李文啟，郭為民，楊 明，魏 強，程鳳璐

（1.國網(wǎng)河南省電力公司，鄭州 450052；2.國網(wǎng)河南省電力公司電力科學研究院，鄭州 450052；3.山東大學電氣工程學院，濟南 250061）

0 引言

機組組合是電力系統(tǒng)運行調(diào)度體系中的關鍵環(huán)節(jié)，與在線經(jīng)濟調(diào)度相比，其對系統(tǒng)運行經(jīng)濟性的提升效果更為顯著［1－5］。由于電力系統(tǒng)運行中存在發(fā)、輸電設備隨機故障等不確定性因素［6－7］，在機組組合過程中配置一定的旋轉(zhuǎn)備用，是提高系統(tǒng)運行可靠性水平的一種有效手段，但是配置過多旋轉(zhuǎn)備用可能會導致系統(tǒng)發(fā)電成本提高。因此，合理配置旋轉(zhuǎn)備用就成為學術界、工業(yè)界關注的焦點問題［8－9］。

本文提出一種有效的以失負荷概率上限為約束的快速啟發(fā)式機組組合算法。該算法的特點在于其快速性與魯棒性，即使是含有上百臺機組的系統(tǒng)并且考慮高階故障，該算法可在較短時間內(nèi)給出最優(yōu)或次優(yōu)的但必定為可行的解算結果，從而使以失負荷概率為約束的機組組合方法在計算耗時上具有了與傳統(tǒng)確定性機組組合方法相近的優(yōu)勢，利于該類方法在生產(chǎn)實際中的推廣應用。

1 問題描述

失負荷概率通常是指給定時間跨度內(nèi)由于機組故障等各類擾動事件造成用戶供電中斷的概率［10］。由于該指標直接反應系統(tǒng)運行的可靠性，因而把它作為機組組合問題的約束條件將比采用備用約束更加直觀與合理［11］。計及失負荷概率約束的機組組合模型可以如下描述。

決策目標為機組包括發(fā)電及啟動成本在內(nèi)的運行成本最小的表達式為：

式（1）中右邊第2項為發(fā)電機組的啟動成本，與停機時長有關，此處采用非線性函數(shù)表示為：

式中：φi為啟動成本中的固定成本部分；βi為冷啟動成本，Γi為機組的熱時間常數(shù)，反映機組的冷卻速度。

尋求目標函數(shù)最小化的過程中必須滿足如下約束條件。

功率平衡約束為：

式中：Dt為時段t的負荷需求。

發(fā)電機輸出功率上、下限約束為：

采用確定性備用配置策略的機組組合方法還規(guī)定了系統(tǒng)的最小備用需求約束（即容量約束）：

而對于以失負荷概率上限為約束的機組組合方法，系統(tǒng)最小備用需求約束式（5）將被失負荷概率約束所替代，即要求：

除上述約束外，機組組合模型還應包括最小開停機時間約束。由于該類約束將在所采用的拉格朗日松弛法的單機動態(tài)規(guī)劃階段計及，因而并不需要將其解析表達［12－13］。

上述即為對計及失負荷概率約束機組組合問題的描述，其中，式（6）是該模型的關鍵。對于任何一種給定的機組組合方式，系統(tǒng)失負荷概率可通過構建系統(tǒng)的發(fā)電容量停運概率表（COPT，Capacity Outage Probability Table）進行求?。?0］。然而，由于優(yōu)化前無法預知機組的組合方式，失負荷概率函數(shù)L（u）實際上是難以事先給出的。而文獻［14］引入附加｛0，1｝整數(shù)變量、文獻［12］、［15］和［16］采用備用與失負荷概率擬合的方式，其根本出發(fā)點均是希望優(yōu)化前在機組啟停決策變量與失負荷概率之間建立直接的函數(shù)對應關系，從而可采用統(tǒng)一優(yōu)化方法進行求解。然而，這些方法要么計算效率不高，要么無法保證解的可行性。

2 一種快速啟發(fā)式算法

2.1 總體流程

由于無法預知機組組合方式，從而確定備用與系統(tǒng)失負荷概率之間的對應關系，這里采用計及備用約束的常規(guī)機組組合與系統(tǒng)運行可靠性評估迭代求解的啟發(fā)式算法。算法初始化時將系統(tǒng)在各個時段的備用需求置為零，利用拉格朗日松弛法進行無備用約束的機組組合預決策。在此基礎上，根據(jù)機組組合預決策結果以及給定的最大允許失負荷概率對系統(tǒng)在各個時段的備用需求進行估計，進而進入下一次計及備用約束的機組組合計算，開始機組組合與運行可靠性評估的迭代過程。在該過程中，當一次機組組合計算完成后，若在線機組所能提供的備用容量無法滿足當前機組組合方式下維持給定系統(tǒng)運行可靠性水平所需的備用容量，則更新備用需求，重新進行計及備用約束機組組合的計算，反之，則算法收斂，計算結束。算法總體流程如圖1所示。

2.2 計及備用約束機組組合問題的求解

求解計及備用約束機組組合問題是上述算法的重要組成部分，此處采用拉格朗日松弛法進行求解。在機組組合問題的優(yōu)化模型中，功率平衡約束與備用需求約束導致各機組的決策相互關聯(lián)，無法單獨進行，而拉格朗日松弛法的求解思路便是將這兩類約束進行松弛，使松弛后的問題可以對各臺機組獨立求解。

基于問題描述部分所給出的機組組合模型，利用拉格朗日乘子對約束式（3）與約束式（5）進行松弛，松弛后優(yōu)化模型的目標函數(shù)為：

圖1 快速啟發(fā)式算法總體流程圖

式中：L為拉格朗日函數(shù)；λt、μt分別為功率平衡約束與備用需求約束對應的拉格朗日乘子，其值非負。

該目標函數(shù)在λt、μt給定時，去除對決策無影響的常數(shù)項后，可表示為：

由此可見，此目標函數(shù)是對機組可分的。在進行最小化該目標函數(shù)時需遵從機組輸出功率上下限約束以及機組的最小開停機持續(xù)時間約束。由于此兩類約束同樣屬于單機約束，因而松弛后可對每臺機組單獨求解。

然而，對原問題松弛后，問題的可行域?qū)龃?，因而松弛后問題的解并不一定總在原問題的可行域內(nèi)。如果松弛后問題的解不在原問題可行域內(nèi)，那么迭代過程中需增大拉格朗日乘子，加大對違背約束的懲罰力度，促使松弛后問題的解趨向于原問題的可行域。如果松弛后問題的解在原問題可行域內(nèi)，那么松弛后問題的目標函數(shù)是在原問題目標函數(shù)基礎上減去非負項得到的，因而，松弛后問題的解實際上是原問題解的下限。此時，在循環(huán)過程中，將以使式（7）值最大化為目標更新拉格朗日乘子，此時所形成的最大最小問題被稱為原問題的對偶問題。當對偶問題與原問題的目標函數(shù)值之差（對偶間隙）小于給定值時，則算法收斂。

拉格朗日松弛法求解計及備用約束機組組合問題的流程如圖2所示。各模塊具體功能及實現(xiàn)方法如下。

1）初始化 初始化部分采用優(yōu)先級表法［17］確定機組啟停初值，并在此基礎上通過經(jīng)濟調(diào)度程序確定乘子λt初值；乘子μt初值設為0。

2）單機動態(tài)規(guī)劃 依據(jù)乘子λt、μt的值，對每臺機組采用動態(tài)規(guī)劃法［17］求解松弛后問題，得到新的啟停機計劃。

3）備用需求約束檢驗 檢驗新的啟停機計劃是否能夠滿足備用需求約束。

4）更新乘子μt若備用需求約束不能滿足，則需增大μt，重新進行單機動態(tài)規(guī)劃過程。μt更新按次梯度方向，步長選擇及加速收斂的方法可參考文獻［13］。

5）經(jīng)濟調(diào)度計算 若備用需求約束滿足，則進行經(jīng)濟調(diào)度，得到新的乘子λt。

6）收斂標準檢驗 檢驗此時原問題與對偶問題目標函數(shù)的差值，若小于預設值，程序收斂。

7）重置乘子μt若收斂標準沒有達到，則將μt重新置零，合并最新得到的乘子λt，代入模塊（2）重新進行單機動態(tài)規(guī)劃計算。

2.3 備用需求的更新

本文算法的另一個重要部分是備用需求的更新。備用需求的更新主要包括3個環(huán)節(jié)：首先是根據(jù)當前機組組合方式構建發(fā)電容量停運概率表；其次是根據(jù)給定的失負荷概率上限從發(fā)電容量停運概率表中截取到對應的備用需求容量；最后是對估計得到的當前備用需求與當前在線機組能夠提供的備用容量進行比較，判斷程序是否收斂并形成下次迭代的備用需求容量。

發(fā)電容量停運概率表如表1所示。其中，第一列為升序排列的系統(tǒng)可能出現(xiàn)的停運容量；第二列為與停運容量對應的發(fā)生概率。

表1 發(fā)電容量停運概率表

圖2 拉格朗日松弛法流程圖

根據(jù)發(fā)電容量停運概率表，時段t系統(tǒng)的失負荷概率指標Lt可表示為：

式中：Mt為時段t在線機組所對應的發(fā)電容量停運概率表的總行數(shù)，即系統(tǒng)可能存在的運行狀態(tài)總數(shù)；m為狀態(tài)序號；為狀態(tài)m發(fā)生的概率；為狀態(tài)m下是否有失負荷的情況發(fā)生，有取1，無取0；Δ為狀態(tài)m下的停運容量；Rt為系統(tǒng)在時段t的備用容量。

對于某一時段，當機組組合方式對應的系統(tǒng)失負荷概率指標高于給定的允許值時，說明當前時段在線機組所提供的備用容量無法滿足要求，機組組合應向備用容量增多的方向發(fā)展。這里用當前機組組合方式下滿足給定失負荷概率約束的備用容量來估計下一次迭代過程中系統(tǒng)的備用需求，將備用需求的調(diào)整步長ΔRt設定為：

對于任意時段t，系統(tǒng)備用需求的更新流程如圖3所示。

3 解的可行性及最優(yōu)性

啟發(fā)式算法應在保證解算結果的可行性同時，盡量提高解的優(yōu)化程度。本文算法的收斂條件設定為某次迭代過程中，已得機組組合方式對應的備用容量能夠滿足此方式下根據(jù)發(fā)電容量停運概率表以及給定的系統(tǒng)失負荷概率上限所確定的備用需求。在此條件下，如果算法收斂，那么解算結果顯然能夠滿足系統(tǒng)的失負荷概率上限約束及其他機組組合相關約束，這樣的結果當然是可行的。

圖3 備用更新流程圖

于此同時，對于計及失負荷概率約束機組組合問題的迭代式求解方法［11］，備用以較小步長（如1MW）增長無疑是較為穩(wěn)妥的，可能得到較優(yōu)的結果，但顯然此法計算效率不高。所以，在所設計的迭代算法中，直接根據(jù)當次迭代的機組組合情況按給定失負荷概率上限求得下次迭代過程中的備用需求。這種備用方法是基于如下認識：在相同備用條件下，機組增多會使系統(tǒng)的失負荷概率增大。實際上，在一定系統(tǒng)備用情況下，新增機組增加了系統(tǒng)發(fā)生事故的可能性，由此，在相同備用容量下必然會增加系統(tǒng)的失負荷概率。

在半對數(shù)坐標系下，在總容量為344 MW的10機系統(tǒng)中相繼加入3臺容量為76 MW機組時，備用容量與失負荷概率之間的關系曲線如圖4所示。

圖4說明了隨著新機組的加入，在任意給定的備用容量情況下系統(tǒng)的失負荷概率均會上升。因而，當在第k次迭代過程中確定了k＋1次迭代的備用需求后，若k＋1次迭代機組組合結果有新機組投入運行，要維持相同的失負荷概率，備用需求量一定會增加，故可以認為第k次迭代按式（9）確定的備用需求增長步長是適中的。盡管如此，在采用迭代算法時，算法收斂后仍需嘗試進行減機組操作，以防配置過多的備用容量［11，18］。減機組操作流程如圖5所示。圖5中，邊際機組按機組組合完成前最后一次經(jīng)濟調(diào)度計算得到的機組邊際成本高低排序選取。

圖4 備用容量與失負荷概率關系圖

圖5 減機組流程

4 算例分析

通過對單區(qū)域及多區(qū)域RTS-96系統(tǒng)進行測試，可以驗證所提方法的有效性。RTS-96系統(tǒng)中含有26臺火電機組，機組運行特性及成本參數(shù)見文獻［19］，機組可靠性參數(shù)見文獻［20］。計算發(fā)電容量停運概率表時，要求截斷誤差小于10－7。在單區(qū)域及多區(qū)域測試系統(tǒng)中，要保證該截斷誤差，均需考慮三階故障全部及部分的四階故障。

采用文獻［11］與本文方法分別對單區(qū)域RTS-96系統(tǒng)進行機組組合計算。機組初始啟停狀態(tài)及已開停機時間見表2。表2中，“＋”表示開啟，“－”表示關閉，數(shù)字表示狀態(tài)持續(xù)時間。系統(tǒng)在24 h內(nèi)的負荷需求變化見表3。假設各個時段中系統(tǒng)允許的失負荷概率上限均為5×10－5。

表2 機組初始狀態(tài) h

表324 h負荷需求 MW

采用文獻［11］與本文方法決策得到的機組啟停計劃相同（見圖6）。圖6中，0表示停機，1表示開機。在計算時間上，采用文獻［11］方法計算用時3516.14 s，本文方法計算用時8.37 s，計算速度提升顯著。

圖6 單區(qū)域RTS-96系統(tǒng)機組組合結果

計算效率的提升源自備用更新方法的改進，采用本文備用更新方法，僅需進行二次迭代。這里用第11 h的備用更新情況進行說明。初始時，系統(tǒng)要求的備用容量為0 MW，進行無備用約束的機組組合計算，得到第11 h機組組合方式對應的備用容量為96 MW。在此情況下，對系統(tǒng)可靠性進行分析，發(fā)現(xiàn)要將失負荷概率控制在5×10－5以下，需要備用容量為400 MW。因而，當前系統(tǒng)的失負荷概率上限約束無法滿足，需進行下一次迭代。在第二次迭代中常規(guī)機組組合的備用容量下限約束定為400 MW，而經(jīng)過機組組合計算所得的機組組合方式能夠提供備用容量為435 MW。此時，為滿足當前機組組合方式下的失負荷概率上限約束，需要提供的備用容量為420 MW。由于系統(tǒng)能夠提供的備用容量大于維持系統(tǒng)運行可靠性所需的備用容量，因而該次迭代得到的機組組合方式能夠滿足失負荷概率上限約束，程序收斂。

為進一步檢驗本文算法的計算效率，對2區(qū)域、3區(qū)域、4區(qū)域、6區(qū)域及8區(qū)域RTS-96系統(tǒng)進行測試，負荷水平均參照單區(qū)域系統(tǒng)倍增。測試結果如表4所示。

表4 算法比較結果

從表4可以看出，對于各種情況，本文方法均可在較少的迭代次數(shù)內(nèi)收斂，計算時間較短，能夠滿足機組組合問題對計算效率的要求。其中，對8區(qū)域系統(tǒng)的計算時間較對6區(qū)域系統(tǒng)的計算時間增長較多，這主要是由于隨著機組數(shù)目的增多，機組組合問題的求解時間增長較為明顯。同時，由于負荷的增長，在線機組的增多，使形成發(fā)電容量停運概率表的工作量增長顯著，從而導致較長的計算時間。但盡管如此，15 min左右的計算時長對于機組組合問題而言是可以接受的。

5 結語

本文提出了一種求解計及失負荷概率約束機組組合問題的新的啟發(fā)式算法。算法采用給定備用需求約束機組組合與系統(tǒng)運行可靠性評估的迭代求解策略進行模型求解，并在求解過程中，充分認識到隨著在線機組數(shù)量的增多，維持相同系統(tǒng)失負荷概率所需的備用容量亦會增多這一規(guī)律。利用當前所得機組組合信息對系統(tǒng)實際所需的備用容量進行估計，提高了備用需求的更新速度，使算法在保持較高計算精度的同時，總體計算效率大幅提高。通過對單區(qū)域及多區(qū)域RTS-96系統(tǒng)的測試計算，驗證了算法的有效性。

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