劉柏峰 李洪璠 丁學用

【摘要】為準確地描述聚氨酯彈性體材料屬性，進而精確地預測聚氨酯制品的力學性能，從統(tǒng)計熱力學方法和唯象法出發(fā)，采用試驗和仿真分析相結合的方法，從各種類型的材料試驗中收集數(shù)據，用若干組數(shù)據通過擬合方程，確立適合聚氨酯彈性體材料的本構關系。在聚氨酯彈性體數(shù)值分析和工程化應用中，該方法用于各種配方的聚氨酯彈性體本構關系研究均具有較好的適用性，有一定的借鑒意義。

【關鍵詞】聚氨酯;本構關系

Abstract：To accurately describe the polyurethane elastomer material properties，and accurately predict the mechanical properties of polyurethane products，starting from the statistical thermodynamic method and the phenomenological method，adoptting the method of experiment and simulation analysis，experiment data is collected from various types of material，with several groups of data by fitting equation，this paper establishs the constitutive relation that is suitable for polyurethane elastomer material.In polyurethane elastomer numerical analysis and engineering application，this method that is applied to various formulations of polyurethane elastomer constitutive relation research has good applicability，and has a certain reference significance.

Key Words：polyurethane elastomer;the constitutive relation

聚氨酯彈性體是一種主鏈上含有較多氨基甲酸酯基團的高分子合成材料，其性能主要取決于不同的異氰酸酯基團、固化劑、軟段聚合物、反應條件、相分離度以及鏈段間的相互作用等，其中某一因素的改變，將使聚氨酯性能隨之發(fā)生改變[1]。在對各種配方制成的彈性體進行力學性能試驗時發(fā)現(xiàn)，當聚氨酯彈性體承受較小的變形時，每種變形相對應的應力可以從傳統(tǒng)的彈性分析中得到較好的近似，可以將其本構關系作為線性進行處理。但是在較大的變形情況下，聚氨酯彈性體具有典型的材料非線性，線性化的處理方法將導致計算精度的較大誤差，不利于我們較為精確地預測聚氨酯制品的真實性能。因此，為準確地描述聚氨酯彈性體的特性，需要用應變能密度函數(shù)來表征其材料的非線性彈性行為。

1.聚氨酯彈性體的物理力學性能

聚氨酯彈性體具有橡膠類材料所共有的不可壓縮或近似不可壓縮的特性。在復雜的應力狀態(tài)下，聚氨酯彈性體各個方向產生明顯的變形，但是其總體積保持不變，利用這個特性對其各向變形加以限制，則不僅可以承受巨大載荷，還能充分發(fā)揮良好彈性的優(yōu)點，這也是將聚氨酯彈性體應用于新型隔振產品的基礎。

對于聚氨酯材料的性能，劉曉華對其耐熱性能的影響因素進行了分析[2]，朱金華對聚氨酯彈性體的結構及動態(tài)力學性能進行了研究[3]，趙菲對其力學性能的影響因素進行了研究[4]。

鑒于聚氨酯彈性體優(yōu)良的綜合性能，本文對聚氨酯的材料配方進行了一系列研究，得到了滿足隔振元件性能要求的聚氨酯彈性體材料配方，根據該配方制備了標準聚氨酯彈性體試樣，試樣尺寸符合相應國家標準[5-6]，對上述標準試件進行了拉伸、壓縮應力應變性能的測定，試驗過程中嚴格按照標準規(guī)范操作流程，部分試驗結果如表1和表2所示。

2.超彈性材料的本構模型

2.1 基于統(tǒng)計理論的本構模型

最初成功地將統(tǒng)計理論應用于處理橡膠問題的是Kuhn，他導出了彈性模量和鏈的分子量之間的關系，但他沒有將這一應力應變的關系式推廣到大應變問題上去。Treloar將高斯統(tǒng)計理論應用于一種簡單的長鏈分子網絡模型[7]，得到了形式為的應變能密度函數(shù)，其中是Cauchy-Green應變張量的第一不變量，是橡膠材料常數(shù)。Treloar通過對含有8%硫磺的硫化橡膠進行試驗得出，在小變形范圍內，該函數(shù)可以較好地擬合單向拉伸試驗，但是在大變形時，理論和試驗相差較大。盡管如此，該本構方程提供了認識不同類型應變下應力應變曲線之間關系的基礎，這種能處理任何類型應變的能力，是統(tǒng)計理論的突出功績之一，對大彈性變形研究的發(fā)展產生了巨大的影響。

2.1.1 Arruda-Boyce本構模型

Arruda[8]等人通過模擬單軸拉伸試驗，建立了Arruda-Boyce應變能密度函數(shù)，研究表明，該函數(shù)適用于全應變范圍以及大應變時硬化的條件，但不適用于雙軸拉伸試驗。其表達式為：

其中：

N為單位體積內的總鏈數(shù)。該模型也叫做eight-chain模型，的值由熱力學統(tǒng)計方法得出，代表初始的剪切模量即。表示鎖死應變，出現(xiàn)在應力應變曲線最陡峭的地方，初始的體積模量為。Kaliske和Rothert的研究表明，這種體積應變能表達式適用于大部分工程彈性材料。

2.1.2 Van Der Waals本構模型

該模型定義的應變能密度函數(shù)為[9]：

其中：

是初始剪切模量，是保持伸長量，是整體相互參數(shù)，是不變混合參數(shù)，值控制壓縮特性，這些參數(shù)都是溫度函數(shù)。分別是第一、第二偏應變不變量。可以得到初始剪切模量及體積模量為：

基于統(tǒng)計熱力學的這種方法一般用來解決橡膠分子網絡的統(tǒng)計學長度、排列方向和結構，但是對于更大的應變范圍存在不足，Shaw和Young指出這種統(tǒng)計學理論只適用于大約50%的應變[10]。

2.2 基于唯象理論的本構模型

為了得到超彈性材料一般性質的更為精確的數(shù)學表達式，可以借助“唯象”的處理方法，這是一種基于數(shù)學推理的方法，目的是尋找描述超彈性材料性質的最普遍或最簡單的途徑。唯象理論假定超彈性材料在未變形狀態(tài)下是各向同性的，聚合物結構的長鏈分子的排列方向是無規(guī)律的，承受拉伸時會使其分子朝著拉伸方向校正排列方向，因此，假設在變形過程中各向同性仍然是有效的。此外，由于超彈性材料的體積彈性模量非常高，因此可假定材料具有不可壓縮性。該方法構造了描述超彈性材料性能的力學框架，可以不考慮其微觀結構或分子概念而解決應力分析和應變分析問題[11]。

2.2.1 Polynomial本構模型

多項式形式的應變能密度函數(shù)是常用的形式之一，該方程的表達式為[12]：

式中是多項式階數(shù)，為同溫度有關的材料參數(shù)，表示材料的可壓縮程度。分別為第一、第二偏應變不變量，，表示變形后與變形前的體積比?？梢缘玫匠跏技羟心Ａ考绑w積模量為：。當時，此本構方程即Mooney-Rivlin方程，其表達式為：

如果函數(shù)中所有，則得到Reduced Polynomial本構模型：

2.2.2 Ogden本構模型

Ogden應變能密度函數(shù)的表達式為[13]：

其中和R同溫度有關，可以看作是材料參數(shù)，數(shù)值由試驗確定;，表示變形后與變形前的體積比，冪指數(shù)是能擬合完全非線性試驗數(shù)據的任意實數(shù)。Ogden把上述公式應用到單向拉伸、等比雙軸拉伸和純剪切等試驗數(shù)據上，對單向拉伸和純剪切試驗，采用二項的Ogden公式，除（下轉第76頁）（上接第57頁）非在非常大的應變下出現(xiàn)顯著的偏差，吻合程度較好。

2.2.3 Reduced Polynomial本構模型

該方程的表達形式為：

其中N是材料參數(shù)，是同溫度有關的材料參數(shù)。為第一偏應變不變量?？梢缘玫匠跏技羟心Ａ考绑w積模量為：。當時，該本構方程即Neo-hookean方程，函數(shù)表達式為：

當時，該本構方程為Yeoh方程[14]，函數(shù)表達式為：

3.聚氨酯彈性體本構關系的確立

數(shù)值分析的精度是與輸入的材料數(shù)據直接相關的，而材料數(shù)據應該來自一組獨立的試驗。聚氨酯彈性體基礎試驗的目的，是滿足隔振產品建模及性能分析過程中材料非線性數(shù)學模型的輸入要求[15]。為全面描述材料的非線性本構關系，獲得較為精確和穩(wěn)定的材料模型，必須對聚氨酯彈性體進行一系列基礎試驗，如果只進行單一類型的材料基礎試驗，通過該應變狀態(tài)來確定材料的本構模型，那么當此模型用于其它無關的應變狀態(tài)時，將會產生較大的偏差[16]。理想的做法是，從各種類型的獨立試驗中收集數(shù)據，用若干組數(shù)據通過回歸方程，進而確立適合該種材料的本構模型。

基于ABAQUS有限元程序的材料評估模塊，運用不同的應變能密度函數(shù)對試驗得到的應力應變數(shù)據進行擬合。將擬合出的函數(shù)曲線與試驗測試數(shù)據進行對比分析，考查兩者的一致性，如果擬合出的應力應變曲線變化趨勢與試驗數(shù)據吻合較好，則表明該本構模型可以較為精確地描述材料的力學性能;當兩者變化趨勢相差較大時，則該模型不適合用于描述聚氨酯彈性體的力學性能，應對其他應變能密度函數(shù)擬合試驗數(shù)據的誤差進行分析，最終確定聚氨酯彈性體的本構模型。

分別運用各種本構模型，對單軸壓縮和單軸拉伸試驗數(shù)據進行擬合，擬合結果表明，在聚氨酯彈性體應變范圍以內，多項式本構模型的二階模型較好地描述了實際的試驗應力應變情況，試驗數(shù)據擬合本構方程情況如圖1、2所示。因此，選用多項式本構模型的二階模型，來描述該配方聚氨酯彈性體的本構關系。

圖1 多項式本構模型擬合試驗數(shù)據

圖2 Ogden（N=6） 和多項式本構模型擬合拉伸試驗數(shù)據

4.總結

按照材料配方制備了聚氨酯彈性體啞鈴狀和圓柱體試樣，根據相應試驗標準，對彈性體試件進行了拉伸和壓縮性能試驗，獲得了能夠較為準確描述聚氨酯彈性體力學性能的實驗數(shù)據。采用試驗和仿真分析相結合的方法，結合連續(xù)介質力學理論和統(tǒng)計熱力學理論，深入研究各種本構模型應用于聚氨酯彈性體的適用性，最終確定能夠良好描述其材料性能的本構模型。在聚氨酯彈性體數(shù)值分析和工程化應用中，該方法用于各種配方的聚氨酯彈性體本構關系研究均具有良好的適用性，有一定的借鑒意義。

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項目基金：三亞市院地科技合作項目（編號：2012YD46）;三亞市重點實驗室項目（編號：L1305）。

作者簡介：劉柏峰（1982—），男，碩士，工程師，研究方向：振動與噪聲控制。