王 娜,胡麗平,李炳軍

(河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與管理科學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450000)

在灰色決策理論與技術(shù)中,以決策信息為區(qū)間灰數(shù)情況下的研究最為活躍,相關(guān)研究成果不斷涌現(xiàn)[1～5].然而,在區(qū)間灰數(shù)決策問(wèn)題研究中,用區(qū)間灰數(shù)表示決策信息時(shí),為了覆蓋整個(gè)取值范圍,區(qū)間灰數(shù)的上限與下限常常會(huì)取的過(guò)大,造成決策的不確定性程度增大.文獻(xiàn)[6]提出了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的概念,即除了取值區(qū)間外,還可以獲知灰數(shù)的最可能取值點(diǎn),為區(qū)間灰數(shù)決策問(wèn)題研究指出了新的途徑.此后,相繼出現(xiàn)了一系列關(guān)于三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策問(wèn)題的研究成果.文獻(xiàn)[7]通過(guò)構(gòu)建三參數(shù)區(qū)間數(shù),改進(jìn)了項(xiàng)目決策評(píng)價(jià)方法；文獻(xiàn)[8]探討了方案指標(biāo)值為區(qū)間灰數(shù)且灰數(shù)取值可能性最大數(shù)已知的決策問(wèn)題；文獻(xiàn)[9]提出了三參數(shù)區(qū)間值模糊集上的TOPSIS決策方法；文獻(xiàn)[10]通過(guò)定義三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序之間的偏差函數(shù),給出了一種確定決策者權(quán)重向量的有效方法；文獻(xiàn)[11]提出了一種基于相對(duì)優(yōu)勢(shì)度的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的排序方法,并應(yīng)用于變量為三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型；文獻(xiàn)[12]建立了基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)熵測(cè)度的屬性權(quán)重模型,并構(gòu)建了依據(jù)TOPSIS思想的不確定性決策框架.這些研究成果豐富和深化了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策理論,為本研究提供了借鑒.信息熵可表示系統(tǒng)的有序程度,用以解決信息的量化度量問(wèn)題[13].近年來(lái),信息熵已被廣泛應(yīng)用到多個(gè)行業(yè),用來(lái)對(duì)不穩(wěn)定數(shù)據(jù)進(jìn)行修正,從而降低不穩(wěn)定性對(duì)結(jié)果的主觀性影響.本研究將三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策問(wèn)題與信息熵相結(jié)合,構(gòu)建三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離熵模型,以期解決灰色決策問(wèn)題中三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)屬性的賦權(quán)問(wèn)題,并借助相關(guān)實(shí)例,驗(yàn)證模型的有效性和適用性.

1 三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)及灰距離熵模型

1.1三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)及運(yùn)算

記x(?)∈[xL,x*,xU](0

類似于區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)[14],可定義三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算.設(shè)a(?)∈[aL,a*,aU](0

加法運(yùn)算：a(?)+b(?)=[aL+bL,a*+b*,aU+bU]

減法運(yùn)算：a(?)-b(?)=[aL-bU,a*-b*,aU-bL]

a(?)-a(?)=[aL-aU,0,aU-aL]

乘法運(yùn)算：

a(?)·b(?)=[min(aLbL,aLbU,aUaL,aUbU),a*b*,max(aLbL,aLbU,aUaL,aUbU)]

指數(shù)運(yùn)算：ca(?)=[caL,ca*,caU],c為正實(shí)數(shù)，a(?)為正區(qū)間灰數(shù)

乘方運(yùn)算：[aL,a*,aU]n=[(aL)n,(a*)n,(aU)n]

1.2三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵

信息熵是信息論中的重要概念,是系統(tǒng)紊亂程度的測(cè)度.對(duì)一個(gè)具體的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),如果這個(gè)系統(tǒng)隨機(jī)性很大、非常混亂、毫無(wú)秩序,則此系統(tǒng)的信息熵就一定很大；反之,如果一個(gè)系統(tǒng)是確定的、具有一定的規(guī)則、服從一定的秩序,則此系統(tǒng)的信息熵就一定小.SHANNONCE[13]提出了信息熵的公式：

(1)

Pi表示隨機(jī)事件i發(fā)生的概率;n表示事件的個(gè)數(shù).

類似信息熵定義,參照[15]和[16],定義三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離熵.令a(?)=?1,b(?)=?2,a(?)和b(?)中的aL=a,a*=m,bU=b，bL=c,b*=n,bU=d,定義三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)?1∈[a,m,b](0

(2)

為三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)?1和?2的距離熵.灰距離熵不是?1和?2之間距離的大小,而是2者接近度的度量.

定理1三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)?1和?2越接近,灰距離熵H(D)就越大,當(dāng)?1=?2時(shí)(即a=c,b=d,m=n),H(D)最大；?1和?2越遠(yuǎn)離,H(D)就越小.

H(d1)=-P1lnP1-(1-P1)ln (1-P1).

對(duì)H(d1)求P1的導(dǎo)數(shù),H(d1)′=-lnP1-1+ln(1-P1)+1,

同理,b=d時(shí),H(d2)最大,maxH(d2)=ln 2；m=n時(shí),H(d3)最大,maxH(d3)=ln 2.

因此,當(dāng)a=c,b=d,m=n時(shí),距離熵H(D)最大,

H(d1)]=ln 2.

同理可證,當(dāng)?1和?2越遠(yuǎn)離時(shí),H(D)就越小.

2 三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵的應(yīng)用

2.1三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策問(wèn)題及屬性權(quán)重的確定

在多屬性決策中,所有方案在同一屬性下的屬性值差異越小,則說(shuō)明該屬性對(duì)決策的影響越?。环粗?則說(shuō)明該屬性對(duì)決策的影響越大.從這個(gè)角度考慮,方案屬性值差異度越大的屬性應(yīng)賦予較大的權(quán)重.由三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵的定義及定理1可知,三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)?1和?2越接近,灰距離熵H(D)就越大,當(dāng)?1=?2時(shí),H(D)最大；?1和?2越遠(yuǎn)離,H(D)就越小.因此對(duì)于屬性值是三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的多屬性決策問(wèn)題,其每一個(gè)屬性值的差異性就可以用三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離熵來(lái)表示.對(duì)于屬性Uj,若方案Ai與其他方案的偏差用Dij表示,可定義：

(3)

(4)

對(duì)于屬性Uj而言,Dj表示每個(gè)方案與其他方案的灰距離熵總偏差.所有方案在屬性Uj下灰距離熵偏差越大,說(shuō)明該屬性指標(biāo)對(duì)方案決策和排序所起的作用越??；反之,所有方案在屬性Uj下灰距離熵偏差越小,說(shuō)明該屬性對(duì)方案決策和排序所起的作用越大.因此,從對(duì)方案進(jìn)行排序的角度考慮,方案綜合屬性值灰距離熵越小的屬性Uj,就認(rèn)為它辨識(shí)度越好,而盡可能地賦予它較大的權(quán)重.對(duì)所有的屬性Uj,若使所有待評(píng)方案與其他決策方案的灰距離熵最小,則得到的各屬性的權(quán)重一定是優(yōu)化的,即屬性權(quán)重的賦權(quán)模型為：

(5)

2.2實(shí)例分析

某大型體育館有A1,A2,A3,A44種備選方案,根據(jù)U1～U55種屬性(屬性分別為質(zhì)量、成本、工期、安全、施工難度)進(jìn)行決策,請(qǐng)多位專家分別給出權(quán)重區(qū)間和屬性矩陣,各屬性值以三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)形式給出,則每個(gè)屬性值權(quán)重的取值分別為：

ω1∈[0.12,0.15],

ω2∈[0.23,0.35],

ω3∈[0.10,0.15],

ω4∈[0.32,0.40],

ω5∈[0.10,0.18].

各方案的屬性值如表1所示,數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[7].

表1 各方案屬性值

歸一化處理成標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間數(shù)決策矩陣：

利用公式(2)計(jì)算各屬性值下4種方案之間的灰距離熵,結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 屬性Uj的灰距離熵

基于表2,由式(3)和式(4)得：

7.813 602ω1(k≠i)

從而得：

D=7.813 602ω1+8.187 492 6ω2+8.230 949 4ω3+

8.193 477 6ω4+8.173 378 4ω5

由式(5)，區(qū)間權(quán)重的賦權(quán)模型為：

應(yīng)用LINGO程序,求解得到屬性權(quán)重為：

ω1=0.15,ω2=0.25,ω3=0.10,ω4=0.32,ω5=0.18.

這樣,決策就轉(zhuǎn)化為權(quán)重已知情況下的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)多屬性決策問(wèn)題,應(yīng)用灰色多屬性決策的理想解法[17],加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣為：

進(jìn)一步求得,方案A1,A2,A3,A4的相對(duì)貼近度為：

C1=0.514 4;C2=0.341 7;C3=0.655 4;

C4=0.486 7.

根據(jù)相對(duì)貼近度的大小,各方案的最終排序?yàn)锳3>A1>A4>A2.方案3為最優(yōu)方案.與文獻(xiàn)[7]結(jié)果一致.本研究運(yùn)用灰距離熵模型對(duì)多屬性決策的屬性進(jìn)行賦權(quán),一定程度上減少了主觀因素對(duì)權(quán)重的影響,使結(jié)果更為優(yōu)化合理和說(shuō)服力.

3 結(jié)語(yǔ)

在現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題中,三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)廣泛存在.本研究借助信息熵理論,建立了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵模型,證明了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)與灰距離熵之間的關(guān)系,及灰距離熵的相關(guān)性質(zhì).針對(duì)具有三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)特征的多屬性決策問(wèn)題,根據(jù)離差最大化思想和三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵模型,給出了一種新的屬性賦權(quán)模型,并結(jié)合具體實(shí)例,驗(yàn)證了該賦權(quán)模型的適用性,為三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)多屬性決策提供了一種新的屬性賦權(quán)方法.同時(shí),本研究所建立的灰距離熵模型,也可應(yīng)用于多屬性決策問(wèn)題的屬性篩選,以及多指標(biāo)評(píng)價(jià)問(wèn)題的指標(biāo)體系約簡(jiǎn).

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