿水深的變化Fig.5 Variation of disturbance velocity u along water depth

圖6 擾動流速v沿水深的變化Fig.6 Variation of disturbance velocity v along water depth

圖7 擾動流速w沿水深的變化Fig.7 Variation of disturbance velocity w along water depth

圖8 擾動壓強沿水深的變化Fig.8 Variation of disturbance pressure along water depth

2.4 雷諾應(yīng)力分布

圖9給出了雷諾應(yīng)力的分布情況．從圖9可以看出，各方向上的雷諾應(yīng)力在底部為零，在距離底部不高的地方出現(xiàn)了高頻振蕩，振蕩的波長和幅值隨高度的增加而增加并在高度為30δ 處達到其峰值；并且由于受到邊界的影響，流向上的雷諾應(yīng)力(uu)和展向上的雷諾應(yīng)力(ww)明顯比縱向上的雷諾應(yīng)力(vv)大．水平方向上雷諾應(yīng)力(uu和ww)的這種變化將對床面產(chǎn)生巨大影響，暴露在沙質(zhì)床面上的非均勻泥沙顆粒受振蕩頻率和各種不同擾動頻率的影響，在床面上做懸移、推移或躍移運動，成為沙波形態(tài)出現(xiàn)的前提條件．而縱向的雷諾應(yīng)力也不容忽視，它的產(chǎn)生可能對泥沙顆粒的懸揚有重要影響．

圖9 雷諾應(yīng)力沿水深的變化Fig.9 Variation of Reynolds stress along water depth

圖10 和圖11給出了雷諾應(yīng)力在不同位置上的對比．從圖中可以看出，雷諾應(yīng)力在不同位置上的變化較小，而且整體變化趨勢相同，在同一位置(高度為8δ )處出現(xiàn)明顯的幅值變化，在幾乎同一位置(高度為30δ )處達到其峰值，有的可在一定位置(高度10,δ )附近觀察到明顯的幅值反復(fù)，如圖10(c)和圖11所示，這就是高頻短波振蕩的明顯表現(xiàn)．

圖10 正向雷諾應(yīng)力在不同位置上的對比Fig.10 Normal Reynolds stress at different positions

圖11 切向雷諾應(yīng)力在不同位置上的對比Fig.11 Tangential Reynolds stress at different positions

2.5 附加渦量分布

振蕩流流速轉(zhuǎn)向時往往能使水挾帶更多泥沙[16-19]，本文的研究結(jié)果顯示，振蕩流擬序擾動產(chǎn)生和發(fā)展所帶來的附加渦量在轉(zhuǎn)向時達到最大，能夠顯著影響到泥沙的挾帶量，從而影響到床面的形成過程．從圖12可以看出，渦量的幅值也有從底部向水面上逐漸增加達到峰值然后逐漸減少的過程．對比3個方向的渦量，發(fā)現(xiàn)其在流向(x方向)上幅值最大，在展向(z方向)上幅值最小，在這2個水平方向上具有相似的結(jié)構(gòu)特點，而在縱向上結(jié)構(gòu)復(fù)雜，幅值也較?。畬Ρ葓D10、圖11和圖5～圖8，發(fā)現(xiàn)附加渦量的衰減速度比擾動流速快，并與雷諾應(yīng)力具有相當(dāng)?shù)臄?shù)量級．

圖12 渦量在不同位置上的對比Fig.12 Comparison of vorticity at different positions

3 結(jié) 論

本文應(yīng)用Floquet理論，討論了振蕩流底層擬序結(jié)構(gòu)特征．通過理論分析和數(shù)值計算，得到如下結(jié)論.

(1) 對稱振蕩流由于在邊界層內(nèi)流速在一個時間周期內(nèi)，可以分成2個方向相反幅值相同的運動過程．這樣就造成了振蕩流失穩(wěn)有成對的特征值，它們具有相反的實部和相同的虛部，其實部表明了它們相反的傳播方向，而虛部則表明了它們共同的穩(wěn)定性特征．

(2) 從圖2中的3條等值線可以看出，在波數(shù)較小的范圍內(nèi)，中性曲線向大雷諾數(shù)方向彎曲，三維等值線較散．而隨著波數(shù)的增長，中性曲線慢慢達到雷諾數(shù)最小處，然后又繼續(xù)向大雷諾數(shù)方向發(fā)展，在這個過程中，等值線一直比較緊湊．

(3) 與平面Poiseuille流相同，振蕩流的三維Orr-Sommerfeld方程也可以經(jīng)過類似于Squire變換變成二維形式的方程．同時也可以證明在二維波數(shù)與三維流向波數(shù)、展向波數(shù)滿足Squire變換的條件下，二維擬序渦首先出現(xiàn)．

(4) 擾動流速在底部都為零，隨著水深的慢慢增加，在一定高度范圍內(nèi)都出現(xiàn)了幅度小而波長短的振蕩，這種振蕩幅值和波長隨著距離底部的距離加大而加大，在距離底部約10δ ～30δ 的范圍內(nèi)達到峰值，并在繼續(xù)加大距離后逐漸趨于零．

(5) 雷諾應(yīng)力的分布情況基本與擾動流速類似，也在距離底部不高的地方出現(xiàn)了振蕩，這種振蕩在高度為30δ 的范圍內(nèi)達到峰值．從各雷諾應(yīng)力分量的對比可以看出，由于受到壁面邊界的影響，流向和展向上的雷諾應(yīng)力明顯比縱向上的雷諾應(yīng)力大．

(6) 渦量的幅值也有從底部向水面逐漸增加達到峰值后逐漸減少的過程，逐漸趨于零的速度類似于雷諾應(yīng)力，而快于擾動流速．對比3個方向上的渦量，發(fā)現(xiàn)其流向上的幅值最大，而在展向上最小，縱向上結(jié)構(gòu)復(fù)雜．

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(責(zé)任編輯：田 軍)

Theoretical Model of Coherent Structure of Oscillatory Flow in Wave Boundary Layer

Chen Hanbao1，Xu Haijue1,2，Bai Yuchuan1,2
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

The coherent structure in the turbulence is a kind of detectable, orderly motion of the fluid. It always appears as the complicated three-dimensional structure in the wall turbulence. With symmetric oscillatory flowas the object of study, a theoretical model that describes its coherent structure was established. The ranges of Reynolds numbers, the wave number of the coherent disturbance and the frequency were investigated. Moreover, the relationship between the two-dimensional disturbance and the three-dimensional disturbance, the symmetric characteristics of the coherence structure and the spatial distribution of the disturbance velocity, Reynolds stress and additional vorticity were analyzed. The results show that the characteristics of the coherent structure of the symmetric oscillatory flow not only are related to such factors as Reynolds number, but also are closely related to the oscillatory frequency.

oscillatory flow；coherent structure；stability characteristics

O353.2

A

0493-2137(2014)03-0267-09

10.11784/tdxbz201212002

2012-11-30；

2013-02-04.

國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金資助項目(51021004)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51279124，50809045，51009105)；天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室開放基金資助項目.

陳漢寶（1971— ），男，博士研究生，chenhanbao@163.com.

徐海玨，xiaoxiaoxu_2004@163.com.