韋 鵬， 申永軍， 楊紹普

(石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 河北 石家莊 050043)

引 言

分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算包括分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階積分運(yùn)算，其含義就是將常規(guī)微積分運(yùn)算的階次從傳統(tǒng)的整數(shù)階推廣到分?jǐn)?shù)階和復(fù)數(shù)階的情況。從1695年Leibniz與Hospital的最早研究開始，發(fā)展至今已經(jīng)有300多年歷史。在這個(gè)過程中，很多學(xué)者圍繞著分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)和特點(diǎn)展開了研究，在基礎(chǔ)理論方面取得了較大的進(jìn)展[1,2]。同時(shí)，分?jǐn)?shù)階微積分也可以用來解決工程中的科學(xué)問題，例如：模擬含記憶特性的工程材料的本構(gòu)關(guān)系，分?jǐn)?shù)階微積分的引入能夠更加準(zhǔn)確地反映材料的真實(shí)本構(gòu)關(guān)系；由于分?jǐn)?shù)階反饋和傳統(tǒng)的整數(shù)階反饋相比具有控制精確、魯棒性更好、抗噪聲能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，因此在控制系統(tǒng)中人為引進(jìn)分?jǐn)?shù)階反饋項(xiàng)能夠提高系統(tǒng)的控制效果。

目前對(duì)于分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的研究主要分為三類[3～13]，分別是解析、定性和數(shù)值的研究。其中解析研究主要目的是找到系統(tǒng)的近似解并進(jìn)行定量分析，定性研究主要研究解的數(shù)目和穩(wěn)定性的變化，數(shù)值研究則偏重于穩(wěn)定可靠的數(shù)值計(jì)算方法或者直接數(shù)值分析分?jǐn)?shù)階微分方程的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。申永軍、楊紹普等人研究了一些含分?jǐn)?shù)階微分的線性和非線性振子[3～6]，分析了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)中各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。李媛萍[7]等人對(duì)分?jǐn)?shù)階van der Pol-Duffing系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)在地震荷載作用下，分?jǐn)?shù)階次的變化能改變系統(tǒng)的輸出能量。廖少鍇和張衛(wèi)利用Newmark法研究了一些非線性分?jǐn)?shù)階微分振子的動(dòng)力學(xué)行為并推廣到Duffing系統(tǒng)[8,9]，建立了高效率的數(shù)值計(jì)算格式。陳林聰和朱位秋等人研究了諧和與寬帶噪聲聯(lián)合激勵(lì)下含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子和其它非線性振子的隨機(jī)平穩(wěn)響應(yīng)[10～12],驗(yàn)證了解析方法的準(zhǔn)確性。劉崇新等人提出了基于Lyapunov方程的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定理論的控制方法[13]，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制器。

目前在大量對(duì)分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行解析研究的文獻(xiàn)中一般是直接將分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)當(dāng)作阻尼來進(jìn)行處理，這是不恰當(dāng)?shù)?。由申永軍、楊紹普等人對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的解析研究發(fā)現(xiàn)[3～6]，動(dòng)力系統(tǒng)中的分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)不僅起到阻尼的作用還起到剛度的作用。本文以含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子為對(duì)象，研究分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)1/3次亞諧共振動(dòng)力學(xué)特性的影響。利用平均法建立了系統(tǒng)的一次近似解析解，同時(shí)通過分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)和階次對(duì)等效線性阻尼和等效線性剛度的影響，研究了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的1/3次亞諧共振解的存在條件、定常解穩(wěn)定性條件和幅頻特性的影響。

1 分?jǐn)?shù)階Duffing振子的1/3次亞諧共振近似解

研究如下含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子

(1)

式中m,k,c,α1,F1,ω分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、線性剛度、線性阻尼、非線性剛度系數(shù)、激勵(lì)幅值和頻率，K1(K1>0)和p(0≤p≤1)分別是分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)和階次。分?jǐn)?shù)階微分的定義方式有多種，這里采用Caputo型分?jǐn)?shù)階微分定義

(2)

式中Γ(x)為Gamma函數(shù)，滿足Γ(x+1)=xΓ(x)。

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行如下坐標(biāo)變換：

式(1)變?yōu)?/p>

(3)

(4)

假設(shè)式(4)的解具有如下形式：

其中

根據(jù)平均法在[0,T]區(qū)間上對(duì)式(6)進(jìn)行積分平均：

積分平均時(shí)，可取T=2π(若Pi(a,θ)(i=1,2)是周期函數(shù))或者T=∞(若Pi(a,θ)(i=1,2)是非周期函數(shù))。對(duì)式(7)第一部分積分得到：

對(duì)式(7)第二部分積分得到：

引入兩個(gè)基本公式[4]：

(11)

利用坐標(biāo)變換s=t-u，ds=-du得到

(12)

(13)

(14)

利用類似的方法，發(fā)現(xiàn)當(dāng)T→∞

(15)

因此

(16)

(17)

于是得到

(18a)

(18b)

結(jié)合式(8)和(18)得到

代入原系統(tǒng)參數(shù)得到

其中

分別定義為1/3次亞諧共振時(shí)的等效線性阻尼和等效線性剛度。

分析式(21)可知，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)K1和階次p對(duì)等效線性阻尼和等效線性剛度都有重要的影響。分?jǐn)?shù)階系數(shù)K1與等效線性阻尼和等效線性剛度成線性關(guān)系，因此分?jǐn)?shù)階系數(shù)K1的大小影響著系統(tǒng)響應(yīng)幅值的大小和系統(tǒng)共振頻率的大小。更重要的是分?jǐn)?shù)階階次p對(duì)等效線性阻尼和剛度的影響，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次p→1時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)幾乎等同于線性阻尼，等效線性阻尼趨近于極大值c+K1，系統(tǒng)響應(yīng)的幅值會(huì)較??；當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次p→0時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)幾乎等同于線性剛度，等效線性剛度趨近于極大值k+K1，系統(tǒng)共振頻率會(huì)較大，同時(shí)等效線性阻尼趨近于極小值c，系統(tǒng)響應(yīng)幅值也會(huì)較大。這些特性與人們的直觀感覺是一致的。從式(21)中，還可以發(fā)現(xiàn)等效線性阻尼和等效線性剛度與激勵(lì)頻率也存在著一定關(guān)系。

2 1/3次亞諧共振解的存在條件和定常解的穩(wěn)定性分析

2.1 1/3次亞諧共振解的存在條件

(22a)

(22b)

(23)

以及相頻曲線方程

(24)

(25)

令

則式(25)變換為

A1ρ2+B1ρ+C1=0

(26)

求解式(26)得到

(27)

根據(jù)上式得到系統(tǒng)1/3次亞諧共振解的存在條件

(28)

從而由式(28)的兩個(gè)不等式可以得到定常解的存在條件如下

(29)

將

代入式(29)得到

(30)

研究式(30)，可以得到分?jǐn)?shù)階參數(shù)對(duì)定常解存在條件的影響。同時(shí)，還可以發(fā)現(xiàn)定常解的存在條件與激勵(lì)頻率也存在著一定關(guān)系。

2.2 定常解穩(wěn)定性分析

(32)

其中

于是得到特征方程

(33)

由于C(p)>0，因此可以得到定常解的穩(wěn)定性條件為

(34)

式中R定義為穩(wěn)定性條件參數(shù)。

展開式(34)并化簡(jiǎn)得到

(35)

由式(35)可以發(fā)現(xiàn)，幅頻曲線存在兩個(gè)定常解時(shí)，上枝是漸進(jìn)穩(wěn)定的，而下枝是不穩(wěn)定的。這與傳統(tǒng)整數(shù)階Duffing振子的亞諧共振情況是一致的。

3 數(shù)值仿真

選取一組基礎(chǔ)參數(shù)：m=5，k=45，c=0.2，α1=15，F(xiàn)1=200，K1=1，p=0.5，根據(jù)(5)式和(25)式得到系統(tǒng)的幅頻曲線如圖1所示，其中實(shí)線表示穩(wěn)定解，虛線表示不穩(wěn)定解。為了驗(yàn)證解析結(jié)果的準(zhǔn)確性，參照文獻(xiàn)[1]中的分?jǐn)?shù)階數(shù)值解法，對(duì)分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)亞諧共振的幅頻曲線進(jìn)行數(shù)值分析。首先，引入數(shù)值解法的近似公式

(36)

(37)

在運(yùn)用Matlab的計(jì)算過程中，取步長(zhǎng)h=0.005，計(jì)算時(shí)間t=200 s，將前160 s響應(yīng)值略去，取后40 s的響應(yīng)最大幅值為穩(wěn)定幅值，所得數(shù)值結(jié)果如圖1中圓圈所示?？梢?，近似解與數(shù)值解符合效果較好，說明本文得到的結(jié)果具有較高的精度。

圖1 系統(tǒng)近似解與數(shù)值解幅頻曲線的比較

3.1 1/3次亞諧共振解的存在條件

根據(jù)式(30)，得到分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)和分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次對(duì)1/3次亞諧共振解的存在條件的影響圖，分別如圖2和3所示。

圖2表示當(dāng)p=0.5時(shí)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)K1對(duì)系統(tǒng)1/3次亞諧共振解的存在條件的影響。其中K1=0表示整數(shù)階Duffing亞諧共振周期解的存在條件。從圖2中可以看出，隨著分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)K1的增大， 1/3次亞諧共振的存在區(qū)域逐漸減小。分析發(fā)現(xiàn)，K1的增大會(huì)導(dǎo)致等效線性阻尼的增大，根據(jù)文獻(xiàn)[14]，這時(shí)1/3次亞諧共振的存在區(qū)域會(huì)減小。

圖2 K1對(duì)系統(tǒng)亞諧共振解的存在條件的影響

圖3表示K1=1時(shí)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次p對(duì)系統(tǒng)1/3次亞諧共振解的存在條件的影響。從圖3中看到，隨著分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次p的增大，滿足1/3次亞諧共振解的存在條件區(qū)域逐漸減小。分析發(fā)現(xiàn)，隨著p的增大，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的阻尼作用在逐漸增強(qiáng)。尤其是當(dāng)p=1時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)完全等同于線性阻尼，因此1/3次亞諧共振的存在區(qū)域會(huì)減少至最小。

圖3 p對(duì)系統(tǒng)次亞諧共振解的存在條件的影響

3.2 定常解的穩(wěn)定性條件

根據(jù)式(34)和(35)以及C(p)和K(p)，可以得到分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)和階次對(duì)穩(wěn)定性條件參數(shù)R的影響圖，分別如圖4和5所示。

圖4為p=0.5且ω分別為10，13，15時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)K1對(duì)穩(wěn)定性條件參數(shù)的影響。其中，虛線表示定常解不穩(wěn)定時(shí)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定性條件參數(shù)，其他線型表示定常解穩(wěn)定時(shí)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定性條件參數(shù)。由式(34)，(35)并結(jié)合圖4可知，隨著K1的增大，定常解穩(wěn)定部分的穩(wěn)定性條件參數(shù)逐漸增大，最終趨近于零。由于K1的增大會(huì)導(dǎo)致等效線性阻尼增大，因此1/3次亞諧共振穩(wěn)定幅頻曲線的存在范圍在逐漸減小。

圖4 K1對(duì)穩(wěn)定性條件參數(shù)的影響

圖5 p對(duì)穩(wěn)定性條件參數(shù)的影響

圖5表示在K1=1且ω分別為10，13，15時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)階次p對(duì)穩(wěn)定性條件參數(shù)的影響。同樣，圖5中虛線部分對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定定常解。由公式(34),(35)并結(jié)合圖5可知，當(dāng)p增大時(shí)，定常解穩(wěn)定部分的穩(wěn)定性條件參數(shù)也是逐漸增大的。分析發(fā)現(xiàn)，隨著p的增大，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的阻尼作用逐漸增強(qiáng)，將會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.3 1/3次亞諧共振幅頻曲線

根據(jù)對(duì)1/3次亞諧共振解的存在條件的分析，仍然選用原系統(tǒng)參數(shù)對(duì)比整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階的1/3次亞諧共振幅頻曲線如圖6所示。分析圖6可知，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)會(huì)引起系統(tǒng)等效線性阻尼和等效線性剛度的同時(shí)增大，從而導(dǎo)致幅頻曲線中響應(yīng)幅值的相對(duì)減小以及系統(tǒng)共振頻率的增大，在幅頻曲線上表現(xiàn)為幅值減小和幅頻曲線右移。

圖6 整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)幅頻曲線比較

圖7 K1對(duì)系統(tǒng)幅頻曲線的影響

在p=0.5的條件下，當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)K1取不同值時(shí)，得到幅頻曲線如圖7所示。分析圖7發(fā)現(xiàn)，隨著K1的增大，系統(tǒng)等效線性阻尼在逐漸增大，因此系統(tǒng)響應(yīng)幅值在逐漸減?。煌瑫r(shí)系統(tǒng)等效線性剛度也在逐漸增大，導(dǎo)致系統(tǒng)共振頻率增大，幅頻曲線向右偏移。并且不再像整數(shù)階Duffing振子那樣(幅頻曲線相互包含)，不同參數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Duffing振子的幅頻曲線出現(xiàn)了相交。

在K1=1的條件下，當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的階次p取不同值時(shí)，得到幅頻曲線如圖8所示。分析圖8可知，在p從0到1的變化過程中，系統(tǒng)等效線性阻尼逐漸增大，同時(shí)等效線性剛度逐漸減小，亞諧共振的響應(yīng)幅值也在逐漸減小，系統(tǒng)的共振頻率相應(yīng)逐漸減小。但是，根據(jù)系統(tǒng)周期解存在條件，阻尼的增大會(huì)導(dǎo)致周期解存在區(qū)域減小。二者作用相結(jié)合，使得系統(tǒng)的共振頻率增大且共振區(qū)間顯著減小，并且不同參數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Duffing振子的幅頻曲線出現(xiàn)了相交。

圖8 p對(duì)系統(tǒng)幅頻曲線的影響

4 結(jié) 論

本文利用平均法對(duì)含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing振子的1/3次亞諧共振響應(yīng)進(jìn)行了研究，借助等效線性阻尼和等效線性剛度的概念分析了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)和階次對(duì)系統(tǒng)1/3次亞諧共振解的存在條件、穩(wěn)定性條件及響應(yīng)特性的影響，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)和階次可以通過影響系統(tǒng)的等效線性阻尼，從而影響系統(tǒng)的響應(yīng)幅值，同時(shí)還可以通過影響系統(tǒng)的等效線性剛度從而影響系統(tǒng)共振頻率大小。分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)同時(shí)起到剛度和阻尼的作用，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有著重要影響。

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