賈屹峰 鄭紅芬 王志高

（中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院基礎(chǔ)部，中國(guó) 北京 100045）

0 引言

在微積分教學(xué)中，描繪函數(shù)的圖像必不可少，例如一元微積分中數(shù)列的極限、函數(shù)的間斷點(diǎn)、曲線的凹凸性、函數(shù)的極值、拐點(diǎn)、拐點(diǎn)，二元函數(shù)的圖像、多重積分的積分區(qū)域等。函數(shù)的圖像在體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美的同時(shí)，更重要的是使得許多重要的數(shù)學(xué)概念有了直觀的表示，使得這些概念更容易理解。

利用傳統(tǒng)的描點(diǎn)法繪圖，不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且只能畫出草圖，即缺乏精確性，又不夠直觀。應(yīng)用Mathematiea軟件，可以利用簡(jiǎn)單的命令，不但能夠在短時(shí)間內(nèi)畫出更直觀、準(zhǔn)確的圖像，而且能以動(dòng)畫的形式演示。同時(shí)能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念有更直觀、更深刻的了解，加深對(duì)知識(shí)的理解、記憶和深化，達(dá)到好的教學(xué)效果。

1 Mathematica基本繪圖函數(shù)

Mathematica具有很強(qiáng)的繪圖能力，用戶只需調(diào)用繪圖函數(shù)，即可很方便地畫出一元函數(shù)和二元函數(shù)在所需范圍內(nèi)的平面圖像與三維圖形，并可以在同一坐標(biāo)系內(nèi)以不同的顏色顯示，進(jìn)行比較。Mathematica基本繪圖函數(shù)有：

2 Mathmatica繪圖功能的應(yīng)用

2.1 在一元微積分教學(xué)中的應(yīng)用

極限是微積分最基本的概念，也是微積分教學(xué)中的難點(diǎn)

實(shí)例1 在很多的《微積分》教材中，割圓術(shù)是引入極限定義的經(jīng)典例題，利用Mathematica可以很容易繪制出割圓術(shù)的圖形：

實(shí)例2 為了進(jìn)一步給出數(shù)列極限的定義，通常是在實(shí)例1的基礎(chǔ)上，觀察下面三個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)，利用下面的命令，可以畫出三個(gè)數(shù)列的圖像。

在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生觀察實(shí)例1與實(shí)例2的所畫出的圖像，給學(xué)生一個(gè)直觀的印象，在此基礎(chǔ)上，逐步引入極限的ε-N？定義，使學(xué)生更容易理解極限的定義。同樣，在講述第二個(gè)重要的極限時(shí)，也同樣利用畫圖和數(shù)值計(jì)算，并結(jié)合該極限的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例：存款利率，使得學(xué)生對(duì)自然對(duì)數(shù)的基底e有著更為深刻的理解，并對(duì)以后研究函數(shù)y=ex的性質(zhì)打下基礎(chǔ)。

函數(shù)的連續(xù)性以及各種間斷點(diǎn)，是微積分一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)于函數(shù)圖像的觀察，特別是震蕩間斷點(diǎn)，使得學(xué)生對(duì)于極限與連續(xù)的關(guān)系，以及各類間斷首先有一個(gè)直觀的印象，然后再進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，例如，利用下面的命令，

圖1

圖2

圖3

通過(guò)觀察上述函數(shù)的圖像，并加以比較，對(duì)學(xué)生理解極限與連續(xù)的關(guān)系和各類間斷點(diǎn)有很大的幫助。

在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)過(guò)程中，在求出函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)和漸近線等的基礎(chǔ)上，通常要畫出函數(shù)的圖像，這時(shí)如果利用Mathematica就能很容易畫出函數(shù)的圖像。

圖4

圖5

在定積分的應(yīng)用中，積分上下限的確定通常需要實(shí)際問(wèn)題畫出圖像。

圖6

實(shí)例4 求阿基米德螺線ρ=θ相應(yīng)于0≤θ≤2π段的弧長(zhǎng)。下面的函數(shù)畫出了阿基米德螺線的圖像(圖6)。

2.2 在多元微積分教學(xué)中的應(yīng)用

圖7

與一元微積分類似，多元函數(shù)的極限是學(xué)習(xí)多元微積分首先遇到的問(wèn)題。一元函數(shù)y＝f（x）在x→x0時(shí)的極限是否存在，只需考慮在x0的左右極限即可。但是對(duì)于二元函數(shù) z=f（x，y）在（x，y）→（x0，y0）時(shí)的極限是否存在，要考慮（x，y）沿任意方向趨向于（x0，y0），包括沿曲線，這一點(diǎn)使學(xué)生感到很困惑，老師的解釋通常也難有好的效果。利用Mathematica畫出相應(yīng)函數(shù)的圖像和等高線，使學(xué)生能夠直觀地觀察到函數(shù)的幾何表述，可以很有效的解決這個(gè)問(wèn)題。

3 結(jié)束語(yǔ)

Mathematica的繪圖功能是十分強(qiáng)大的，通過(guò)不同的設(shè)置和參數(shù)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，可以繪制出更為理想的圖形。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，我們充分利用了繪制出的這些圖形，使抽象的內(nèi)容變的直觀，進(jìn)一步豐富課堂教學(xué)的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，改善了教學(xué)效果，提高了教學(xué)質(zhì)量。

［1］王高峽.用Mathematica軟件繪制空間圖形的方法和技巧[J].重慶工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,7,21(7).

［2］高等數(shù)學(xué)[M].6 版.同濟(jì)大學(xué)出版社,2007,6.