茅靖峰，吳愛華，吳國慶，張旭東

（南通大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇南通 226019）

永磁同步電機冪次變速趨近律積分滑?？刂?/p>

茅靖峰，吳愛華，吳國慶，張旭東

（南通大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇南通 226019）

為了提高永磁同步電機轉(zhuǎn)速伺服控制性能，針對伺服系統(tǒng)模型參數(shù)不確定和外部擾動強的特點，利用基于趨近律設(shè)計方法的滑?？刂评碚?，設(shè)計了一種永磁同步電機轉(zhuǎn)速伺服積分滑?？刂破??；Ｃ婧瘮?shù)中的狀態(tài)偏差積分項，確保了轉(zhuǎn)速跟蹤穩(wěn)態(tài)無靜差；通過引入非線性冪次組合函數(shù)構(gòu)造的基于跟蹤偏差的變速趨近律，使得切換增益具有隨系統(tǒng)偏差自適應(yīng)調(diào)整的特性，并可有效抑制滑?？刂戚敵龅亩墩?。經(jīng)與轉(zhuǎn)速伺服PI控制器對比實驗表明，變速趨近律積分滑?？刂破骶哂懈玫膭?、靜態(tài)特性和魯棒性。

永磁同步電機；伺服控制；積分滑模；變速趨近律；冪次組合函數(shù)

1 引言

永磁同步電機（PMSM）結(jié)構(gòu)簡單、功率密度大、效率高、轉(zhuǎn)矩慣量比大，目前在中小功率的交流伺服系統(tǒng)中獲得了廣泛應(yīng)用。然而，PMSM伺服系統(tǒng)是一個多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)，對于一些高性能伺服控制的應(yīng)用場合，采用針對局部線性化模型和基于固定參數(shù)優(yōu)化匹配的傳統(tǒng)PI控制策略，在PMSM系統(tǒng)參數(shù)變化以及快速大負(fù)載擾動的影響下，不易取得理想的伺服控制效果。為此，多種非線性控制方法，如變參數(shù)PI控制［1］、自適應(yīng)控制［2］、學(xué)習(xí)控制［3］、內(nèi)?？刂疲?］、魯棒控制［5］、自抗擾控制［6］、預(yù)測控制［7］、滑模控制［8-10］等被用來提高PMSM轉(zhuǎn)速伺服控制性能。

滑模控制（SMC）無需精確的對象模型，可根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，以躍變的控制方式迫使系統(tǒng)沿設(shè)定的“滑動模態(tài)”運動。具有響應(yīng)速度快、對參數(shù)及外加干擾不靈敏、控制器易于工程實現(xiàn)等優(yōu)點，適合PMSM伺服控制需求［8-11］。但在SMC控制的實際系統(tǒng)應(yīng)用中，提高穩(wěn)態(tài)跟蹤的控制精度、抑制滑?？刂坡煞柡瘮?shù)引起的抖振，以及合理選取切換函數(shù)的增益是常需要關(guān)注的問題。

本文根據(jù)基于趨近律方法的滑?？刂破髟O(shè)計理論，采用積分型滑模面結(jié)構(gòu)和冪次組合函數(shù)趨近律方法設(shè)計了一種永磁同步電機（PMSM）滑模轉(zhuǎn)速伺服控制器。該方法具有切換增益隨系統(tǒng)偏差自適應(yīng)調(diào)整的特性，并在保證伺服跟蹤控制精度的基礎(chǔ)上，切換控制輸出無抖振。通過仿真與實驗結(jié)果驗證，設(shè)計的滑?？刂破髟赑MSM系統(tǒng)較廣的運行空間內(nèi)均能有效提高系統(tǒng)的動靜態(tài)品質(zhì)，性能優(yōu)于常規(guī)固定參數(shù)PI控制器。

2 PMSM伺服系統(tǒng)模型

假設(shè)氣隙磁場正弦分布、磁路不飽和，忽略鐵芯渦流和磁滯損耗，永磁同步電機在d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型可表示為

電磁轉(zhuǎn)矩方程

機械運動方程

式中：J為轉(zhuǎn)動慣量；Bm為摩擦系數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

對于表貼式PMSM有Ld=Lq=L，且在id=0的磁場定向控制條件下，機械運動方程可重寫為

針對PMSM轉(zhuǎn)速伺服控制系統(tǒng)，其控制器設(shè)計的目的為選擇合適的控制律，使得電機在任何負(fù)載轉(zhuǎn)矩工況下，實際轉(zhuǎn)速ωr快速準(zhǔn)確地跟隨給定轉(zhuǎn)速。為此，定義轉(zhuǎn)速誤差

式中：Δa，Δb，Δd分別為電機參數(shù)攝動量。

現(xiàn)令廣義擾動項η=-Δax-Δbu+Δd，并假設(shè)滿足|η|≤H，H為正實數(shù)。式（7）可簡化為

3 積分滑?？刂破髟O(shè)計

3.1 傳統(tǒng)滑模控制

滑?？刂破髟O(shè)計包括兩個相對獨立的步驟：設(shè)計滑模面函數(shù)s(x)，使它所確定的滑動模態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定且具有良好的動態(tài)品質(zhì)；設(shè)計滑?？刂坡蓇±(x)，使到達(dá)條件得到滿足，從而在滑模面s(x)=0上形成滑動模態(tài)。

對于PMSM轉(zhuǎn)速伺服系統(tǒng)式（8），選取積分滑模面函數(shù)

式中：kp，ki＞0為滑模面系數(shù)，決定最終滑模狀態(tài)的品質(zhì)。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)處于滑模面上時，s(t)=s˙(t)=0，即

求解式（10），可得

式中：C0為任意常數(shù)；τ為收斂時間常數(shù)，τ＝kp/ki。

由式（11）可知，積分滑模面函數(shù)式（9），可以使系統(tǒng)偏差按照指數(shù)曲線形式衰減至零，從而實現(xiàn)無超調(diào)的轉(zhuǎn)速跟蹤控制。因此，可以通過被控PMSM電機的固有電磁響應(yīng)時間來合理選取偏差的收斂時間常數(shù)τ，進(jìn)而計算得到積分滑模面的系數(shù)取值，即可達(dá)到理想的轉(zhuǎn)速無靜差跟蹤控制效果。

選取等速趨近律

其中，ε，k＞0，k的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)，適當(dāng)調(diào)節(jié)該參數(shù)能夠改變系統(tǒng)向滑模面的趨近速度；符號函數(shù)的增益參數(shù)ε是系統(tǒng)克服攝動及外干擾的主要參數(shù)。

由式（8）和式（9）可解出標(biāo)稱系統(tǒng)的滑模控制律

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性條件，當(dāng)條件ss˙＜0滿足時，系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間都趨向于滑模面，并在進(jìn)入滑動模態(tài)后以選定的趨近規(guī)律漸近到達(dá)穩(wěn)態(tài)。該條件即是求取控制律u±(x)的依據(jù)。

為此，對式（14）求導(dǎo)，并由式（8）和式（13）可得：

因此，選取ε＞kpH，則恒有ss˙＜0。即控制律式（13）滿足滑動模態(tài)的到達(dá)條件，能夠驅(qū)使系統(tǒng)沿著滑模線s趨近于平衡原點。

進(jìn)一步分析式（13）可知，正是符號函數(shù)sgn（s）這一部分切換控制律，因其理論上的理想瞬時繼電特性，保證了系統(tǒng)對不確定性和外加干擾η的魯棒控制，且ε越大，系統(tǒng)克服攝動和外干擾的能力就越強。但顯然，在滑模面s（x）=0附近，對于實際系統(tǒng)，因符號函數(shù)sgn（s）在物理實現(xiàn)上的動作滯后延時，造成了控制律u的大幅切換，導(dǎo)致了實際系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，如圖1所示。

為了抑制控制器輸出大幅切換引起的系統(tǒng)抖振，造成控制性能下降和執(zhí)行器損壞，常采用連續(xù)化方法，將控制律中的符號函數(shù)sgn（s）由飽和函數(shù)sat（s）代替。

3.2 冪次組合函數(shù)趨近律方法

文獻(xiàn)［12］提出非線性冪次組合函數(shù)fal（s，α，δ），并成功地將傳統(tǒng)加權(quán)和型PID控制，改造成非線性組合型PID控制。fal（s，α，δ）函數(shù)表達(dá)式為

式中：0＜α＜1；δ＞0。

圖2所示為冪次組合函數(shù)fal（s，α，δ）、飽和函數(shù)sat（s）和符號函數(shù)sgn（s）的特性比較曲線。

顯然，由特性比較曲線圖2可見，當(dāng)0＜α＜1時，fal（s，α，δ）函數(shù)的輸出光滑連續(xù)，在較小的s取值區(qū)間（|s|＜δ），具有較大的增益，隨著s取值的增大（|s|≥δ），其增益逐漸減小。即所謂的“小誤差，大增益；大誤差，小增益”的良好非線性工程特性。因此，fal（s，α，δ）函數(shù)的輸出特性非常適用于滑?？刂啤按蠓秶平?，柔和趨近”的控制要求。

圖1 實際系統(tǒng)的抖振示意圖Fig.1 Chattering phenomenon in practical systems

圖2 3種函數(shù)的輸出特性Fig.2 Output characteristics of three kinds of functions

綜上分析，在PMSM轉(zhuǎn)速伺服滑?？刂破髦?，考慮冪次組合變速趨近律

選取Lyapunov函數(shù)式（14），當(dāng)|s|＞δ時，

顯然，式（18）和式（19）均滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件，ss˙＜0。因此，冪次組合變速趨近律式（17）能夠?qū)⑾到y(tǒng)引導(dǎo)到滑動模態(tài)上，并在系統(tǒng)狀態(tài)軌跡向滑模面趨近過程中，fal（s，α，δ）的幅值逐漸衰減，呈現(xiàn)出隨系統(tǒng)偏差大小而自適應(yīng)調(diào)整切換增益的特性，并很快趨向于零，最終使系統(tǒng)穩(wěn)定于平衡原點上。

為此，根據(jù)式（17），并結(jié)合式（8）和式（9）解出的基于冪次組合變速趨近律的滑?？刂坡蔀?/p>

4 仿真與實驗

4.1 仿真分析

依據(jù)前文分析，應(yīng)用Matlab/Simulink建立PMSM基于id=0的磁場定向解耦策略的速度伺服控制系統(tǒng)。PMSM的參數(shù)為：定子電阻Rs=2.4 Ω，定子電感Ld=Lq=6.35 mH，轉(zhuǎn)動慣量J=1.33 kg·m2，粘滯摩擦系數(shù)B=0.000 1，永磁體磁鏈Ψf=0.35 Wb，極對數(shù)np=4，額定轉(zhuǎn)速nN=2 500 r/min，額定轉(zhuǎn)矩TN=5 N·m。

針對PMSM的毫秒級的電磁響應(yīng)時間，依據(jù)式（11）的特性分析，可選取轉(zhuǎn)速偏差的收斂時間常數(shù)τ=0.1 ms，則積分滑模面參數(shù)可通過優(yōu)選設(shè)計為kp=1，ki=10 000。

選取冪次組合變速趨近律參數(shù)α=0.5，δ=0.1，k=400，ε=820。

圖3為PI和SMC控制下系統(tǒng)轉(zhuǎn)速階躍跟蹤響應(yīng)波形，給定轉(zhuǎn)速=120 rad/s。

圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線Fig.3 Speed step response curves

由圖3可以看出，在系統(tǒng)無干擾和參數(shù)攝動條件下，通過細(xì)致調(diào)節(jié)PI參數(shù)，PI控制和SMC控制均可使得電機有良好的轉(zhuǎn)速跟蹤特性。

圖4為PI和SMC控制下，電機在120 rad/s恒定轉(zhuǎn)速工況時，0.4 s時刻突加額定負(fù)載轉(zhuǎn)矩的轉(zhuǎn)速偏差和控制器輸出響應(yīng)曲線。

圖4 負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變響應(yīng)曲線Fig.4 States response curves caused by load torque change

由圖4可以看出，在PI控制下，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速偏差最大值和調(diào)節(jié)時間均約為SMC控制的4倍，且SMC控制量輸出超調(diào)小、響應(yīng)迅速、平滑無抖振?？梢员砻?，SMC控制較PI控制在負(fù)載擾動的轉(zhuǎn)速波動幅值和平抑速度上，具有更好的抑制能力。

圖5為PI和SMC控制下，電機在120 rad/s恒定轉(zhuǎn)速、帶額定負(fù)載工況時，0.5 s時刻電機參數(shù)攝動量Δa，Δb和Δd同時發(fā)生20%增幅情況下的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波動的動態(tài)過程，以及滑模面的遷變過程。

由圖5可以看出，在系統(tǒng)參數(shù)攝動后，積分型SMC可以快速地調(diào)節(jié)滑模面的狀態(tài)，并較PI控制，在偏差波動的幅值和偏差消除的時間上具有更好的表現(xiàn)?？梢员砻?，SMC控制可以比PI控制更有效地抑制系統(tǒng)參數(shù)變化，且其輸出穩(wěn)態(tài)無靜差。

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)突變響應(yīng)曲線Fig.5 States response curves caused by parameters change

另外，對比分析圖3以及圖4a和圖5a發(fā)現(xiàn)，針對標(biāo)稱系統(tǒng)而優(yōu)選的PI控制參數(shù)，雖然可使得PI控制和SMC控制在系統(tǒng)標(biāo)稱情況下達(dá)到近似相同的良好控制效果，但對于系統(tǒng)受干擾和參數(shù)攝動條件的控制效果，SMC控制強于PI控制。說明SMC控制的大范圍適應(yīng)性和魯棒性強于PI控制。

仿真結(jié)果表明：1）由于滑模面函數(shù)的積分項作用，使得系統(tǒng)在負(fù)載大擾動和參數(shù)攝動后，電機轉(zhuǎn)速跟蹤控制輸出穩(wěn)態(tài)無靜差；2）由于采用了冪次組合變速趨近律方法，使得SMC輸出平滑無抖振，控制效果優(yōu)于PI控制；3）通過滑模面函數(shù)及其參數(shù)的優(yōu)化配置，系統(tǒng)的控制效果在電機標(biāo)稱態(tài)和非標(biāo)稱態(tài)之間具有良好的協(xié)調(diào)能力，大范圍適應(yīng)性和魯棒性良好。

4.2 實驗結(jié)果

利用基于DSP的PMSM伺服控制系統(tǒng)實驗平臺進(jìn)行算法驗證，其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理圖Fig.6 Control system structure schematic diagram

實驗中，電機的負(fù)載轉(zhuǎn)矩加載利用磁滯測功機來實現(xiàn)，通過HX-901型轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速器和TR-2B型測量儀和讀取轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩數(shù)據(jù)。

圖7a為PMSM在0.25 N·m恒定負(fù)載下，轉(zhuǎn)速跟蹤120 rad/s的啟動階躍響應(yīng)曲線。圖7b為PMSM在60 rad/s恒轉(zhuǎn)速條件下，加載2 N·m負(fù)載轉(zhuǎn)矩時的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線。

圖7 轉(zhuǎn)速伺服控制實驗波形Fig.7 Speed servo control experiment waveforms

由圖7可以看出，在SMC控制下，PMSM轉(zhuǎn)速跟蹤響應(yīng)快速、無超調(diào)，穩(wěn)態(tài)精度較高，抑制負(fù)載擾動的魯棒性較強。

5 結(jié)論

仿真和實驗結(jié)果表明，基于冪次組合變速趨近律積分滑?？刂破鳎軌蛴行У匾种苽鹘y(tǒng)滑?？刂坡煞柡瘮?shù)引起的抖振現(xiàn)象，并使得切換函數(shù)的增益具有隨系統(tǒng)偏差大小而自適應(yīng)調(diào)整的特性。在永磁同步電機轉(zhuǎn)速伺服控制應(yīng)用中，較傳統(tǒng)PI控制器在跟蹤速度、穩(wěn)態(tài)精度、抑制參數(shù)攝動和大范圍負(fù)載擾動影響的適應(yīng)性和魯棒性方面具有更好的動靜態(tài)性能表現(xiàn)。

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修改稿日期：2013-12-17

Integral-type Sliding Mode Control for PMSM with Power Variable Rate Reaching Law Method

MAO Jing-feng，WU Ai-hua，WU Guo-qing，ZHANG Xu-dong
（School of Electrical Engineering，Nantong University，Nantong226019，Jiangsu，China）

An integral-type sliding mode speed control for permanent magnet synchronous motor（PMSM）servo system was proposed to improve speed servo dynamic quality.The speed controller was designed based on variable rate reaching law method，and some system uncertainties including in model parameters and external disturbances were also considered.The integral term in the sliding mode surface function can ensure the speed tracking control without steady error.Due to the new variable rate reaching law algorithm designed by power combination function，the gain of the switch function was granted the capability of automatic adjust with tracking error，and the chattering amplitude can be progressively damp.Simulation and experimental results show that the proposed speed controller has a better stability，transient and robustness compared with that of PI controller.

permanent magnet synchronous motor（PMSM）；servo control；integral-type sliding mode；variable rate reaching law；power combination function

TM351；TP273

A

國家自然科學(xué)基金（61004053，61273151）；江蘇省高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助；江蘇省高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目（CXLX13_681）；南通市應(yīng)用研究計劃項目（BK2012009，BK2013062）

茅靖峰（1976-），男，博士，副教授，Email：mao.jf@163.com

2013-08-01