趙凡　湯劍鋒

摘 要 針對非線性電路實驗裝置教學的缺陷，提出一種基于MapleSim軟件的仿真實驗方法。以蔡氏電路為例，在特定參數(shù)下進行模擬，得到混沌運動的相圖，為電路實驗教學改革提供了新思路。最后分析該仿真實驗在教學中的優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞 MapleSim；非線性電路；混沌吸引子

中圖分類號：G642.423；TP391.9 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2014）04-0114-03

非線性科學包括3個主要部分：孤立波、混沌、分形。其中，孤立波是由羅素于1844年在實驗室中發(fā)現(xiàn)的。1895年，數(shù)學家科特維格與得佛里斯從數(shù)學上導出了有名的淺水波KdV方程，并給出了一個類似于羅素孤立波的解析解，即孤立波解，孤立波的存在于是得到普遍承認。混沌和分形理論則是在20世紀才開始興起。20世紀初至50年代是混沌研究的萌芽時期，60年代開始迅速發(fā)展。氣象學家洛倫茲提出的“蝴蝶效應”指出了混沌系統(tǒng)的一個基本性質(zhì)：對初始條件的敏感依賴性。20世紀70年代，混沌現(xiàn)象的研究開始滲透到其他學科；80年代以來，隨著計算機技術(shù)的進步，混沌學的研究方法得到快速發(fā)展。有人將混沌和分形譽為繼相對論和量子力學之后的20世紀物理學的第三次革命。

物理學中的力、熱、電、光、原子體系中均存在混沌現(xiàn)象。非線性電路中的混沌現(xiàn)象是混沌研究的熱點之一，混沌電路也具有廣泛的應用前景。由于混沌電路較易于引入實驗教學，所以它是啟迪學生探索非線性規(guī)律的一種重要途徑。然而傳統(tǒng)的非線性電路實驗對電路元件參數(shù)的誤差極為敏感，需要嚴格地挑選元件，缺少靈活性，另外還要受到實驗場地等的限制，不能很好地培養(yǎng)學生的興趣和創(chuàng)造性思維。

隨著計算機科學的發(fā)展，人們意識到計算機仿真技術(shù)是傳統(tǒng)實驗教學方法的有益補充。以往文獻探討了Matlab、Multisim等軟件在電路實驗教學中的運用[1-2]，但還沒有探討MapleSim仿真軟件在實驗教學中運用的文獻。MapleSim是一個多領(lǐng)域物理的仿真建模軟件，具有圖形化的仿真環(huán)境，用戶可通過簡單和直觀的方式完成各種系統(tǒng)的建模、分析和仿真。MapleSim基于Maple數(shù)學引擎，使用Maple中的高級符號計算功能生成物理系統(tǒng)的數(shù)學模型，能有效地管理和簡化復雜系統(tǒng)的數(shù)學模型，實現(xiàn)系統(tǒng)的高保真、高速仿真，相比于其他仿真軟件有其獨特的特點。本文以蔡氏電路為例，說明MapleSim在混沌電路實驗教學中的應用。

1 蔡氏電路簡介

20世紀80年代，非線性電路中陸續(xù)發(fā)現(xiàn)各種分岔和混沌現(xiàn)象，其中蔡氏電路以其電路的簡單性的和豐富的動力學行為成為混沌電路中的經(jīng)典例子。如圖1所示，蔡氏電路是由線性電阻R、電容C1、C2、電感L和非線性電阻RN（也稱為蔡氏二極管）組成的三階自治電路，非線性電阻的伏安特性如圖2所示。通過調(diào)整各元件的參數(shù)，可以使蔡氏電路呈現(xiàn)出豐富的非線性行為，在某些特定的參數(shù)下可以觀測到混沌吸引子。

2 蔡氏電路的MapleSim仿真

首先在建模界面用庫元件構(gòu)建蔡氏電路模型（圖3）。由于MapleSim的元件庫中沒有如圖2所示伏安特性的元件，需用其他元件來構(gòu)建，蔡氏二極管可用多種方式實現(xiàn)，其中一種典型的方式可由兩個運放和6個電阻構(gòu)成（圖3中10 μF電容右邊的部分）。按圖3中各元件旁標注的參數(shù)值在元件參數(shù)設置欄指定元件參數(shù)，改變電路中的任何一個參數(shù)都可以實現(xiàn)電路非線性特性的改變。本例中，把電阻R的阻值作為可調(diào)參數(shù)。接著設置探針Probe1檢測流過電感的電流i，探針Probe2和Probe3分別檢測100 μF和10 μF電容的電位v1，v2，并在Inspector選項初始條件欄指定初始條件i=0.001 A，v1=v2=0.1 V。最后在Settings選項中把仿真時間設置為0.01 s，選用ck45求解器并把作圖點數(shù)設置為2000。點擊“simulation”按鈕即可運行仿真。

在改變電路參數(shù)的過程中，可以觀察到蔡氏電路的分岔。周期性的分岔是通往混沌的道路之一。分岔是指在一族系統(tǒng)中，當某個參數(shù)越過臨界值時系統(tǒng)長期行為的突然變化，在相空間表現(xiàn)為周期的倍增效應。分岔的最終結(jié)果就是形成混沌。圖4是R=1.8 kΩ時仿真得出的電流、電壓隨時間的變化圖，呈現(xiàn)出復雜的運動形態(tài)，不具周期性。圖5是R=1.8 kΩ時i-v1，i-v2，v1-v2平面相圖，相圖軌線圍繞著兩個焦點交叉環(huán)繞，是一種雙渦旋混沌吸引子，電路的動力學行為呈現(xiàn)出混沌。

雙渦旋混沌吸引子是奇怪吸引子，是混沌研究的焦點之一，它具有如下特點。

1）從整體說系統(tǒng)是穩(wěn)定的，吸引子外的一切軌線最后都要收縮進入到吸引子中。但是就局部來說，吸引子內(nèi)部的運動又是不穩(wěn)定的，相鄰軌道相互排斥。

2）混沌運動的奇怪吸引子具有無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)，維數(shù)常常是非整數(shù)，這種結(jié)構(gòu)稱為分形。自相似性是混沌運動的奇怪吸引子區(qū)別于規(guī)則運動的平庸吸引子的一個重要標志。

3）非周期性。運動軌道永遠不自我重復。

4）運動對初始條件的敏感依賴性，表現(xiàn)為相鄰軌道的指數(shù)分離。也就是說進入吸引子的位置稍有差異，運動軌道就截然不同。

通過MapleSim的仿真，可以直觀地觀察到一個簡單電路中復雜的非線性運動。初始條件的微小改變將對結(jié)果造成非常大的影響，形象地反映出混沌運動對初值的敏感依賴性。

完成蔡氏電路的仿真實驗后，運用MapleSim可以方便地進行拓展，如超混沌電路、蔡氏電路混沌同步的仿真模擬。超混沌電路不同于蔡氏混沌電路，但同樣也可以觀察到倍周期分岔和吸引子?；煦缤绞腔煦绫Ｃ芡ㄐ?、混沌密碼學的基礎(chǔ)，利用蔡氏電路的混沌同步實現(xiàn)保密通信是混沌電路的一個重要應用。學生通過混沌電路的計算機仿真實驗不僅了解了原理，更重要的是明白了混沌電路的應用價值。在混沌電路計算機仿真實驗的基礎(chǔ)上，還可以進一步做實物實驗來加深理解。

3 MapleSim仿真實驗教學優(yōu)勢

學生剛開始接觸電路實驗課時，往往缺乏系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識和基本的實驗操作技能，更缺乏活躍的創(chuàng)新思維能力。將MapleSim仿真技術(shù)引入實驗教學，能夠讓實驗課達到提高動手能力，培養(yǎng)理論指導實踐的能力和創(chuàng)新能力的教學目標。MapleSim仿真實驗有著傳統(tǒng)實物實驗所不具備的優(yōu)勢。首先，在做電路的仿真實驗時由于沒有因接錯電路而導致儀器損壞的顧慮，可以放心大膽地連接電路，有利于激發(fā)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，而教師則著重引導學生對一個實驗嘗試多種電路，比較其優(yōu)缺點，選擇不同的方案，比較仿真軟件和實物電路在分析方法、測量方法以及測量結(jié)果方面的異同，引導學生去發(fā)現(xiàn)問題；其次，便于在驗證性實驗的基礎(chǔ)上開展創(chuàng)新設計性實驗，教師只給出設計要求和簡單的設計原理，而要求學生充分發(fā)揮主觀能動性來利用各種資源，從查閱資料開始著手，運用仿真軟件設計電路到構(gòu)建出實物電路、實際測量數(shù)據(jù)、總結(jié)分析，系統(tǒng)有步驟地提高學生的實驗動手操作能力和獨立思考能力，激發(fā)學習熱情，使學生變被動學習為主動學習，從而達到培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維的目的。

另外，MapleSim相比于Matlab等傳統(tǒng)仿真軟件又有其自身的特點。MapleSim基于數(shù)學軟件Maple強大的數(shù)值和符號數(shù)學引擎，提供了大量其他工具不具備的功能，如自動生成符號形式的系統(tǒng)方程和實時仿真代碼，通過查看這些方程可加深對非線性電路的理解。符號計算正在成為最重要的新一代建模技術(shù)之一，它為模型方程提供了極大的靈活性，以及更好地管理模型，更快地得到計算結(jié)果。使用MapleSim，學生無需將模型轉(zhuǎn)換為數(shù)學方程然后用信號流方塊圖表示，僅需要在建模界面上簡單地使用代表物理模型的建模元件重建系統(tǒng)框圖，并且還可以從基本原理出發(fā)直接創(chuàng)建新的建模元件，無需使用復雜的、容易出錯的、耗時的編程方式。這些優(yōu)點能夠彌補傳統(tǒng)仿真軟件在教學中的不足之處。

4 結(jié)束語

運用MapleSim仿真軟件自帶的電子元件庫建立蔡氏混沌電路模型，調(diào)節(jié)參數(shù)運行仿真觀察到了奇怪吸引子，加深了對非線性現(xiàn)象的理解。通過蔡氏電路仿真的實例，可以看到基于MapleSim軟件的電路實驗教學可以引入綜合性、設計性的元素，有利于培養(yǎng)和提高學生的創(chuàng)新思維能力。

參考文獻

[1]張建忠.用Matlab數(shù)值模擬非線性電路混沌實驗[J].實驗技術(shù)與管理，2007（11）：86-91.

[2]杜宇上，肖化.基于Multisim的混沌電路仿真實驗[J].實驗室研究與探索，2013（1）：42-45.