王 友，王雙亭

(河南理工大學(xué)測繪與國土信息工程學(xué)院，河南焦作454003)

基于隨機(jī)介質(zhì)理論的概率積分法因其所用的移動和變形預(yù)計公式中含有概率積分而得名，是目前我國用于礦山開采沉陷預(yù)計地表移動與變形的重要方法和文獻(xiàn)［1］規(guī)定的開采沉陷預(yù)計方法之一。

在求取預(yù)計參數(shù)時，通常采用計算簡便的最小二乘擬合算法，其求取的參數(shù)精度基本能滿足工程需求。最小二乘估計在參數(shù)估計時具有良好的性質(zhì)，當(dāng)誤差服從正態(tài)分布時，最小二乘估計在所有無偏估計類中具有無偏性、一致性和有效性。但是其也存在兩方面的問題:一是當(dāng)自變量較多，其中存在近似線性相關(guān)變量時，其參數(shù)估值與真值相差很大;二是當(dāng)觀測值有悖于正態(tài)分布假設(shè)，數(shù)據(jù)遭到異常污染時，最小二乘估計不具有抗干擾性，單個觀測值的偏差就可能造成參數(shù)解面目全非［2－4］。

針對第1個問題，文獻(xiàn) ［2］提出了嶺估計，嶺估計是從減少均方誤差的角度出發(fā)而提出的一種壓縮性有偏估計，其可以改善法矩陣的病態(tài)性，穩(wěn)定參數(shù)解;針對第2個問題，文獻(xiàn) ［4］和 ［5］提出了抗差估計，其通過選擇適當(dāng)?shù)牡葍r權(quán)，使其可以較好地克服模型偏差和異值點存在造成的求參困難。但二者都是只能改善某一個問題，不能同時對兩個問題都有所改善。本文提出的抗差嶺估計結(jié)合了嶺估計和抗差估計的優(yōu)點，可以同時起到抵抗病態(tài)法矩陣和抵抗異值或粗差對求參結(jié)果的影響，保證了求參結(jié)果的有效性和可靠性。

1 抗差嶺估計

1.1 抗差嶺估計原理［3，6］

設(shè)觀測方程為

式中，L為n維觀測向量;A為n×t階系數(shù)矩陣; X為t維參數(shù)向量;Δ為n維誤差向量，Δ:N(0，I)。

相應(yīng)的誤差方程為

由抗差嶺估計原理［6－7］求得參數(shù)的抗差嶺估計解為

由式 (3)可知，確定嶺參數(shù)和等價權(quán)陣是求得抗差嶺估計解的必要條件。所以抗差嶺估計的關(guān)鍵是選擇合適的嶺參數(shù)和等價權(quán)陣。

1.2 嶺參數(shù)的確定［2，7－10］

對嶺參數(shù)的確定方法進(jìn)行對比研究是當(dāng)前的熱點問題之一。關(guān)于嶺參數(shù)的確定，目前應(yīng)用較多的有嶺跡法、GCV解法、雙h公式法和L曲線法等等。其中嶺跡法雖然應(yīng)用方便，但具有太大的隨意性，且沒有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ);GCV解法雖然在理論上能夠選擇最優(yōu)的嶺參數(shù)，但有時GCV函數(shù)的變化過于平緩甚至發(fā)散，此時定位它的最小值會很困難;雙h公式法雖然在確定嶺參數(shù)時有計算簡捷、應(yīng)用靈活等優(yōu)點，但當(dāng)法方程系數(shù)矩陣病態(tài)性較嚴(yán)重時，其效果并不明顯;L曲線法是一種理論上非常嚴(yán)密的研究嶺參數(shù)的方法，其具有定位準(zhǔn)確、適用性較好等優(yōu)點。因此，本文在確定嶺參數(shù)時選用L曲線法。

按正則化原理，式 (1)的抗差嶺估計準(zhǔn)則為

對上式求其最大值，就可以得到最大曲率，其所對應(yīng)的最大點即為所求點，然后求出該點所對應(yīng)的抗差嶺參數(shù)k。

1.3 等價權(quán)函數(shù)的確定［4－5，11－12］

抗差嶺估計的抗差效果主要取決于等價權(quán)函數(shù)。采用的等價權(quán)函數(shù)不同，則相應(yīng)的抗差估計模型就不同，其抗差效果就不同。

周江文教授提出的IGGN方案是對最小二乘參數(shù)估計解式的權(quán)陣進(jìn)行改化，即以等價權(quán)代替先驗權(quán)，從而可以用等價權(quán)重構(gòu)抗差解式和單位權(quán)中誤差。本文中采用周江文教授提出的IGGN抗差方案。等價權(quán)的形式為

式中，k0為分位點，一般取1.5;k1為淘汰點，一般取2.5。

但是由于誤差絕對值大于中誤差、二倍中誤差、三倍中誤差出現(xiàn)的概率分別為 31.7%，4.5%，0.3%，加之我國大多測量規(guī)范都規(guī)定以二倍中誤差為極限誤差，因此，我們?nèi)0=1.0，k1= 2.0。

2 概率積分法預(yù)計參數(shù)的抗差嶺估計模型

概率積分法預(yù)計參數(shù)可由多個地表任意點沿任意方向的移動變形實測資料求出。當(dāng)布置的測點為常規(guī)觀測站時，采用最小二乘曲線擬合法;當(dāng)測點為非常規(guī)觀測站即一系列散點時，采用最小二乘曲面擬合法。但是當(dāng)最小二乘的法矩陣病態(tài)或觀測數(shù)據(jù)中有異常值時，則易造成求參結(jié)果的失真?；诳共顜X估計的最小二乘曲面擬合法在求參時，不僅可以有效地抵御異常值和病態(tài)法矩陣的干擾，還可以適用于任意形狀和殘缺觀測站資料的求參運算［2］。

概率積分法中所涉及的主要預(yù)計參數(shù)有5個:下沉系數(shù)q、水平移動系數(shù)b、主要影響角正切tanβ、主要影響傳播角θ、拐點偏移距S1，S2，S3，S4。在進(jìn)行抗差嶺估計求參時，應(yīng)首先利用實測的地表點下沉觀測值求取q，tanβ，θ，S1，S2，S3，S4。然后，利用這7個已求得的參數(shù)和地表點的水平移動觀測值迭代擬合求取b。

按概率積分法的任意點移動變形模型，任一點下沉W都可以表示成測點坐標(biāo)和預(yù)計參數(shù)的函數(shù)，即

選取參數(shù)初值 q0，tanβ0，θ0，S10，S20，S30，S40，將其線性化，即

則得誤差方程的一般形式為:

式中，l0i=Wi測－W0i。

式(9)的矩陣形式為

由式(5)確定嶺參數(shù)k，由式(6)確定等價權(quán)，則可求出7個參數(shù)的改正數(shù)的抗差嶺估計解式如式 (3)所示。求得結(jié)果后，以上次計算的結(jié)果做為下次的初值，進(jìn)行迭代計算，直到最后2次迭代計算的參數(shù)估值之差滿足迭代收斂精度為止。此時即可獲得參數(shù)估值的抗差嶺估計解。而水平移動系數(shù)b，則可以根據(jù)地表任意點水平移動預(yù)測模型求出。在此不再贅述。

3 工程應(yīng)用及結(jié)果分析

工程實例采用文獻(xiàn)［13］－［14］中開灤集團(tuán)錢家營煤礦輔271地表移動觀測站資料。該觀測站位于輔271工作面上方。由于輔271觀測站的實測資料分單一煤層和多煤層開采2種情況，而在開采單一煤層時走向和傾向觀測站實測資料比較翔實，因此采用輔271觀測站單一煤層開采時的資料。該觀測站所對應(yīng)的輔271工作面表土層厚220m，采厚3.1m，平均采深304m，煤層傾角為8°，工作面走向長830m，傾向長150m。

為了檢驗抗差嶺估計模型的有效性，首先分別運用最小二乘法和抗差嶺估計算法擬合求參，然后利用 matlab軟件中的 randn命令生成標(biāo)準(zhǔn)差為10mm的隨機(jī)誤差加入到觀測值中，再分別用最小二乘法和抗差嶺估計算法擬合求參，最后對2次求參結(jié)果進(jìn)行縱橫向?qū)Ρ妊芯浚髤⒔Y(jié)果如表1、表2所示。

表1 人為干預(yù)前數(shù)據(jù)擬合求參結(jié)果

表2 人為干預(yù)后數(shù)據(jù)擬合求參結(jié)果

對表1和表2對比分析可知:

(1)當(dāng)觀測值中沒有人工干預(yù)時，抗差嶺估計和傳統(tǒng)最小二乘估計理論的求參結(jié)果基本一致。

(2)當(dāng)人為地在觀測值中加入一些異值點和隨機(jī)誤差時，采用傳統(tǒng)最小二乘估計理論求參獲得的參數(shù)有很大的偏差，而采用抗差嶺估計理論獲得的參數(shù)與沒有人為干預(yù)時獲得的參數(shù)相差不大。

4 結(jié)論

(1)將抗差嶺估計理論應(yīng)用于概率積分法預(yù)計參數(shù)求取過程中，可以自動排除病態(tài)法矩陣和異值點的干擾。

(2)通過人工干預(yù)求參試驗表明，采用抗差嶺估計求參理論，求得的概率積分法預(yù)計參數(shù)具有更好的有效性和可靠性。

［1］中華人民共和國煤炭工業(yè)部.建筑物、水體、鐵路及主要井巷煤柱留設(shè)與壓煤開采規(guī)程［M］.北京:煤炭工業(yè)出版社，2000.

［2］王明柱，郭廣禮，王 磊，等.基于嶺估計的概率積分法預(yù)計參數(shù)的求?。跩］.煤礦開采，2012，17(2):17－19，85.

［3］隋立芬.抗差嶺估計原理及其應(yīng)用 ［J］.測繪通報，1994 (1):9－12.

［4］吳若飛.基于抗差估計的概率積分法的預(yù)計參數(shù)模型研究［J］.煤炭技術(shù)，2009，28(9):167－168.

［5］顧 葉，宋振柏，張勝偉.基于概率積分法的開采沉陷預(yù)計研究［J］.山東理工大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版)，2011，25 (1):33－36.

［6］歸慶明，黃維彬，張建軍.抗差泛嶺估計［J］.測繪學(xué)報，1998(3):211－216.

［7］王 彬，高井祥，劉 超，等.L曲線法在等價權(quán)抗差嶺估計模型中的應(yīng)用 ［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2012，32 (3):97－101.

［8］王振杰.用L－曲線法確定嶺估計中的嶺參數(shù)［J］.武漢大學(xué)學(xué)報 (信息科學(xué)版)，2004，29(3):235－238.

［9］黃海蘭，牛 犇.嶺參數(shù)確定的研究［J］.測繪科學(xué)，2011，36(4):31－32.

［10］田玉淼，朱建軍，陶肖靜.修正嶺估計方法在測量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用研究［J］.測繪工程，2012，21(1):7－10.

［11］楊 玲，沈云中，樓立志.基于中位參數(shù)初值的等價權(quán)抗差估計方法［J］.測繪學(xué)報，2011，40(1):28－32.

［12］陳西強(qiáng)，黃張裕.抗差估計的選權(quán)迭代法分析與比較［J］.測繪工程，2010，19(4):8－11，15.

［13］殷作如，鄒友峰，鄧智毅，等.開灤礦區(qū)巖層與地表移動規(guī)律及參數(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2010.

［14］陳 勇.開灤礦區(qū)深部開采地表移動規(guī)律的研究［D］.河南:河南理工大學(xué)，2010.