馬龍祥，劉維寧，吳宗臻

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京，100044)

近年來(lái)，隨著我國(guó)高速鐵路及城市軌道交通的快速發(fā)展，車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)也得到了迅猛發(fā)展。對(duì)車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力問(wèn)題的研究，主要有時(shí)域法及頻域法之分。時(shí)域法多為數(shù)值計(jì)算方法，如翟婉明等[1-6]分別在時(shí)域內(nèi)建立的車(chē)軌耦合體系，能很好地模擬車(chē)輛和軌道耦合的各種狀態(tài)，具有很好的適用性和強(qiáng)大的分析能力，但數(shù)值積分較費(fèi)時(shí)，特別是計(jì)算頻率較高時(shí)，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)很短，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算工作量過(guò)大。頻域法多為解析或半解析法，如曹艷梅等[7-9]在輪軌Hertz 接觸彈簧合理線性簡(jiǎn)化下建立的車(chē)軌耦合模型屬于該類(lèi)方法。這類(lèi)方法雖不能解決非線性問(wèn)題，但適合于快速求解無(wú)限長(zhǎng)軌道模型(特別是周期性均勻彈性支承的無(wú)限長(zhǎng)軌道模型)和處理隨機(jī)不平順問(wèn)題，且在對(duì)高頻輪軌相互作用有關(guān)的分析中具有明顯的優(yōu)勢(shì)。由于技術(shù)上難于操作，頻域法中關(guān)于系統(tǒng)激勵(lì)的輸入常采用定點(diǎn)荷載狀態(tài)激振[7-9]，即使一條代表輪軌表面不平順的激勵(lì)帶以列車(chē)運(yùn)行速度反向通過(guò)輪軌接觸界面而進(jìn)行系統(tǒng)激勵(lì)，見(jiàn)圖1(a)。這樣的激勵(lì)輸入方式與實(shí)際情況的移動(dòng)荷載狀態(tài)激振即車(chē)輪在具有不平順的軌道結(jié)構(gòu)上向前移動(dòng)而引發(fā)系統(tǒng)振動(dòng)是不相符的，見(jiàn)圖1(b)。激振方式不同在頻域車(chē)軌耦合模型中主要體現(xiàn)在軌道結(jié)構(gòu)上輪對(duì)相互影響系數(shù)矩陣(也稱(chēng)作輪軌接觸點(diǎn)的動(dòng)柔度矩陣)的求解上。鑒于此，針對(duì)現(xiàn)有頻域法激振方式與實(shí)際不太相符的不足，本文將軌道視為周期性離散支撐的結(jié)構(gòu)，給出求解移動(dòng)荷載狀態(tài)激振下軌道結(jié)構(gòu)上輪對(duì)相互影響系數(shù)的解析方法。該解析方法以Dirac 荷載作用在鋼軌上引起鋼軌墊片中的頻域力為基礎(chǔ)，以在與列車(chē)輪載同速的移動(dòng)坐標(biāo)系下對(duì)Dirac 荷載作用下鋼軌的振動(dòng)控制方程進(jìn)行系列積分變換為核心，計(jì)算準(zhǔn)確度高，計(jì)算速度快，可用于建立更為合理的頻域車(chē)軌耦合動(dòng)力分析模型。

圖1 車(chē)軌系統(tǒng)的2 種激勵(lì)輸入方式Fig.1 Two excitation input methods of vehicle-track system

1 軌道模型及輪對(duì)相互影響系數(shù)

本文將軌道視為周期性離散支撐的周期(軌道結(jié)構(gòu)的特性在空間上按軌枕間距L 呈現(xiàn)周期性排列)結(jié)構(gòu)，以此建立的軌道模型見(jiàn)圖2。由于軌道結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，模型中僅考慮單根鋼軌所對(duì)應(yīng)的軌道結(jié)構(gòu)。具體地，模型中鋼軌視為點(diǎn)支撐的無(wú)限長(zhǎng)Euler 梁，鋼軌墊片、枕下及基礎(chǔ)支撐采用彈簧阻尼元件來(lái)模擬，軌枕和道床視為離散的質(zhì)量塊，基礎(chǔ)視為固定基礎(chǔ)。

圖2 軌道模型Fig.2 Track model

由于τ ＞t 時(shí)， h ′ ( x ′,0,t - τ)=0，式(1)的積分上限可以擴(kuò)展到無(wú)窮，有

在式(2)中對(duì)時(shí)間t 進(jìn)行傅里葉變換，將其變換到頻域，運(yùn)用卷積傅里葉變換的性質(zhì)可得

對(duì)式(3)中的ω 進(jìn)行逆傅里葉變換，有

由式(4)可知：列車(chē)以速度v 行駛時(shí)，對(duì)于列車(chē)軸分布下激振頻率為 ωl的簡(jiǎn)諧移動(dòng)輪軌力群。軌道結(jié)構(gòu)上輪對(duì)相互影響系數(shù)矩陣為

2 輪對(duì)相互影響系數(shù)的求解

在車(chē)軌耦合問(wèn)題的頻域法中，激振頻率 ωl=0 的靜輪軌力直接視為列車(chē)軸重，無(wú)需進(jìn)行相應(yīng)輪對(duì)相互影響系數(shù)矩陣的求解；而在求解某一激振頻率ωl≠ 0的簡(jiǎn)諧動(dòng)態(tài)輪軌激勵(lì)力的幅值時(shí)才需要計(jì)算輪對(duì)相互影響系數(shù)矩陣[7]。因此，本文僅研究有意義的、激振頻率ωl≠ 0時(shí)所對(duì)應(yīng)的輪對(duì)相互影響系數(shù)的求解。

2.1 輪對(duì)相互影響系數(shù)的解析表達(dá)

考慮對(duì)應(yīng)列車(chē)速度v 及激振頻率 ωl的輪對(duì)相互影響系數(shù) A( dij, ωl)的求解。從其物理意義出發(fā)，考慮一單位脈沖荷載(Dirac 荷載)在t=0 時(shí)刻作用在軌道結(jié)構(gòu)鋼軌上的移動(dòng)坐標(biāo)(x ′= x - vt)原點(diǎn)x′=0 m 處，如圖3所示。此時(shí)，移動(dòng)坐標(biāo)系下鋼軌的振動(dòng)方程為

其中： u′ 為移動(dòng)坐標(biāo)系下鋼軌的豎向位移；E*=E(1 +iη )，為考慮了鋼軌材料阻尼的復(fù)彈性模量；E 是鋼軌的實(shí)彈性模量；η 為鋼軌的損耗因子；I為鋼軌截面慣性矩；m 為鋼軌的線密度；xn為第n 個(gè)鋼軌墊片在固定坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)； F ( x ′, t)=δ (t )δ ( x′)為軌道結(jié)構(gòu)所受的外力； fn( t )為荷載F ( x ′, t)作用下，第n 個(gè)鋼軌墊片給鋼軌的支撐反力(鋼軌墊片中的力)。

圖3 作用在軌道結(jié)構(gòu)上的Dirac 荷載Fig.3 Dirac load applied on track structure

對(duì)于外荷載 F ( x ′, t)，有

即移動(dòng)的概念對(duì)于Dirac 荷載無(wú)意義(這也是圖3 中用虛線箭頭表示Dirac 荷載在“移動(dòng)”的原因所在)。因此，fn(t )實(shí)際上是軌道結(jié)構(gòu)在固定坐標(biāo)系原點(diǎn)O 處受δ ( t)作用引發(fā)的第n 個(gè)鋼軌墊片中的力，見(jiàn)圖4。

圖4 Dirac 荷載作用下鋼軌墊片中的力Fig.4 Forces in rail pads under Dirac load

定義雙重傅里葉變換為

其中：ξ 為波數(shù)；符號(hào)“～”表示波數(shù)-頻率域內(nèi)的物理量。對(duì)式(6)運(yùn)用雙重傅里葉變換，將方程變換到波數(shù)-頻率域，有

解式(9)，有

對(duì)式(10)的波數(shù)變量ξ 進(jìn)行逆傅里葉變換，將波數(shù)-頻率域內(nèi)的位移響應(yīng)變換到空間-頻率域，有

由輪對(duì)相互影響系數(shù)的物理意義，有

在實(shí)際計(jì)算中，式(12)右側(cè)無(wú)窮項(xiàng)不可能計(jì)算，而只能計(jì)算有限個(gè)墊片。但計(jì)算墊片個(gè)數(shù)足夠多時(shí)，可以得到收斂結(jié)果。不妨考慮原點(diǎn)O 兩側(cè)各N 個(gè)墊片，即包括原點(diǎn)處共計(jì)2N+1 個(gè)墊片，并將式(12)右邊分成3 項(xiàng)，有

其中：P1，P2和P3分別與式(13)中右邊的3 個(gè)積分式相對(duì)應(yīng)；p 為對(duì)應(yīng)一特定dij的鋼軌墊片編號(hào)，它使得編號(hào)為p 及p+1 的墊片坐標(biāo)滿(mǎn)足xp＜dij≤xp+1。

由圍道積分及留數(shù)定理，有

2.2 鋼軌墊片中頻域力的求解

圖5 軌道結(jié)構(gòu)基本周期單元及其構(gòu)成Fig.5 Basic periodic elements of track structure and their composition

對(duì)于圖5 所示的1 個(gè)基本周期單元，其傳遞矩陣為

其中：[ Ttrack]為1 個(gè)基本周期單元的傳遞矩陣；[ Trail]為鋼軌單元(區(qū)段)的傳遞矩陣；[ Tsupport]為支承微單元的傳遞矩陣。

對(duì)于鋼軌單元的傳遞矩陣，Gupta 等[14-15]給出了Euler 梁情形下的詳細(xì)求解方法，其可表示為

其中：等式右邊矩陣中各矩陣為該鋼軌區(qū)段動(dòng)力剛度矩陣K 的子矩陣，它們均與角頻率 ωl+vξj有關(guān)，具體求法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[14-15]。

對(duì)于支撐微單元的傳遞矩陣，可表示為[10-11]

其中：Ω = ωl+vξj；c k (Ω )為鋼軌下部支撐對(duì)應(yīng)角頻率為Ω 時(shí)的復(fù)合剛度，

ckr(Ω )= kr+icrΩ ；ckb(Ω )= kb+icbΩ ；ckf(Ω )=kf+ icfΩ ；kr和cr分別為鋼軌墊片的剛度及阻尼；ms為軌枕質(zhì)量；kb和cb分別為道床對(duì)軌枕的支撐剛度及阻尼；mb為1 個(gè)軌枕對(duì)應(yīng)的道床質(zhì)量；kf和cf分別為基礎(chǔ)對(duì)道床的支撐剛度及阻尼。

2.3 輪對(duì)相互影響系數(shù)的最終求解

3 計(jì)算分析

采用普通道砟軌道進(jìn)行計(jì)算分析，軌道的具體計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1。此外，本文輪軌力的激振頻率擴(kuò)充至500 Hz。

表1 軌道參數(shù)Table 1 Parameters of track

圖6 所示為輪對(duì)相互影響系數(shù)解析計(jì)算算法中對(duì)所計(jì)鋼軌墊片數(shù)2N+1 進(jìn)行的收斂分析結(jié)果。圖6 中以速度160 km/h 下輪對(duì)對(duì)自身(x′=0 m)影響系數(shù)的模值為例進(jìn)行示意。從圖6 可以看到：當(dāng)計(jì)算墊片數(shù)取足夠大時(shí)，輪對(duì)相互影響系數(shù)的計(jì)算結(jié)果收斂，得到的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確：當(dāng)計(jì)算11 個(gè)墊片時(shí)，| A (0,ωl)|在一些頻段還沒(méi)能收斂到準(zhǔn)確的取值，特別是在低頻段；當(dāng)計(jì)算墊片數(shù)為51，101 和401 時(shí)，| A (0,ωl)|已幾乎完全重合。對(duì)算法進(jìn)一步收斂發(fā)現(xiàn)：該解析算法使輪對(duì)相互影響系數(shù) A( x ′,ωl)計(jì)算結(jié)果收斂所需計(jì)算的墊片數(shù)在列車(chē)正常運(yùn)行速度范圍內(nèi)(0～350 km/h)對(duì)速度的變化并不敏感，但對(duì)移動(dòng)坐標(biāo)系中的距離x′的變化較敏感，具體地，隨著x′絕對(duì)值變大，所需計(jì)算墊片數(shù)也會(huì)有所增大。

圖6 計(jì)算鋼軌墊片數(shù)對(duì)輪對(duì)相互影響系數(shù)的影響Fig.6 Influence of calculated rail pad number on wheelset’s interaction coefficient

在以下計(jì)算中，考慮x′=0，2.56 及-2.56 m 時(shí)的輪對(duì)相互影響系數(shù)時(shí)的輪對(duì)相互影響系數(shù)(2.56 m 為中華之星列車(chē)的拖車(chē)同一轉(zhuǎn)向架下兩輪對(duì)的軸距)，取計(jì)算墊片數(shù)2N+1=51，以保證計(jì)算結(jié)果的收斂準(zhǔn)確。

圖7 一些典型的輪對(duì)相互影響系數(shù)Fig.7 Some typical wheelsets’ interaction coefficient

圖7 所示為速度為160 km/h，x′=0，2.56 及-2.56 m 時(shí)的輪對(duì)相互影響系數(shù)。圖7 給出了 A( x ′,ωl)的模值、實(shí)部及虛部(分別表示為abs, re 及im)。從圖7 可以看出：影響系數(shù)在一些頻段存在較大起伏，這反映了軌道的固有特性。比較圖7(b)及圖7(c)可以看出：當(dāng)速度不為0 km/h 時(shí)， A( x ′, ωl)關(guān)于x′并不是偶對(duì)稱(chēng)的。這說(shuō)明軌道結(jié)構(gòu)上兩輪對(duì)之間，后輪引起前輪處軌道的位移(后輪對(duì)前輪的影響)與前輪引起后輪處軌道的位移(前輪對(duì)后輪的影響)是不相同的。顯然，這樣的不對(duì)稱(chēng)是定點(diǎn)荷載狀態(tài)激振下無(wú)法體現(xiàn)的，也是更為合理的，因?yàn)檩唽?duì)的移動(dòng)方向本身就帶來(lái)了不對(duì)稱(chēng)性。

圖8 所示為x′=0 m 時(shí)不同速度下輪對(duì)相互影響系數(shù)的模值(| A (0,ωl)|)。圖中速度v=0 km/h 時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線可以認(rèn)為是定點(diǎn)荷載狀態(tài)激振下的影響系數(shù)，即軌道的頻率響應(yīng)函數(shù)，它的形狀符合典型的軌道頻響函數(shù)形狀[13]，這也驗(yàn)證了本文算法的正確性及準(zhǔn)確性，同時(shí)它的峰值位置反映了軌道的固有頻率。從圖8 可以看到：當(dāng)列車(chē)速度不同時(shí)，輪對(duì)間的影響系數(shù)是不同的；當(dāng)速度較小時(shí)(如v=40 km/h 時(shí))，移動(dòng)荷載狀態(tài)激振下的輪對(duì)相互影響系數(shù)與定點(diǎn)荷載狀態(tài)激振下的相差不大，但當(dāng)速度更高時(shí)，在某些頻段上特別是軌道固有頻率附近頻段，2 種激勵(lì)方式出現(xiàn)差別，且速度越大，差別越大?？梢?jiàn)，運(yùn)用定點(diǎn)激勵(lì)方式，在列車(chē)高速運(yùn)行時(shí)會(huì)帶來(lái)相應(yīng)的誤差。

圖8 列車(chē)不同速度對(duì)輪對(duì)相互影響系數(shù)的影響Fig.8 Influence of train speed on wheelsets’ interaction coefficient

4 結(jié)論

(1) 本文提出的輪對(duì)相互影響系數(shù)的解析求解方法在計(jì)算鋼軌墊片數(shù)取足夠大時(shí)，可得到收斂、準(zhǔn)確的結(jié)果。

(2) 由于方法計(jì)算準(zhǔn)確度高、計(jì)算速度快，本文方法可用于建立更合理的頻域車(chē)軌耦合模型。

(3) 輪對(duì)相互影響系數(shù)函數(shù)關(guān)于距離并不是偶對(duì)稱(chēng)的。這說(shuō)明軌道結(jié)構(gòu)上兩輪對(duì)之間，后輪引起前輪處軌道的位移(后輪對(duì)前輪的影響)與前輪引起后輪處軌道的位移(前輪對(duì)后輪的影響)是不相同的。

(4) 列車(chē)速度對(duì)輪對(duì)間的影響系數(shù)有較大影響，車(chē)軌耦合模型在列車(chē)高速運(yùn)行時(shí)宜采用移動(dòng)荷載狀態(tài)激振。

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