賈仁偉,鄒慶云

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具時(shí)滯微分方程形式的蛛網(wǎng)模型

賈仁偉*,鄒慶云

(湖南文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 湖南 常德, 415000)

在連續(xù)時(shí)間情形下蛛網(wǎng)模型的微分方程形式具有一定收斂性, 但實(shí)際生活中蛛網(wǎng)模型中的市場(chǎng)價(jià)格和商品數(shù)量隨時(shí)間的變化是具有時(shí)間滯后的. 本文建立了商品數(shù)量函數(shù)和商品價(jià)格函數(shù)為具時(shí)滯的微分方程蛛網(wǎng)模型, 討論了解的收斂性條件, 并運(yùn)用該模型分析了房地產(chǎn)市場(chǎng), 提出了穩(wěn)定房地產(chǎn)市場(chǎng)的對(duì)策.

時(shí)滯; 蛛網(wǎng)模型; 穩(wěn)定性; 微分方程

蛛網(wǎng)模型考察的是商品的市場(chǎng)價(jià)格和商品數(shù)量隨時(shí)間波動(dòng)的相關(guān)規(guī)律, 其能很好地解釋某些生產(chǎn)周期較長(zhǎng)的商品在數(shù)量和價(jià)格之間的相互關(guān)系. 商品價(jià)格上漲將導(dǎo)致供給增加, 而過(guò)剩的供給又將使得商品的價(jià)格下跌, 進(jìn)而使得原來(lái)該商品的生產(chǎn)者放棄生產(chǎn)該商品, 一定時(shí)間內(nèi)商品數(shù)量減少, 結(jié)果使得該商品價(jià)格逐漸上升, 如此波動(dòng)反復(fù)不斷, 最終形成蛛網(wǎng)模型長(zhǎng)時(shí)間狀態(tài)下的周期性結(jié)果. 將時(shí)間離散化, 從差分方程的角度對(duì)蛛網(wǎng)模型理論的研究可得到很多相關(guān)的結(jié)論[1—4], 本文先由連續(xù)時(shí)間條件下微分方程蛛網(wǎng)模型的穩(wěn)定性, 進(jìn)一步建立了具時(shí)滯微分方程的蛛網(wǎng)模型, 討論了解的收斂性條件, 并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了經(jīng)濟(jì)解釋, 對(duì)調(diào)控商品市場(chǎng)具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

1 模型建立

考慮時(shí)滯因素對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中某商品的影響, 作如下假設(shè):

①時(shí)間是連續(xù)變量, 商品價(jià)格、商品數(shù)量均隨時(shí)間連續(xù)變化, 且具有時(shí)滯.

②商品存在非人為消耗下的自然損耗、變質(zhì)等情況, 此類(lèi)商品在一定生產(chǎn)周期內(nèi)約定為損壞商品.

③市場(chǎng)上現(xiàn)存商品數(shù)量是由2部分組成, 一是上個(gè)時(shí)間周期內(nèi)沒(méi)消耗完剩下的商品, 二是新的時(shí)間周期內(nèi)生產(chǎn)的商品.

④商品價(jià)格的變化主要與現(xiàn)有待售商品的數(shù)量相關(guān), 這由生產(chǎn)者生產(chǎn)的商品、消費(fèi)者消費(fèi)商品及商品自身的損耗決定.

由假設(shè), 系統(tǒng)(1)此時(shí)可解釋為沒(méi)有商品損壞時(shí), 任意時(shí)刻商品數(shù)量的改變量與需求量的乘積和商品價(jià)格的改變量與供給量之積相等, 相平面上供給曲線和需求曲線在平衡點(diǎn)處有相等的斜率, 該情形為封閉型蛛網(wǎng).

2 模型斂散性的定性分析

需求量指消費(fèi)者在不同的價(jià)格下所希望能夠購(gòu)買(mǎi)的同種商品的數(shù)量, 影響它的因素有多種, 若僅考慮商品數(shù)量和價(jià)格的關(guān)系, 則表現(xiàn)為: 商品數(shù)量稀少價(jià)格就高, 商品數(shù)量越多價(jià)格就越低, 故可以假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為:

將式(2)、(3)代入系統(tǒng)(1)得到:

3 模型的解釋和應(yīng)用

常德市房地產(chǎn)的發(fā)展程度反映了該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)與人民生活水平, 近幾年來(lái), 除經(jīng)濟(jì)適用房?jī)r(jià)格漲幅不大外, 新房和二手房?jī)r(jià)格均有較大漲幅, 但長(zhǎng)期來(lái)看, 在國(guó)家宏觀調(diào)控政策下, 房?jī)r(jià)不會(huì)出現(xiàn)大幅上漲, 而是緩速平穩(wěn)上漲, 在一定范圍內(nèi)波動(dòng). 從影響房?jī)r(jià)上漲的主要因素來(lái)看, 人們不斷增加的購(gòu)房需求和開(kāi)發(fā)商投資獲利、建筑成本的增加推動(dòng)了房?jī)r(jià)的上漲, 要控制房?jī)r(jià)上漲也應(yīng)從這些因素來(lái)調(diào)控. 土地資源嚴(yán)格控制和規(guī)范出讓的制度逐步形成、開(kāi)發(fā)商獲取利潤(rùn)合理性的政策監(jiān)督、人們對(duì)因住房而購(gòu)房的剛性需求等都會(huì)在未來(lái)的某個(gè)時(shí)期使得房?jī)r(jià)維持在一個(gè)合理的范圍內(nèi).

表1是常德市江北城區(qū)2005—2012年商品房?jī)r(jià)格和待售商品房數(shù)量的數(shù)據(jù).

表1 常德市江北城區(qū)2005—2012年商品房?jī)r(jià)格和待售商品房數(shù)量

同理, 由數(shù)據(jù)(2 120, 1 125), (4 220, 1 242), …, (7 020, 2 783)計(jì)算的供給函數(shù)為:

將式(6)、(7)代入系統(tǒng)(1)得:

[1] 姜啟源. 數(shù)學(xué)模型[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 1993.

[2] 李伯德. 蛛網(wǎng)模型及其數(shù)學(xué)機(jī)理分析[J]. 蘭州商學(xué)院學(xué)報(bào), 2001, 17(5): 75—77.

[3] 王亞平. 廣州市房地產(chǎn)價(jià)格機(jī)制研究[J]. 科技資訊, 2006(6): 147—148.

[4] 蘇化梅. 微分方程形式的蛛網(wǎng)模型[J]. 云南大學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 29: 20—23.

[5] Yi TaiShan. Asymptotic Behavior of Solutions to a Class of Systems of Delay Differential Equations [J]. Acta Mathematica Sinica, English series, 2007, 23: 1375—1384.

[6] Xu Min, Chen Wei, Yi Xuejun. New generalization of the two_dimensional Bernfeld-Haddock conjecture and its proof [J]. Nonlinear Analysis, 2010, 11: 3413—3420.

The cobweb model in a time-delay differential equation form

JIA RenWei, ZOU QingYun

(College of Mathematics and Computer Science, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

The differential equation of the cobweb model has a certain convergence in the case of continuous time, but the market prices and commodity change has time-delay in real life of cobweb model. This paper established a time-delay defferential equation of the cobweb model based on the quantity and commodity price function, and which was applied the model to analyze the real estate market. Some coutermeasures for the stability of the real estate market were put forward.

time-delay; cobweb model; stability; differential equation

10.3969/j.issn.1672-6146.2014.03.002

O 175

1672-6146(2014)03-0007-04

email: 283163306@qq.com.

2014-04-11

湖南文理學(xué)院2013年大學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目

(責(zé)任編校:劉曉霞)