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一種場強測定的數(shù)值計算方法

2014-05-25 00:35繆佳佳周天和
關(guān)鍵詞:剖分樣條場強

繆佳佳,周天和

(1.浙江省中波發(fā)射管理中心,杭州310012;2.浙江理工大學理學院,杭州310018)

一種場強測定的數(shù)值計算方法

繆佳佳1,周天和2

(1.浙江省中波發(fā)射管理中心,杭州310012;2.浙江理工大學理學院,杭州310018)

提出了一種場強測定的算法,利用已知的場強數(shù)據(jù),計算未知區(qū)域的場強的函數(shù)分布。通過已測定的場強數(shù)據(jù)的位置去構(gòu)造相應(yīng)的三角網(wǎng)格,在每個三角網(wǎng)格上建立Bernstein多項式,利用最小化能量函數(shù)的方法,確定Bernstein基函數(shù)的B系數(shù),從而確定整個場強的函數(shù)分布。通過浙江省35個測定點某一頻率覆蓋區(qū)域內(nèi)場強的實際接收情況檢測及進行模擬計算,結(jié)果表明該算法是可行。它可以為廣播頻率的設(shè)計、發(fā)射機功率的確定以及臺站位置的規(guī)劃提供參考。

Bernstein基;能量函數(shù);樣條函數(shù);場強分布函數(shù)

0 引 言

場強是描述電場性質(zhì)的基本物理量,中波以地面?zhèn)鞑橹?,在傳播過程中受到傳播路徑上土壤和障礙物的阻擋、吸收而衰減。要及時了解節(jié)目的覆蓋效果、收聽質(zhì)量,場強收測就顯得至關(guān)重要,它為廣播頻率的設(shè)計、發(fā)射機功率的確定以及臺站位置的規(guī)劃提供真實可靠的數(shù)值依據(jù)。但事實上,待測場強的區(qū)域分布范圍太廣或者某些收測點的地理環(huán)境不易展開收測,此時需要通過已知區(qū)域的場強數(shù)據(jù)計算其他區(qū)域的場強數(shù)據(jù)。影響場強分布的因素有很多,所以本文選擇測定那些主要影響場強分布的區(qū)域,如地形變化比較大或者受其它電波干擾較強的區(qū)域。一般采用的方法是通過建立預(yù)測模型來確定區(qū)域內(nèi)的場強分布[1-2]。本文提出了一種場強測定算法,通過已測定的場強數(shù)據(jù)的位置去構(gòu)造相應(yīng)的三角網(wǎng)格,在每個三角網(wǎng)格上建立Bernstein多項式,利用最小化能量函數(shù)的方法,唯一地確定Bernstein基函數(shù)的B系數(shù),從而確定整個場強的函數(shù)分布。

1 數(shù)學基礎(chǔ)

假設(shè)T是一個非退化的三角形,它的頂點是vi:=(xi,yi),i=1,2,3,假設(shè)三角形的頂點按照逆時針順序排列,用T:=<v1,v2,v3>來表示這個三角形。平面上的任何一點v:=(x,y)都可以寫成如下的關(guān)系式:稱(b1,b2,b3)是點v關(guān)于三角形T的一個重心坐標。因為T是非退化的三角形,所以這個解是唯一的。根據(jù)重心坐標可以定義T上的d次Bernstein多項式:

通過排列,可以把系數(shù)轉(zhuǎn)化成向量c,其中系數(shù)cijk是向量c的一個分量。

對于給定的一個三角剖分Δ和兩個整數(shù)d≥0和0≤r≤d,用

表示定義在Δ上的d次r階光滑的樣條函數(shù)空間,

其中Pd是熟悉的維的二元d次多項式空間。由文獻[4-5]可知,當d≥3r+2時樣條函數(shù)空間(Δ)是存在的(對于特殊的剖分,這個條件可以減弱),本文假定一直滿足這個條件。由(Δ)的定義,對于s∈(Δ),則它在任意三角形T上可以表示成如下的B-形式

因此,在整個剖分Δ上樣條函數(shù)s可以寫成

這里相應(yīng)的Bernstein基定義為

2 場強計算算法

假設(shè)測定的那些場強數(shù)據(jù)地點是一個二維數(shù)值V={vi=(xi,yi)}點集,利用這組地點的點集可以構(gòu)造一個三角剖分Δ,使得點集V中的點都在這個三角剖分中的三角形頂點上。關(guān)于如何利用點集構(gòu)造三角剖分,可以參考文獻[6]。令{ei,i=1,…,n}是測定的對應(yīng)地點上的場強實值。由于場強分布是連續(xù)的,要求計算出的場強函數(shù)sE∈C1(Δ)能滿足一階連續(xù),同時要求sE(vi)=zi,i=1,…,n.因為本文要求場強函數(shù)sE能夠逼近這些給定的實值,即,如果存在某個f∈C1(Δ),有zi=f(xi,yi),那么希望sE與f能夠充分的接近。

接下來簡單介紹一下能量函數(shù)。能量函數(shù)G(s)是用來表示通過固定數(shù)據(jù)點V的彈性曲面s的一種勢能量。這種彈性曲面的勢能量可以表示為:

其中H和K分別是曲面s的平均曲率和高斯曲率,a和b是與曲面材料有關(guān)的常數(shù)[7]。特別的,

其中κ1和κ2是曲面的主曲率。如果曲面的擾度非常小,那么假設(shè)fx≈0以及fy≈0。這樣能量函數(shù)G就可以簡化成下面的形式:其中參數(shù)ω也是一個與曲面材料有關(guān)的常數(shù)[8]。簡單化處理,令a=1以及ω=0。這樣能量函數(shù)就可以表示為:

而現(xiàn)在這個形式就是文獻中常用的能量函數(shù)形式[9],也是本文將要采用的一種形式。

接下來利用最小能量法來計算這些系數(shù)。計算場強的問題可以表示成以下的數(shù)學形式:尋找一個場強函數(shù)sE∈(Δ),滿足

令f=(zi,i=1,…,n)是給定數(shù)據(jù)值組成的向量。根據(jù)Hermite插值條件表示為另一個線性系統(tǒng)I c=f,那么計算場強的問題就可以轉(zhuǎn)化為以下的帶約束的最小化問題:

利用Lagrange乘數(shù)方法,令

為一個拉格朗日函數(shù)。需要找到一個局部最小的解L(c,α,β),即:

為了解上述奇異的線性系統(tǒng),把它寫成下面的矩陣形式:

其中K是奇異矩陣。接下來利用以下迭代算法來解這個系統(tǒng)。

迭代算法:任意給定小的常數(shù)ε>0和λ(0)的初始值(一般可以選擇λ(0)=0),那么可以得到c的初始值:

依次地,利用如下迭代得到c(k),k≥2:

關(guān)于迭代算法的收斂性分析可以參考文獻[10]。

計算出了場強函數(shù)的系數(shù)c,同時就確定了場強函數(shù)。這樣任何地方(xi,yi)處的場強就可以用公式計算出來。

3 浙江省內(nèi)的場強計算

本節(jié)通過計算模擬還原浙江省內(nèi)某一頻率的場強覆蓋情況。

若浙江省擬實現(xiàn)某一頻率的同步廣播覆蓋,那么全面掌握該頻率在省內(nèi)的覆蓋情況至關(guān)重要。準確真實的場強函數(shù)分布將為發(fā)射點、發(fā)射功率的確定及調(diào)整提供數(shù)值依據(jù)。服務(wù)區(qū)內(nèi),場強已測定數(shù)值越多且越具有代表性,那么區(qū)域內(nèi)場強分布還原越真實、越準確。

假設(shè){(xi,yi,E(xi,yi),i=1,…,35}是已經(jīng)測定的浙江省內(nèi)35個主要測試地點的場強數(shù)據(jù)。令Δ是一個根據(jù)這35個主要測試地點{(xi,yi),i=1,…,35}來建立的一個三角剖分(如圖1),這里運用(Δ)這種樣條空間。需要找一個場強函數(shù)sE∈(Δ)滿足

以及其中G(s)為第二節(jié)中的能量函數(shù),可以證明存在一個唯一的解sE屬于(Δ)樣條空間。

圖1 浙江省內(nèi)的數(shù)據(jù)點以及相應(yīng)的三角剖分

最后通過計算得到了省內(nèi)場強函數(shù)sE,并利用了這個函數(shù)還原了浙江省內(nèi)的場強分布,如圖2所示。

圖2 浙江省內(nèi)場強分布

得到了場強分布函數(shù),對于區(qū)域分布內(nèi)任一點的數(shù)值,都可以通過函數(shù)的簡單計算求得。

4 總 結(jié)

本文提出了一種利用樣條函數(shù)構(gòu)造場強函數(shù)的方法,該方法采用帶約束最小能量函數(shù)的插值計算。本文不僅從數(shù)學理論上分析了該算法,而且也從數(shù)值模擬計算上實現(xiàn)了該算法。但由于浙江省內(nèi)目前無法做到同頻覆蓋,因此采用了假定數(shù)據(jù)進行數(shù)值模擬計算,但它可以為今后省內(nèi)同頻覆蓋提供理論參考。同時也可以為廣播頻率的設(shè)計、發(fā)射機功率的確定以及臺站位置的規(guī)劃提供數(shù)值計算依據(jù)。

由于地球是一個球體,因此采用二元樣條函數(shù)來進行模擬計算有它的局限性。今后的工作,將在本文的基礎(chǔ)上,適當增加構(gòu)造球面樣條函數(shù),進一步提高計算的準確性。

[1]吳洪秀.中短波廣播信號場強測量方法在實際中的應(yīng)用[J].中國無線電,2011(8):32-33.

[2]王貴金,徐蘇顯,吳晉軍.揚州中波廣播場強覆蓋收測與分析[J].視聽界廣播電視技術(shù),2012(3):47-53.

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A Numerical Calculation Method on Measurement of Field lntensity

MIAO Jia-jia1,ZHOU Tian-he2
(1.Zhejiang Province AM Transmission Management Center,Hangzhou 310012,China;2.School of Sciences,Zhejiang Sci-Tech University,Hangzhou 310018,China)

This paper proposes an algorithm on measurement of field intensity to calculate field intensity distribution function of unknown regions by known field intensity data.Specifically,it constructs corresponding triangular meshes by positions of measured field intensity data,builds Bernstein polynomials on each triangular mesh,and uses the method of minimizing energy function to determine B coefficient of Bernstein basis function,and thus determines the function distribution of the entire field intensity. Through testing and simulation calculation of actual field intensity reception of a frequency coverage area among 35 measuring points in Zhejiang Province,results indicate that this algorithm is feasible,and could provide reference for the design of radio frequency,determination of transmitter power and station location planning.

Bernstein;energy function;spline function;field intensity distribution function

O241.5

A

(責任編輯:康 鋒)

1673-3851(2014)03-0329-04

2013-11-13

國家自然科學基金項目(11201429)

繆佳佳(1981-),女,浙江杭州人,工程師,大學本科,主要從事廣播電視技術(shù)的研究。

周天和,電子郵箱:barton@zstu.edu.cn

文章編號:1673-3851(2014)03-0333-06

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