張銀玲

（黑龍江省機械科學研究院，哈爾濱150040）

0 引言

在工程技術(shù)領(lǐng)域，采用解析方法只能對方程性質(zhì)簡單且?guī)缀芜吔缫?guī)則的問題進行精確求解，因而，有限元法迅速得到廣泛的應(yīng)用。有限元法作為近代一種有效的數(shù)值計算方法，這種方法將連續(xù)的求解域當作是由大量通常被稱為有限元單位的各個子域組成的聯(lián)合體，通過對每一個有限元單位假定合適的近似解來推導求解得到問題的解。

1 有限元分析原理

對于彈性體一般三維問題來說，其彈性力學基本方程：

式中，qx、qy和q分別為體積力沿直角坐標系三個方向分量，σx、σy和 σz為正應(yīng)力，τxy、τyz和 τzx為剪應(yīng)力。

2 有限元分析流程

1）一般來說，在工程應(yīng)用中將連續(xù)體進行離散化是有限元分析的第一個步驟，同時，這第一步也是進行有限元分析的重要基礎(chǔ)。實際上，離散化過程就是將連續(xù)體分割成有限個獨立單元體的過程，但將獨立單元體內(nèi)的指定點設(shè)定為節(jié)點，彼此相鄰獨立單元體通過節(jié)點相互連接起來組成單元的組合體，從而代替之前的連續(xù)體，這個過程就是連續(xù)體網(wǎng)格劃分的過程。在網(wǎng)格劃分的過程中，單元形狀的選擇和單元的數(shù)目確定是影響網(wǎng)格劃分質(zhì)量的重要影響因素。在網(wǎng)格劃分的過程中，一般選用三節(jié)點三角形單元、四節(jié)點矩形單元、六節(jié)點三角形單元及其他自選任意形狀單元等。這些選定單元可以具有不同的幾何形狀特征，并且不同形狀特征幾何單元之間也可以采用不同的組合方式，因而網(wǎng)格劃分可以將幾何形狀十分復雜的求解域模型化。

2）經(jīng)由連續(xù)體結(jié)構(gòu)離散化的過程，接下來就要對離散后各個單元進行特性分析。與此同時，在分析連續(xù)體時，必須對單元中的位移分布做出部分假設(shè)，這樣可以將無限自由度的問題轉(zhuǎn)化為有限自由度的問題，從而可以采用節(jié)點位移來表示單元體內(nèi)任意一點的位移、應(yīng)變和應(yīng)力。依據(jù)選定位移模式的特征，可以推導得到有限單元內(nèi)任意節(jié)點的位移關(guān)系式，其矩陣形式為：

式中，｛f｝＝［u v w］T為有限單元內(nèi)任意一點的位移列陣，｛de｝為有限單元節(jié)點位移排列形式，［N］為以形函數(shù)表示的矩陣，是任意節(jié)點位置坐標的函數(shù)。

3）建立整個結(jié)構(gòu)的平衡方程。形成總剛度矩陣的通用方法是將全部節(jié)點的自由度都按照對號入座原則將每個單元的剛度元素分別疊加到總剛度矩陣的相應(yīng)位置上，這樣形成的總剛度包括固定約束節(jié)點的自由度之內(nèi)。

在采用有限元方法進行工程設(shè)計分析實際應(yīng)用中，80%的工作量都集中在有限元分析的數(shù)據(jù)準備和有限元分析的計算結(jié)果整理。到目前為止，幾乎所有的有限元分析軟件都能夠提供前處理程序和后處理程序，并且可以自動生成有限元分析所需要的數(shù)據(jù)模型，尤其是幾何數(shù)據(jù)模型，同時將自行處理有限元分析結(jié)果數(shù)據(jù)，并將分析結(jié)果以圖形的形式表現(xiàn)出來。因此，準確來說，正確理解和使用有限元分析軟件是進行有限元設(shè)計分析的重要步驟，其典型的流程如圖1所示。

如圖2所示為某機床工作狀態(tài)的有限元分析。

圖1 有限元分析流程

圖2 某機床工作狀態(tài)的有限元分析

3 有限元分析發(fā)展趨勢

在工程設(shè)計中，有限元分析方法的應(yīng)用范圍從最初的求解彈塑性力學平面幾何解析問題擴展到空間三維或空間多維問題及板殼問題；從求解簡單的力學平衡問題擴展到求解復雜的動力問題、協(xié)調(diào)問題和穩(wěn)定性問題；有限元分析的對象也從單一的固體力學擴展到非線性流體力學、電磁領(lǐng)域、微納米領(lǐng)域及熱傳導領(lǐng)域等多學科，目前有限元方法解決的主要問題包括：1）大型復雜結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析；2）金屬、橡膠等材料的大應(yīng)變分析；3）工程關(guān)鍵零部件的線性和非線性分析；4）二維和三維非線性電磁場分析；5）氣動力學分析；6）金屬沖壓成型數(shù)值模擬；7）各種邊界條件下的場分析；8）工程構(gòu)件的彈塑性、蠕變分析。