銀光球，林述溫，張 寧

（1.福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福建 福州 350108；2.福建工程學(xué)院 機械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350108）

單斗反鏟液壓挖掘機主要是以一個鏟斗進行挖掘作業(yè)的工程機械，它由反鏟裝置、上部轉(zhuǎn)臺和行走裝置三大部分組成.其中反鏟裝置的受力十分復(fù)雜，其動力學(xué)模型屬于多體系統(tǒng)動力學(xué)研究范疇，包括動力學(xué)正解和逆解的計算，它可為機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計及控制提供理論依據(jù)［1－3］.典型的動力學(xué)研究方法主要有Lagrange法、Newton－Euler法、Kane法以及變分法等.其中基于虛功原理的Lagrange法是以系統(tǒng)的動能和勢能建立的，其推導(dǎo)過程比較簡便，并且總能得到形式較為簡潔的動力學(xué)方程，既能用于系統(tǒng)動力學(xué)模擬，又能用于動力學(xué)控制，而且還能清楚地表示出各構(gòu)件的耦合特性.白志富等［4］利用Lagrange法討論了一種3－HSS并聯(lián)機構(gòu)在工作空間內(nèi)的動力學(xué)方程，得出了其顯式解，并結(jié)合實例對各滑塊的驅(qū)動力進行了計算機仿真.陳純等［5］采用Lagrange方法建立了VC80混聯(lián)機床兩自由度并聯(lián)機構(gòu)封閉形式的逆動力學(xué)模型.高征等［6］采用Lagrange法對一種三自由度串并聯(lián)旋轉(zhuǎn)臺進行了動力學(xué)分析，建立了系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并給出了動力學(xué)的仿真運算實例.

在不考慮回轉(zhuǎn)自由度的情況下，挖掘機反鏟裝置是一個三自由度的并聯(lián)機構(gòu)，可以實現(xiàn)各種復(fù)雜的挖掘動作.孫旭國等［7］采用Newton－Euler法建立了挖掘機工作裝置的動力學(xué)模型，并結(jié)合實例對模型進行了驗證；FOX等［8］也采用Newton－Euler法建立了挖掘機系統(tǒng)動力學(xué)模型.但是采用Newton－Euler法建立多體系統(tǒng)動力學(xué)模型，需要對系統(tǒng)中的每個桿件進行運動和受力分析，分別建立Newton－Euler動力學(xué)方程，然后再綜合求解，得到系統(tǒng)的運動微分方程，整個過程繁瑣復(fù)雜，極易出錯.本文采用基于虛功原理的Lagrange法建立了挖掘機反鏟裝置的多剛體動力學(xué)模型，可以避免繁瑣的運動和受力分析過程.同時，為了驗證模型的正確性，將動力學(xué)模型的求解結(jié)果與ADAMS軟件給出的相同參數(shù)反鏟裝置的動力學(xué)仿真結(jié)果進行對比.

1 挖掘機反鏟裝置的動力學(xué)模型

1.1 反鏟裝置的動力學(xué)拉格朗日方程

挖掘機反鏟裝置由動臂機構(gòu)、斗桿機構(gòu)和鏟斗機構(gòu)組成，如圖1所示.為使問題分析簡化，去掉動臂液壓缸、斗桿液壓缸和鏟斗液壓缸，代之以隨時間變化的凈驅(qū)動力矩Ti（i＝1，2，3，…），忽略動臂、斗桿和鏟斗的具體形狀，用簡單的線條表示，將各自的等效質(zhì)量mi放置在各自的質(zhì)心位置，則反鏟裝置可以簡化為圖2所示的多桿動力學(xué)模型.

圖1 挖掘機反鏟裝置Fig.1 Excavator backhoe device

圖2中，mi為各構(gòu)件的等效質(zhì)量；θi為各關(guān)節(jié)的初始角度；li為各構(gòu)件質(zhì)心到相應(yīng)關(guān)節(jié)點的長度；βi為各構(gòu)件的質(zhì)心到相應(yīng)連桿的角度；Ti為施加在各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩；g為重力加速度.ai為各連桿的長度.

圖2 反鏟裝置動力學(xué)原型Fig.2 Dynamics model of backhoe device

根據(jù)圖2所示的動力學(xué)模型，挖掘機反鏟裝置的拉格朗日函數(shù)定義為

式中：L為拉格朗日函數(shù)為關(guān)節(jié)變量的角位移；為關(guān)節(jié)變量的角速度；為反鏟裝置所有構(gòu)件的總動能；P（Θ）為反鏟裝置所有構(gòu)件的總勢能.

則反鏟裝置的拉格朗日方程為

式中：t為時間.

1.2 計算反鏟裝置的總動能、總勢能和凈力矩

K是反鏟裝置所有構(gòu)件的總動能，可表示為構(gòu)件的平動動能和轉(zhuǎn)動動能之和.

式中：vc為構(gòu)件的質(zhì)心速度列陣，vc＝為各構(gòu)件的質(zhì)心速度；M為構(gòu)件的質(zhì)量矩陣，為構(gòu)件的角速度列陣為各構(gòu)件的角速度；I為構(gòu)件的主慣性矩陣，I＝diag為各構(gòu)件的主慣性矩.

P是反鏟裝置所有組件的總勢能，可表示為

式中：m為構(gòu)件的質(zhì)量列陣，m＝為構(gòu)件質(zhì)心高度列陣，Hc＝為各構(gòu)件質(zhì)心的高度.

T為作用在關(guān)節(jié)上的凈力矩列陣，T＝可表示為

式中：Tg為各油缸對相應(yīng)關(guān)節(jié)點產(chǎn)生的驅(qū)動力矩為動臂油缸對關(guān)節(jié)點C的力矩；Tg2為斗桿油缸對關(guān)節(jié)點F的力矩；Tg3為鏟斗油缸對關(guān)節(jié)點Q的力矩；TL為外部負載在各關(guān)節(jié)點產(chǎn)生的等效阻力矩列陣，TL＝為負載對關(guān)節(jié)點C的等效阻力矩；TL2為負載對關(guān)節(jié)點F的等效阻力矩；TL3為負載對關(guān)節(jié)點Q的等效阻力矩.

1.3 反鏟裝置的動力學(xué)模型

將式（1）代入式（2），經(jīng)推導(dǎo)得到挖掘機反鏟裝置的動力學(xué)模型：

式中：K（是K（Θ）的簡寫）為總動能；P（是P（Θ）的簡寫）為總勢能；為關(guān)節(jié)變量的角加速度.

將式（7）展開得到：

式（8）為挖掘機反鏟裝置的動力學(xué)模型，是關(guān)于關(guān)節(jié)變量Θ的二階微分方程.

2 動力學(xué)模型的求解及實例驗證

對于式（8）這個二階微分方程組的解法可參考文獻［9］，本文利用四階龍格－庫塔法進行積分運算求解.求解式（8）的初始條件見表1.表中為各關(guān)節(jié)的初始角速度，Iizz為各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量.

為了驗證本動力學(xué)模型的正確性，用ADAMS建立了挖掘機反鏟裝置的虛擬樣機，如圖3所示.

圖3 挖掘機反鏟裝置虛擬樣機Fig.3 Virtual prototype of excavator backhoe device

表1 反鏟裝置動力學(xué)參數(shù)Tab.1 Kinetic parameters of backhoe device

然后利用MATLAB軟件編寫了四階龍格－庫塔算法程序，對式（8）在一定的時間內(nèi)進行數(shù)值求解，得到在凈力矩T的作用下關(guān)節(jié)變量的角加速度、角速度和角位移Θ隨時間變化的曲線，如圖4所示.同時，為了驗證本動力學(xué)模型的正確性，以表1的參數(shù)在ADAMS中建立了挖掘機反鏟裝置的虛擬樣機，如圖3所示，以相同的凈力矩作用到相應(yīng)的關(guān)節(jié)上，進行動力學(xué)仿真計算，也得到了關(guān)節(jié)變量的角加速度、角速度和角位移Θ隨時間變化的曲線.然后將兩種曲線圖進行疊加對比，如圖4所示.

從圖4可見，由動力學(xué)模型求得的曲線與用ADAMS軟件仿真得到的曲線大致吻合，誤差都在工程允許的5%范圍內(nèi)，從而驗證了所建動力學(xué)模型的正確性和有效性.其中誤差存在的原因可能是：①動力學(xué)建模誤差；②數(shù)值求解誤差；③數(shù)字化建模誤差.

圖4 曲線比較Fig.4 Curve comparison

3 結(jié)論

（1）在分析研究挖掘機反鏟裝置動力學(xué)的基礎(chǔ)上，采用Lagrange法建立了挖掘機反鏟裝置的動力學(xué)模型，該動力學(xué)模型可以用于求解動力學(xué)正、逆問題以及正逆混合問題；

（2）用MATLAB編寫了四階龍格－庫塔算法程序，用于對動力學(xué)模型進行數(shù)值求解，得到了反鏟裝置各個關(guān)節(jié)的角位移、角速度和角加速度曲線.在ADAMS中，采用相同參數(shù)建立了挖掘機反鏟裝置的虛擬樣機，在各個關(guān)節(jié)上加載相同的負載和驅(qū)動力矩進行動力學(xué)仿真，也得到了反鏟裝置各個關(guān)節(jié)的角位移、角速度和角加速度曲線.然后，將相應(yīng)曲線進行疊加對比，發(fā)現(xiàn)通過動力學(xué)模型求得的曲線與仿真得到的曲線基本吻合，誤差都在5%以內(nèi)，從而驗證所建動力學(xué)模型的正確性和有效性.

（3）挖掘機反鏟裝置動力學(xué)模型是反鏟裝置實現(xiàn)自動控制、軌跡規(guī)劃以及優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)，同時動力學(xué)模型還可求解反鏟裝置在各種負載、運動狀態(tài)下的運動副動反力，作為挖掘機反鏟裝置結(jié)構(gòu)設(shè)計和分析的依據(jù)，對提高國產(chǎn)挖掘機的設(shè)計水平具有重要的意義.

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