李 琴， 張 祺，2

(1.攀枝花學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 四川 攀枝花617000; 2.四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院， 四川 成都 610065)

曲線齒線圓柱齒輪嚙合數(shù)學(xué)模型

李 琴1， 張 祺1，2

(1.攀枝花學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 四川 攀枝花617000; 2.四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院， 四川 成都 610065)

參照?qǐng)A弧齒線圓柱齒輪齒面方程的推導(dǎo)方法以及齒面組成特點(diǎn)，介紹了一類曲線齒線圓柱齒輪的齒面組成特點(diǎn).采用齒輪嚙合原理中的單參數(shù)曲面包絡(luò)方法，運(yùn)用坐標(biāo)變換推導(dǎo)了曲線齒線圓柱齒輪的數(shù)學(xué)方程和共軛齒面方程的一般形式.以圓弧齒線圓柱齒輪的齒面方程推導(dǎo)為例，推導(dǎo)了圓弧齒線圓柱齒輪的空間嚙合數(shù)學(xué)模型，并采用UG建模軟件建立了圓弧齒線圓柱齒輪的3D模型，驗(yàn)證了該方法的正確性.研究結(jié)果為進(jìn)一步開展新型齒線的設(shè)計(jì)、新型曲線齒線圓柱齒輪傳動(dòng)研究提供了理論基礎(chǔ).

曲線齒線圓柱齒輪； 齒面方程； 包絡(luò)； 圓弧齒線圓柱齒輪

齒輪是工業(yè)關(guān)鍵基礎(chǔ)零部件，齒輪傳動(dòng)是最常用的傳動(dòng)形式之一.對(duì)新型齒輪的研究，主要是針對(duì)其齒線的改進(jìn)和新齒廓的設(shè)計(jì).齒線和齒廓的研究，均具有重要的理論和工程價(jià)值.

在曲線齒線圓柱齒輪的研究中，國內(nèi)外許多學(xué)者已做了十分有意義的工作.王少江和肖華軍等[1-2]通過圓弧齒線圓柱齒輪的研究，發(fā)現(xiàn)圓弧齒線圓柱齒輪具有接觸線較長、齒線關(guān)于中截面對(duì)稱、傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力高、潤滑性能好和無軸向分力等優(yōu)點(diǎn).吳偉偉和宋愛平等[3-6]對(duì)弧齒圓柱齒輪的齒面方程、嚙合機(jī)理進(jìn)行了研究，并提出了一種弧齒圓柱齒輪平動(dòng)加工裝置[7].狄玉濤和陳明等[8-9]對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪的承載接觸進(jìn)行了研究.Tseng等[10-12]采用坐標(biāo)變換法推導(dǎo)了弧齒圓柱齒輪的齒面方程并分析了其接觸特征.蘇進(jìn)展和方宗德等[13]在推導(dǎo)三次樣條齒線圓柱齒輪數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，開展了三次樣條齒線圓柱齒輪數(shù)控滾切加工研究和齒面幾何接觸分析.雖然在各種曲線齒線圓柱齒輪的研究中，對(duì)圓弧齒輪齒線的研究最為廣泛；但是，在一定的條件下，可考慮采用正弦機(jī)構(gòu)、橢圓機(jī)構(gòu)或者雙曲線機(jī)構(gòu)來研究開發(fā)新型的曲線齒線圓柱齒輪.

本文參考圓弧齒線圓柱齒輪齒面方程的齒面組成特點(diǎn)和推導(dǎo)方法，介紹了一類曲線齒線圓柱齒輪的齒面組成特點(diǎn)；并根據(jù)齒面組成特點(diǎn)，運(yùn)用微分幾何的坐標(biāo)變換法和包絡(luò)法推導(dǎo)了曲線齒線圓柱齒輪的齒面方程.以圓弧齒線圓柱齒輪的齒面推導(dǎo)為算例，驗(yàn)證了該推導(dǎo)方法的正確性.按照本文推導(dǎo)思路，可以得到各種不同的齒廓沿基圓齒線平行運(yùn)動(dòng)形成的齒面.

1 曲線齒線圓柱齒輪的幾何描述

本文討論的曲線齒線圓柱齒輪具有以下幾何特征：1) 曲線齒線圓柱齒輪的基圓齒線是一條光滑的簡單空間曲線；2) 曲線齒線圓柱齒輪的基圓齒線落在基圓圓柱面上；3) 曲線齒線圓柱齒輪的齒面由齒廓沿基圓齒線平行運(yùn)動(dòng)形成；4) 曲線齒線圓柱齒輪沿任意與端面平行的截面齒廓形狀相同.

圖1 曲線齒線圓柱齒輪齒面與齒線展開曲線Fig.1 Tooth surface and tooth trace curve of cylindrical gear with curvilinear shape

基圓齒線C1落在基圓圓柱面上，取沿軸OZ1方向的參數(shù)Z1為基圓齒線方程的表示參數(shù)，則基圓齒線C1的方程可表示為

(1)

(2)

(3)

于是M(XC1，YC1，ZC1)與M1(0，y1，z1)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可表示為

(4)

2 齒面方程

在坐標(biāo)系S1(O1-X1Y1Z1)中，平面X1O1Y1即輪齒形成的齒廓曲線T1，齒面∑可以認(rèn)為是由某一平行于端面的截面齒廓T沿基圓圓柱齒線C1做平動(dòng)運(yùn)動(dòng)形成的.如圖2所示，建立坐標(biāo)系Sh(Oh-XhYhZh)，Zh軸與Z1軸同向，平面XhOhYh與平面X1O1Y1相距h，OhXh與基圓齒線相交于Lh點(diǎn).Xh軸與X1軸相比，繞Zh軸與Z1軸轉(zhuǎn)過方位角β.

圖2 曲線齒線圓柱齒輪坐標(biāo)系設(shè)置Fig.2 Coordinate system settings of cylindrical gear with curvilinear shape

圖3所示為任意與X1O1Y1平行的平面XOY與齒輪形成的截面，其中OX與基圓齒線相交于L點(diǎn).根據(jù)端面齒廓的不同，截面齒面齒廓T也將呈現(xiàn)不同的形狀，擁有不同的截面齒廓方程.若齒廓方程采用參數(shù)表示法，選取極角θ作為齒廓曲線參數(shù)，則齒廓方程在S(O-XYZ)內(nèi)可以表示為

(5)

圖3 任意截面齒廓Fig.3 Profile of any section

由式(5)可知，與平面X1O1Y1相距h的平面XhOhYh與輪齒形成的截面齒廓Th的方程可以表示為

(6)

由齒輪嚙合的一般原理[14-15]可知，式(5)或式(6)通過坐標(biāo)變換即可求出齒面∑1的方程，即

R1=M1hRh，

(7)

式中M1h為由坐標(biāo)系Sh(Oh-XhYhZh)到坐標(biāo)系S1(O1-X1Y1Z1)的坐標(biāo)變換矩陣，

(8)

式中βh為X1軸繞Zh(Z1)軸轉(zhuǎn)到Xh軸的方位角.

圖4 沿Z1(Zh)方向的投影幾何關(guān)系Fig.4 Projection geometry relationship along the Z1(Zh) direction

若β為任意截面XOY中OX軸與O1X1軸的夾角，則有

(10)

3 共軛齒面方程

在第2節(jié)中推導(dǎo)了齒輪(Ⅰ)的齒面方程∑1，在實(shí)際齒輪嚙合過程中，總是一對(duì)齒輪滿足嚙合條件進(jìn)行傳動(dòng).由文獻(xiàn)[14-16]可知，當(dāng)知道一對(duì)齒輪的一個(gè)齒輪的齒面方程時(shí)，有多種方法可以求得其共軛齒面方程，其中較常用的有運(yùn)動(dòng)學(xué)法和包絡(luò)法.運(yùn)動(dòng)學(xué)法是根據(jù)齒輪嚙合關(guān)系式n·v(12)=0進(jìn)行推導(dǎo)的，而包絡(luò)法則是一種數(shù)學(xué)解法：當(dāng)齒面∑1隨齒輪(Ⅰ)以參數(shù)φ1轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將會(huì)形成曲面族∑φ，而齒輪(Ⅱ)上的齒面∑與曲面族∑φ中的曲面都是相切接觸的，故齒面∑2就是曲面族∑φ的包絡(luò)面.

3.1 曲面族方程

圖5 曲線齒線圓柱齒輪嚙合坐標(biāo)系設(shè)置Fig.5 Meshing coordinate system settings of cylindrical gear with curvilinear shape

由式(10)可知，方位角β是截面Z1=h的函數(shù)，即

β=β(h)，

(11)

由坐標(biāo)變換式(7)可知

R1=R1(θ，β)=R1(θ，h).

(12)

由齒面∑1在坐標(biāo)系S1(O1-X1Y1Z1)中的方程，通過坐標(biāo)變換即可求出齒面∑1在運(yùn)動(dòng)參數(shù)φ1，φ2下曲面族∑φ在坐標(biāo)系S2(O2-X2Y2Z2)中的表示，參數(shù)φ1，φ2的關(guān)系為[14-15]

(13)

式中i12是齒輪(I)與齒輪(II)之間的傳動(dòng)比，i12=ω1/ω2.曲面族∑φ的表達(dá)式可寫為

R2=M21R1=M2gMgpMp1R1，

(14)

式中M2g，Mgp，Mp1為坐標(biāo)變換矩陣，且有：

(15)

(16)

(17)

由式(15)至式(17)可得，變換矩陣M21為

(18)

M21的逆矩陣M12為

(19)

3.2 包絡(luò)共軛齒面方程的形成

在3.1節(jié)中通過坐標(biāo)變換的方法將齒面∑1形成的曲面族∑φ的方程表示為式(14)，由包絡(luò)條件即可求得齒面∑2的方程為

(20)

或

(21)

4 算 例

以文獻(xiàn)[3-7]中提到的圓弧齒線圓柱齒輪的齒面方程和嚙合方程的推導(dǎo)為例，驗(yàn)證上述齒面方程推導(dǎo)過程的適用性.文獻(xiàn)[3-7]中的圓弧齒線圓柱齒輪為本文所述曲線齒線圓柱齒輪的一個(gè)特例.在圓弧齒線圓柱齒輪中，齒線為圓弧，齒廓為漸開線.在圓弧齒線圓柱齒輪齒面方程的推導(dǎo)過程中，坐標(biāo)系和各點(diǎn)的設(shè)置與曲線齒線圓柱齒輪的設(shè)置一致，坐標(biāo)系和變量均在下標(biāo)的最后一位加“C”表示.

如圖6所示為圓弧齒線圓柱齒輪及其基圓齒線展開線的示意圖.在右側(cè)示意圖中，基圓圓弧齒線的半徑為RTC.根據(jù)第1節(jié)中的推導(dǎo)，圓弧曲線C1C在展開平面y1CL1Cz1C中的方程為

(22)

若取z1C=h為參數(shù)，表示為參數(shù)方程的形式，則

(23)

圖6 圓弧齒線圓柱齒輪及其基圓齒線展開線Fig.6 Arc cylindrical gear and its base circle tooth line evolute

4.1 圓弧齒線漸開線齒廓圓柱齒輪齒面方程

由式(23)，當(dāng)取截面z1C=hC時(shí)，由式(3)可以得出

(24)

由圖1和圖2中的幾何關(guān)系可知，ψC和式(8)中提到的方位角βC為同一個(gè)角，即βC=ψC.

z1C=hC為截面時(shí)，齒廓漸開線在平面xhCOhCyhC中的幾何關(guān)系如圖7所示.

圖7 齒廓漸開線的幾何關(guān)系Fig.7 Geometry relationship of tooth profile involute

由圖7，漸開線在xhCOhCyhC中的方程為

(25)

由變換矩陣Mh1C和變換式

r1C=M1hCrhC，

(26)

可得齒輪(Ⅰ)的齒面∑1C的方程為

(27)

4.2 圓弧齒線圓柱齒輪共軛齒面方程

由式(18)所示的變換矩陣,可知

(28)

通過坐標(biāo)變換式(29)，求曲面∑1C在與齒輪(Ⅱ)固聯(lián)的坐標(biāo)系中形成的曲面族∑φC.

r2C=M21Cr1C.

(29)

由式(27)，(28)和(29)可得，曲面族∑φC的方程為

(30)

式中φ1C，φ2C中只有一個(gè)是獨(dú)立的，滿足關(guān)系式(13).在圓弧齒線圓柱齒輪中，由于傳動(dòng)比固定，可得

i12C=ω1C/ω2C=φ1C/φ2C.

(31)

式(30)即為曲面族∑φC在與齒輪(II)固連坐標(biāo)系中的表示，把式(24)，(31)代入式(30)，方程可寫為

(32)

記Π1=αC+βC+(1+1/i12C)φ1C，Π2=(1/i12C)φ1C，Q=1+1/i12C，i12C=i21C.由式(20)，(21)和(32)知：

(33)

(35)

由式(32)至(35)和式(20)及(21)可知圓弧齒線圓柱齒輪副齒輪(Ⅱ)的齒面∑2C的方程為

(36)

其中，包絡(luò)條件可表示為

RbCQ-Ai21Ccos(αC+βC+φ1C)=0.

(37)

聯(lián)立式(32)與式(37)，消去運(yùn)動(dòng)包絡(luò)參數(shù)φ1C，即可得圓弧齒線圓柱齒輪副齒輪(Ⅱ)的齒面∑2C的方程.

4.3 齒面方程對(duì)比

[3]和[5]中，坐標(biāo)系的設(shè)置與本文算例的坐標(biāo)軸方向設(shè)置一致，且同樣滿足本文第1節(jié)中闡述的4個(gè)基本特征.將本文中式(27)表示的圓弧齒線圓柱齒輪的齒面方程與文獻(xiàn)[3]中的式(4)進(jìn)行對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)齒面方程推導(dǎo)一致；與文獻(xiàn)[5]中的式(1)進(jìn)行對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)齒面方程推導(dǎo)基本一致，唯一區(qū)別在于：本文式(27)中的αC在文獻(xiàn)[5]式(1)中表示為“α1-θ1”(其中θ1為常數(shù)且θ1=0.015rad).經(jīng)由以上對(duì)比可發(fā)現(xiàn)本文所述方法的推導(dǎo)結(jié)果與現(xiàn)有結(jié)果一致.

4.4 齒輪建模實(shí)例

以第4節(jié)中的圓弧齒線圓柱齒輪為建模實(shí)例進(jìn)行建模，建模參數(shù)如表1所示.

表1 圓弧齒線圓柱齒輪建模參數(shù)

在UG中對(duì)參數(shù)為表1數(shù)值的齒輪進(jìn)行建模，所建模型如圖8.

圖8 圓弧齒線圓柱齒輪3D模型Fig.8 3D model of arc cylindrical gear

將齒輪從端面、中間截面和兩者的中間截開，并進(jìn)行觀察，可發(fā)現(xiàn)齒輪每一個(gè)截面的2條齒廓均是漸開線，如圖9(a)、(b)、(c)所示.

圖9 圓弧齒線圓柱齒輪的各截面示意圖Fig.9 The different cross sections diagram of arc cylindrical gear

5 結(jié) 論

本文闡述了曲線齒線圓柱齒輪的概念和齒面組成特點(diǎn)，并根據(jù)坐標(biāo)變換和微分幾何的方法，給出了曲線齒線圓柱齒輪齒面方程的一般推導(dǎo)方法.

以圓弧齒線圓柱齒輪的齒面方程的推導(dǎo)為例，推導(dǎo)了圓弧齒線圓柱齒輪空間嚙合數(shù)學(xué)模型，對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪進(jìn)行了建模并分析了各個(gè)截面的形狀，驗(yàn)證了曲線齒線圓柱齒輪齒面方程推導(dǎo)方法的正確性.本文的結(jié)果對(duì)于新型齒線圓柱齒輪的設(shè)計(jì)、齒面方程的推導(dǎo)和加工等研究提供了理論基礎(chǔ).

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Meshing mathematical model of cylindrical gear with curvilinear shape

LI Qin1， ZHANG Qi1，2

(1.School of Mechanical Engineering， Panzhihua University， Panzhihua 617000, China；2.School of Manufacturing Science and Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065, China)

According to the tooth surface equation of arc cylindrical gear and the characteristic of tooth surface composition， the tooth composition characteristics of a class of cylindrical gear with curvilinear shape were presented. One-parameter surface enveloping method in gear meshing principle was used， and the general mathematical equations and conjugate tooth surface equation were deduced by coordinate transformation. Taking the tooth surface equation derivation of arc cylindrical gear as an example， the space meshing mathematical model of arc cylindrical gear was derived. In order to validate the correctness of this method， the three-dimensional model of arc cylindrical gear was established by UG software. The study results offer theoretical supports for new tooth line design and studies on new cylindrical gear with curvilinear shape．

cylindrical gear with curvilinear shape; tooth surface equation; envelope; arc cylindrical gear

2016-05-04.

本刊網(wǎng)址·在線期刊：http://www.zjujournals.com/gcsjxb

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375320).

李琴(1977—),女，四川成都人，副教授，碩士，從事機(jī)電一體化、先進(jìn)制造技術(shù)等研究，E-mail:liqin103@126.com. http://orcid.org//0000-0002-4043-3877

10.3785/j.issn. 1006-754X.2016.06.008

TH 132

A

1006-754X(2016)06-0571-07