鐘 森 夏 威 何子述

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相位噪聲對時差估計的影響分析

鐘 森 夏 威*何子述

(電子科技大學電子工程學院 成都 611731)

在到達時間差(TDOA)測量中，兩異地接收站所配備的本振都會存在相位噪聲，該相位噪聲會影響時差測量的性能。該文分析了相位噪聲對經(jīng)典的互相關法時差估計無偏性的影響，同時推導了僅考慮相位噪聲時TDOA估計精度的克拉美羅下限(CRLB)。并進一步得到了相位噪聲與加性噪聲都存在時的CRLB及其相對于加性噪聲環(huán)境下的CRLB退化系數(shù)。仿真結果驗證了理論分析的結果。

信號處理；到達時間差(TDOA)；相位噪聲；克拉美羅下限(CRLB)；互相關法

1 引言

時差測量廣泛應用于雷達、聲吶、語音增強等信號處理領域。時差測量有很多種方法，如文獻[1-5]等，但這些方法一般都假設用于時差測量的接收機是理想的接收機，接收機內部不會對接收到的信號間的時差關系產(chǎn)生影響。在高精度時差測量中信號非理想接收是不得不考慮的問題。為了具體說明非理想接收對時差測量的影響，本文著眼于輻射源信號到達兩異地接收站的到達時間差測量，輻射源信號經(jīng)過接收機內部的混頻、采樣等處理得到的觀測信號間的時差關系將會受到兩異地接收機內混頻頻率一致性誤差、采樣頻率一致性誤差、相位噪聲等非理想因素的影響。

接收機內部的混頻、采樣等所需的時鐘通常都來自于本地系統(tǒng)時鐘，兩不同接收機中系統(tǒng)時鐘雖然標稱頻率相同，但其實際工作頻率總會與標稱頻率存在偏差，且由于兩系統(tǒng)時鐘的各自獨立運行，其各自的頻率偏差也是不相同的。針對這樣的情況，文獻[6-8]分析了時鐘頻率相位誤差對時差測量或時延估計的影響并給出了其解決辦法，但是關于系統(tǒng)時鐘的相位噪聲對時差測量的影響分析，卻很少有文獻討論該問題。直到2012年瑞典國防研究院(Swedish Defense Research Agency)的研究人員在文獻[9]中用實驗證實了相位噪聲對時差測量的影響，并提出了利用非相干數(shù)據(jù)融合(Incoherent Data Fusion, IDF)的方法來減小相位噪聲對時差測量的影響。雖然該文獻提出了減小相位噪聲對時差測量影響的方法，但是相位噪聲對時差測量影響有多大并沒有從理論上給出詳細的分析。

為了從理論上分析清楚相位噪聲對時差測量的影響，本文分析相位噪聲對經(jīng)典相關法[1]時差估計無偏性的影響，并給出了相位噪聲下時差估計精度的克拉美羅下界(Cramér-Rao Lower Bound, CRLB)，并與加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise, AWGN)下時差估計的CRLB進行比較，在相位噪聲與加性噪聲下CRLB相同的準則下，得出了相位噪聲功率與加性噪聲功率間的等效關系式，通過這一關系式可以直接計算出該相位噪聲對應多大加性噪聲對時差測量的影響，以便在系統(tǒng)設計時方便時鐘器件的選擇以及時差測量精度的分析。在此基礎上，本文進一步推導得到了相位噪聲與AWGN同時存在時的時差估計CRLB，以及該CRLB相對AWGN環(huán)境下的CRLB間的退化系數(shù)閉式表達式。通過相位噪聲與AWGN都存在時的CRLB表達式，可以更準確地分析時差測量的理論精度。通過退化系數(shù)表達式，可以計算出系統(tǒng)所選用的時鐘器件會對時差測量精度造成多大的影響。另外，這些理論分析結果也可以幫助工程人員按照時差測量精度指標選定系統(tǒng)時鐘。本文也給出了在典型時差估計方法下的仿真結果，通過比較該仿真結果與理論分析結果，進一步說明了本文理論分析結果的適用范圍。

2 相位噪聲下時差測量模型

3 相位噪聲對相關峰的影響

傳統(tǒng)的時差測量通常通過搜索兩路接收信號相關峰所對應的時延位置來測量時差[1]，本段通過在相位噪聲出現(xiàn)時推導相關函數(shù)的表達式來考察相關峰是否受到影響以及受到怎樣的影響。在信號模型式(2)下，兩觀測信號的相關函數(shù)為

由維納過程的平穩(wěn)獨立增量過程特性及增量服從高斯分布的特性，并利用高斯概率密度函數(shù)的積分等于1的性質得到結論：

4 相位噪聲下時差估計的CRLB

第3節(jié)討論了在相位噪聲下時差估計的均值性能，本節(jié)將討論時差估計的均方誤差(Mean Square Error, MSE)性能，也即是時差測量的精度。對于無偏估計精度的理論極限通常采用CRLB來進行描述，下面給出了其具體的推導過程與結論。

在相位噪聲環(huán)境下時差估計的CRLB推導中，暫不考慮加性噪聲，對觀測數(shù)據(jù)模型式(2)，取相角得到

圖1 不同相位噪聲功率下的指數(shù)調制函數(shù)初始時刻的值

這里

定義矢量

根據(jù)先前的無噪信號確定性假定與維納相位噪聲假定，建立最大似然函數(shù)式(21)為

由式(22)、式(23)與式(25)，推導得到

這里

于是得到乘性相位噪聲下時差估計的CRLB為

5 相位噪聲與加性噪聲下的CRLB

在加性噪聲模型下，時差估計的CRLB為[16]

在信號數(shù)據(jù)足夠長的情況下近似為

且進一步假定兩觀測信號的相位噪聲功率相同(在選用同型號同批次的本振，這個條件可近似滿足)，加性高斯白噪聲的功率也相同(這個條件在接收機軟硬件系統(tǒng)相同時也可近似滿足)，根據(jù)式(28)與式(29)可分別得到乘性相位噪聲環(huán)境與加性高斯白噪聲環(huán)境下的CRLB為

由式(34)等于式(35)得到

也即是相位噪聲的方差與加性高斯白噪聲的方差滿足式(36)時，其分別單獨作用下的時差估計的CRLB相同。由于無法直接推導相位噪聲與加性噪聲同時作用下的CRLB，這里利用等效關系式(36)，將相位噪聲的功率等效為加性噪聲后進行相位噪聲與加性噪聲同時作用下的CRLB等效計算，由于相位噪聲與加性噪聲相互獨立，所以其共同作用時的等效加性噪聲功率為

于是等效的CRLB為

從而可以用式(38)來確定在一定相位噪聲功率與加性噪聲功率下時差估計的理論精度下限以指導時鐘器件的選擇以及系統(tǒng)時差測量指標的確定等。

相位噪聲與加性噪聲同時存在下的CRLB與僅存在加性噪聲下的CRLB間的關系可寫為

為了直觀的說明式(38)給出的CRLB及式(40)給出的退化系數(shù)，這里采用零中頻FM信號(基帶未解調FM信號)來進行數(shù)值試驗，以展示CRLB與相位噪聲功率及AWGN噪聲功率的關系。試驗中零中頻FM信號由式(41)產(chǎn)生

圖2給出了在相位噪聲與加性高斯白噪聲環(huán)境下的CRLB，可見在加性噪聲功率不變時，相位噪聲功率越大，時差估計的CRLB越大，而在相位噪聲功率不變時，加性噪聲功率越大時差估計的CRLB越大。

表1不同時差測量精度對相位噪聲功率的要求

時差測量的RMSE (單位：ns)100200400800 (單位：rad)0.00360.00740.01480.0296

6 仿真比較

為了直觀的展示相位噪聲對時差估計的影響，這里仿真了僅存在相位噪聲下的時差估計與僅存在加性噪聲下的時差估計。圖4繪制了根均方誤差(Root Mean Square Error, RMSE)相等時相位噪聲與加性噪聲功率等效關系曲線；該圖同時給出了單獨考慮相位噪聲(此時不考慮AWGN)與AWGN(此時不考慮相噪)時，獲得相同CRLB，所對應的相位噪聲功率與AWGN功率間的關系。如圖4所示，在高SNR條件下(AWGN功率較小時)，相關峰搜索法仿真結果與CRLB的理論預測結果更為接近；而在低SNR條件下(AWGN功率較大時)，仿真結果明顯偏離了CRLB理論預測結果。這一現(xiàn)象也反映了CRLB在SNR較高時能較好地描述估計精度的理論下限，而在SNR較低時CRLB并不是一個緊的下界。

圖2 CRLB與相位噪聲及加性高斯白噪聲間的關系

圖3 不同相位噪聲功率下的CRLB退化系數(shù)

圖4 相位噪聲與加性噪聲功率等效對應關系

圖5 時差估計的均值性能

圖6 時差估計的RMSE與理論下限

從圖6可以看出在僅存在加性噪聲時RMSE的理論下限最小，隨著相位噪聲功率的增大，當SNR大于一定門限時RMSE理論下限幾乎不再隨SNR的增大而減小，并且該SNR門限會隨著相位噪聲功率的增大而減小。利用相關法估計時差的仿真結果也有類似的變化規(guī)律，且相關法時差估計仿真結果的RMSE在無相位噪聲時與理論下限最靠近(SNR大于一定門限的情況下)，而在相位噪聲出現(xiàn)時與理論下限間的距離變大2)。同時圖6也反映了時差估計的RMSE與理論下限在高SNR環(huán)境下更接近的特點，這與圖4中相位噪聲功率與加性噪聲功率較小時仿真結果與理論分析結果相對更接近的結論一致。

7 結束語

本文針對時差測量系統(tǒng)中時鐘器件的相位噪聲對時差測量的影響進行了理論分析，給出了時變的乘性相位噪聲對時差估計準確度的影響，推導了時差估計精度的理論極限，并根據(jù)相位噪聲與AWGN單獨作用下的時差估計CRLB相等反推得到相位噪聲功率與AWGN功率間的等效關系，并根據(jù)該等效關系得到相位噪聲與AWGN都存在時的CRLB及其相對于AWGN環(huán)境下的CRLB的退化系數(shù)。并且通過典型算法的仿真結果與理論分析結果比較說明了理論分析適用范圍。本文所得到的相位噪聲與AWGN都存在情況下時差估計的CRLB可以用來評估不同時差估計算法性能的優(yōu)劣，退化系數(shù)可以用來評估相位噪聲對時差測量的具體影響，而相位噪聲與AWGN功率等效對應關系可以在時差測量系統(tǒng)設計時用來指導時鐘源器件的選擇。

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鐘 森： 男，1984年生，博士生，研究方向為時差測量與輻射源定位等.

夏 威： 男，1980年生，博士，副教授，碩士生導師，研究方向為自適應及陣列信號處理、雷達信號處理等.

何子述： 男，1962年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為MIMO雷達、相控陣雷達信號處理等.

2)這是因為在AWGN環(huán)境下相關法時差估計是最優(yōu)估計[1]，而當相位噪聲出現(xiàn)時，相關法時差估計不再是最優(yōu)估計。

Analysis of the Effect of Phase Noise on Time Difference Estimation

Zhong Sen Xia Wei He Zi-shu

(,,611731,)

In the Time Difference Of Arrival (TDOA) measurement system, the performance of time difference estimation degrades due to the inevitable presence of phase noises of local oscillators at spatially separated receivers. The effect of the phase noise on the unbiasedness of classic cross-correlation time difference estimator is discussed herein, as well as the Cramér-Rao Lower Bound (CRLB) of estimation is derived in the phase noise environment. Furthermore, the CRLB of time difference estimation in additive noise environment with phase noise considered is derived. The CRLB degradation coefficient with respect to the CRLB in the additive noise environment is also given. The theoretical analysis is validated by the simulation results.

Signal processing; Time Difference Of Arrival (TDOA); Phase noise; Cramér-Rao Lower Bound (CRLB); Cross-correlation method

TN911.7

A

1009-5896(2014)11-2614-07

10.3724/SP.J.1146.2013.01909

夏威 wx@uestc.edu.cn

2013-12-06收到，2014-04-15改回

國家自然科學基金(61101173)資助課題