葛振庭 施偉辰

(上海海事大學 物流工程學院，中國 上海201404)

0 研究背景

材料從使用性能上可以分為結(jié)構(gòu)材料和功能材料兩大類[1]，其中結(jié)構(gòu)材料以其強度、韌性、硬度、彈性等力學特性為 應用依據(jù)，功能材料以其電、磁、光、聲、熱等物理性能為基礎(chǔ)，用以制作有特殊功能的器件。壓電材料是實現(xiàn)機械能與電能相互轉(zhuǎn)換的功能材料[2]，是一類對機、電、聲、光、熱敏感的電子材料，外力和電場之間的耦合為壓電材料提供了一種機制，用于感測力學載荷所誘發(fā)電位變化，并通過外部電場改變結(jié)構(gòu)應。壓電材料的結(jié)構(gòu)可靠性已引起越來越多的關(guān)注，因為它們大多是被應用在微機電系統(tǒng)中,而微機電系統(tǒng)的大量應用也決定了研究壓電材料的重要意義。

1 壓電材料的本構(gòu)方程

在線性壓電材料的情況下,我們可以構(gòu)建橫向的等方性壓電材料的六角形晶體模型,從而得出以下本構(gòu)方程組[3]：

其中σ表示應力大小,ε表示應變大小,E表示電場強度大小，D表示電位移的大小，c與ζ為此本構(gòu)方程的常系數(shù)，下標1，2，3表示空間坐標系中的三個方向，坐標系表示分別為x1，x2，x3。以下關(guān)系式（2）說明了方程（1）中具體應力應變的方向及含義：

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(簡稱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))是由人工神經(jīng)元互連組成 的網(wǎng)絡(luò)，是一種非線性動力學系統(tǒng)，它采用類似于“黑箱”的方法，通過學習和記憶而不是假設(shè)，找出輸入、輸出變量之間的非線性關(guān)系（映射），在執(zhí)行問題和求解的時候，將所獲取的數(shù)據(jù)輸入給訓練好的網(wǎng)絡(luò)，依據(jù)網(wǎng)絡(luò)學習的知識進行網(wǎng)絡(luò)推理，得出合理的答案與結(jié)果。其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前發(fā)展比較成熟的一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，約有80%的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)采用BP網(wǎng)絡(luò)。它是一種反饋式全連接多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有結(jié)構(gòu)簡單，工作狀態(tài)穩(wěn)定等優(yōu)點，并且具有較強的聯(lián)想、記憶和推廣能力，可以以任意精度逼近任何非線性連接函數(shù)[4]。

3 壓電陶瓷平面方程驗證

本文將針對PZT-4壓電陶瓷的本構(gòu)方程進行研究。對于此種壓電材料，本構(gòu)方程里面的常系數(shù)c與ζ均為已知常數(shù)。此壓電材料屬于線性壓電材料的范疇，為減少數(shù)據(jù)量的運算，方便神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預測，本文將著重針對該材料的二維平面方程進行驗證。對于平面問題，不妨設(shè)坐標x2方向上的應力大小為0，則根據(jù)彈性力學中平面應力基本模型，此時可知坐標系x2方向上的電位移D2=0，且凡是下標帶有x2的應力與應變大小均為0。故可以得出以下關(guān)系式（3）。

故根據(jù)式（1）（2）（3）可得 x1，x3的平面本構(gòu)方程如下：

其中常系數(shù)的含義及數(shù)值單位如右所示：彈性常數(shù)：c（1010N/m2），壓電常數(shù) e（10C/m2），ζ（10-9C/Vm），具體數(shù)值見式（5）：

根據(jù)式（3）（4）（5）分別給應變 ε11ε13ε33以及電場強度 E1E3這五個量賦值，將輸入值帶入方程（4）從而得到應力電位移σ11σ33σ13D1D3這五個輸出值。從而再將輸入值ε11ε13ε33E1E3作為訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入樣本，由于此方程的準確系數(shù)已經(jīng)根據(jù)實驗測出，故輸出值可以認做是準確數(shù)據(jù)，將此處的輸出值σ11σ33σ13D1D3作為訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出樣本?？紤]到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對輸入數(shù)據(jù)區(qū)別的要求，此處帶入的輸入樣本值均將小于1，省去了輸入前歸一化的步驟，即此處輸入數(shù)據(jù)可以直接當做樣本數(shù)據(jù)來使用。為了保證網(wǎng)絡(luò)的訓練精度，在此使用9組樣本數(shù)據(jù)進行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練，見下表1。每列從上到下的數(shù)據(jù)分別為 ε11ε13ε33單位為：10-5，E1E3單位為：10-5N/C，σ11σ33σ13單位為：10-5N/m2,D1D3單位為：10-5C/m2。

表1 訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣本輸入輸出數(shù)據(jù)

利用Matlab里內(nèi)置的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具，在了解了BP網(wǎng)絡(luò)的工作原理后，建立具體網(wǎng)絡(luò)模型。此例中輸入層有5個節(jié)點，分別是ε11ε13ε33E1E3這五個輸入值,隱含層設(shè)置了9個節(jié)點,輸出層有5個節(jié)點,即識別方程的輸出值σ11σ33σ13D1D3。本例中應用了logsig訓練函數(shù)，且表1中的樣本數(shù)據(jù)差異大，可以直接用Matlab進行訓練，經(jīng)過10000次訓練后網(wǎng)絡(luò)的目標函數(shù)精度為1.337×10-10，迭代過程見下圖1。

為了驗證方程的準確性，任選一組ε11ε13ε33E1E3作為輸入數(shù)據(jù)，分別為 0.1,0.2,0.4,0.5,0.7;將其帶入到方程（4）中，則可以得到一 σ11σ33σ13D1D3數(shù)據(jù)分別為：9.248，-5.696，-4.425，8.376，14.526 此組數(shù)據(jù)為真實的輸出數(shù)據(jù)。再將這組輸入數(shù)據(jù)帶入已訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，從而得 出 網(wǎng) 絡(luò) 的 預 測 輸 出 值 分 別 為 9.2594，-5.6982，-4.4196，8.3878，14.5338。此處數(shù)據(jù)的單位均如上文所述。比較輸出數(shù)據(jù)的值，將這兩組輸出數(shù)據(jù)分別作在同一坐標系內(nèi)，見上右圖2，其中實際值為紅色六角星標注，預測值為黑色星號標注，發(fā)現(xiàn)實際值與預測值誤差很小，可以說明該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較高的預測精度，至此，運用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法可以證明此壓電本構(gòu)方程線性

關(guān)系的準確性很高，即可驗證此壓電平面本構(gòu)方程是正確的。

圖1

圖2

4 結(jié)論

平面壓電本構(gòu)方程中的線性常數(shù)已經(jīng)給出，通過輸入多組輸入數(shù)據(jù)根據(jù)本構(gòu)方程得到準確的輸出數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本訓練數(shù)據(jù)，借由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極強的模擬映射關(guān)系，訓練好的網(wǎng)絡(luò)可以預測出任意數(shù)據(jù)關(guān)系模型，包括此處的線性關(guān)系模型。本文通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驗證壓電方程中數(shù)據(jù)之間的線性關(guān)系，是一種很好的驗證方法，具有一定的使用意義。

［1］蓋學周.壓電材料的研究發(fā)展方向和現(xiàn)狀[J].中國陶瓷，2008，5（44）：9－13.

［2］裴先茹，高海榮.壓電材料的研究和應用現(xiàn)狀[D].鄭州：鄭州師范學院.

［3］Fuqian Yang.Department of Mechanical Engineering,University of Rochester,233 Hopeman Building,Rochester,NY 14627-0132,USA Received 13 October 1999;in revised form 21 May 2000[Z].

［4］賈艷春.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應用于地下洞室圍巖參數(shù)識別[J].模式識別與人工智能，1996，9（1）：71-77.