錢有成
作為一個活動的理論、建構(gòu)的理論、發(fā)展的理論,皮亞杰認知發(fā)展理論深刻地描述了認知發(fā)生、發(fā)展的過程,分析了影響認知發(fā)展的因素和促進認知發(fā)展的動力。它揭示了人類認識世界、發(fā)展認知的心理機制,為教育教學研究提供了豐厚的心理學基礎(chǔ)。同時,從皮亞杰對認知發(fā)生、發(fā)展的生動分析中,我們看到,皮亞杰認知發(fā)展理論用建構(gòu)的觀點探討認知的發(fā)展,尤其強調(diào)活動在認知發(fā)展和知識建構(gòu)中的作用。本文以《三角函數(shù)的周期性》教學為例談?wù)劯咧袛?shù)學概念教學。
一、提供積累,感知概念
從認知出發(fā),人概念是圖式存在于人的大腦中,我們通過實例進行激活抽象,使學生獲得感知。
在“三角函數(shù)的周期性”教學時,可先設(shè)計以下方式引入課題:
情境1:從2013年12月份的日歷上可以看出,12月9日是周一,再過7天,16日還是周一,再過7天,23日還是周一……
情境2:單位圓上的點轉(zhuǎn)動一圈以后回到了原來的位置。
問題:你能舉出數(shù)學中某些現(xiàn)象重復出現(xiàn)的例子嗎?
學生可以根據(jù)前階段學習的誘導公式的特點,回答出三角函數(shù),三角函數(shù)線。
問題:我們以正弦函數(shù)為例,怎樣解釋這種周而復始的現(xiàn)象呢?
學生1:sin30°=sin150°。這個回答是筆者沒有預想到的。
課堂上,學生的深思頓悟、靈機一動,節(jié)外生枝和思維的遇阻、疏忽大意等等,都可能催生出一個個鮮活的教學資源,為創(chuàng)設(shè)智慧、高效課堂帶來可能。為學生的學習創(chuàng)設(shè)了預知不得,欲罷不忍的學習情境,激發(fā)了學生的探究積極性,課堂氣氛又活躍了起來。
學生2:當角α的終邊轉(zhuǎn)動2π,就會重合,三角函數(shù)值也相等。
這是學生從形的角度刻畫了三角函數(shù)的“周而復始”的現(xiàn)象,筆者繼續(xù)追問:把你這句話用表達式寫出來是什么樣的呢?
學生2:sin(x+2π)=sinx。
這樣我們就很自然的聯(lián)想到之前學習的三角函數(shù)的誘導公式,讓學生很輕松愉悅地接受了正弦函數(shù)的周期現(xiàn)象,也為接下來推導余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期作鋪墊。
二、同化順應(yīng),概括概念
在數(shù)學概念教學中,我們通過比較分析、抽象概括等同化順應(yīng)活動,讓學生獲得對數(shù)學概念的認同。
如:“三角函數(shù)周期性”概念教學中,如果某函數(shù)f(x)每間隔2個單位,函數(shù)值重復再現(xiàn),如何用符號語言表示?引導學生得出f(x+2)=f(x)。
追問:如果某函數(shù)f(x)每間隔7個單位,函數(shù)值重復再現(xiàn),如何表示?
引導學生得出f(x+7)=f(x)。
教師通過前面特殊情況的分析,逐漸引導學生感受“周而復始”的特征,從而慢慢引入數(shù)學概念。
三、提供變式,抽象本質(zhì)
隨著學生對概念的不斷積累,我們將概念進行不斷深化,抽象出精確的形式。在“三角函數(shù)的周期性”教學時:是不是只有三角函數(shù)才有周期性?我們是否可以給一般的周期性函數(shù)下一個定義呢?
該問題的設(shè)置意圖,要求學生能從現(xiàn)有的材料中概括出本質(zhì)特征,并把本質(zhì)特征用精當?shù)臄?shù)學語言加以描述。概括是數(shù)學概念形成的重要過程,所以教學設(shè)計中必須為學生的概括做好鋪墊。這個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點也是難點。教師不能急于求成,要傾聽學生的心聲,要營造民主、平等、寬容的課堂教學氣氛,把握學生的解惑需求,對于學生的回答,要及時加以辨別,作出正確的判斷,并因勢利導,給學生探究的時間和空間,這樣會使后面的教學更深入,更有價值。
定義中關(guān)鍵詞有哪些?這些關(guān)鍵詞你感覺熟悉嗎?之前的學習中哪里遇見過?
設(shè)計意圖是為了讓學生更深入理解定義的內(nèi)涵,把握判斷函數(shù)周期性的關(guān)鍵,并聯(lián)系之前學過的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,更好地理解周期性的定義。這個環(huán)節(jié)把握的程度可以從接下來課件中判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)反映出來。
思考:y=3是周期函數(shù)嗎?
學生的反映并沒有預想的好,問題出在了哪里?是概念理解不清,還是符號不能準確轉(zhuǎn)換?筆者課后作了學生調(diào)查,結(jié)果顯示,學生不能把y=3和f(x)=3聯(lián)系起來,更找不出f(x+T)=f(x)中的T的值,感覺不存在。該問題的設(shè)計意圖是想說明不是所有函數(shù)都有最小正周期,但是反映出來的是學生對函數(shù)概念的不理解。給我們留了思考,函數(shù)的概念教學是否到位呢?學生不能真正透徹理解函數(shù)的概念,個人覺得這是教學中的失敗。但是很多問題不是一兩節(jié)課能解決的,如果再次講授這節(jié)課,這個環(huán)節(jié)肯定刪除。
四、深化運用,鞏固概念
我們只有把數(shù)學概念和生活實踐聯(lián)系起來,才能運用發(fā)展數(shù)學,體現(xiàn)數(shù)學的永恒價值,這節(jié)概念課配備了如下的例題:
[例1]若鐘擺的高度h(mm)與時間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示。
(1)求該函數(shù)的周期;
(2)求t=10s時鐘擺的高度。
師組織學生圍繞以下問題展開討論:
問題1:周期函數(shù)的圖像具有什么特征?
問題2:能否根據(jù)周期性找到t=10s時鐘擺的高度?
[例2]求函數(shù)y=cos2x的周期。
思考:自編一道三角函數(shù)題,請同座位思考是否為周期函數(shù)?若是周期函數(shù),周期是多少?若不是周期函數(shù),請說明理由。
該問題的設(shè)計意圖是想讓學生能夠感受到自己是課堂的主人,是學習活動中自由的“生命體”。但是由于學生的層次比較低,這個環(huán)節(jié)在具體實施過程中很難推進,不能體現(xiàn)有效性,給的3分鐘的時間不能完成布置的任務(wù),筆者表示很遺憾。這個環(huán)節(jié)的不成功,使得接下來的y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ都是常數(shù),A≠0,ω>0)的周期的概括和推導就不能順利的進行。當然,課堂教學過程本身就是一個“精心預設(shè)”與“動態(tài)生成”和諧統(tǒng)一的過程。備課首先應(yīng)該先備學生,教師應(yīng)熟悉學生的認知水平和學習的薄弱之處,要換位思考,真正從學生的角度審視問題。針對這個問題,筆者認為,概念的教學是一個值得繼續(xù)探究的過程,是要貫穿在平時的教學過程中,潛移默化地去發(fā)展學生的思維的過程,是一個長遠的過程。如果再上一次,我想把這個問題改成例題,直接改為:求下列函數(shù)的周期:
(1)
(2)
(3)
(4)y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ都是常數(shù),A≠0,ω>0)
這樣的改動,和原先的問題設(shè)置相比,顯然教師的主動性高于學生。
總之,概念教學是數(shù)學“雙基”教學的重要組成部分,學好數(shù)學概念是學習數(shù)學知識的重要前提,學生對數(shù)學概念掌握與理解的程度,直接影響到其它數(shù)學知識的學習。
【參考文獻】
[1] 皮亞杰. 發(fā)生認識論原理[M]. 商務(wù)印書館,1996.
[2] 張奠宙. 數(shù)學教育研究導引[M]. 江蘇教育出版社,1998.
(作者單位:江蘇省興化市楚水實驗學校)