岳碧波，彭真明

(電子科技大學(xué)光電信息學(xué)院，四川成都610054)

噪聲壓制是地震信號(hào)處理中永遠(yuǎn)不能回避的話題。例如，在地震反演[1]和地震數(shù)據(jù)時(shí)頻分析[2]等地震方法技術(shù)應(yīng)用中，高品質(zhì)的地震數(shù)據(jù)是取得精確結(jié)果的根本保障。但是，實(shí)際采集到的地震數(shù)據(jù)不可避免地受到噪聲的污染，而且噪聲的統(tǒng)計(jì)分布是不可預(yù)測(cè)的。為了減小噪聲的影響，提高地震數(shù)據(jù)的信噪比以及分辨率，人們研究并采取了很多的措施。例如，通過組合和多次覆蓋技術(shù)提高采集數(shù)據(jù)的信噪比[3];進(jìn)行反Q濾波補(bǔ)償[4-5]等。但是，這些方法在去除噪聲的過程中往往又引入了新的計(jì)算誤差，造成數(shù)據(jù)品質(zhì)下降，而得不到人們預(yù)期的結(jié)果。傳統(tǒng)的基于Fourier變換的去噪方法[6]、分?jǐn)?shù)階Fourier變換去噪方法[7]，以及小波變換濾波去噪方法[8]等等，是在頻率域或者波數(shù)空間分解的信號(hào)處理技術(shù)，它們都默認(rèn)了噪聲是服從高斯分布的。這樣做不僅是因?yàn)楦咚狗植几怕拭芏群瘮?shù)簡單，便于理論推導(dǎo)和分析，也因?yàn)楦咚狗植嫉念l譜以及高階譜很容易估計(jì)，從而使問題得到了很大的簡化。實(shí)際上，地震數(shù)據(jù)中的噪聲的統(tǒng)計(jì)分布是具不可預(yù)測(cè)性的，而且比高斯分布要復(fù)雜得多，尤其是噪聲中往往含有的脈沖特性是高斯分布所不能描述的。

α穩(wěn)定分布是一類在信號(hào)處理領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1,10-13]的統(tǒng)計(jì)分布，而且是目前唯一一種滿足廣義中心極限定理的分布[9]。該分布能夠描述隨機(jī)信號(hào)的非對(duì)稱性以及脈沖特性等統(tǒng)計(jì)特性，更重要的是，當(dāng)α穩(wěn)定分布的特征參數(shù)取為2時(shí)，該分布退化為一般的高斯分布。因此，能夠用高斯分布描述的統(tǒng)計(jì)特性，就一定能用α穩(wěn)定分布來描述。這也是α穩(wěn)定分布得到廣泛重視的原因所在。

本文根據(jù)噪聲中的脈沖特性，假設(shè)地震噪聲是服從非高斯α穩(wěn)定分布的，在此基礎(chǔ)上采用一種改進(jìn)的快速M(fèi)yriad濾波方法[14]對(duì)含有脈沖噪聲的理論模型數(shù)據(jù)和實(shí)際疊前地震資料進(jìn)行去噪處理試驗(yàn)，并分別與經(jīng)典的均值濾波和中值濾波方法進(jìn)行對(duì)比，以證實(shí)快速M(fèi)yriad濾波方法的技術(shù)優(yōu)勢(shì)和實(shí)用性。

1 Myriad濾波方法原理

Myriad濾波方法是針對(duì)α穩(wěn)定分布提出的一種非高斯脈沖噪聲濾波方法。在濾波過程中，采用滑動(dòng)窗的方法，選取窗口中的數(shù)據(jù)參與計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果作為當(dāng)前窗口濾波結(jié)果輸出。Myriad濾波過程類似于均值濾波和中值濾波，但是，其針對(duì)脈沖噪聲環(huán)境的濾波性能具有明顯的技術(shù)優(yōu)勢(shì)。

1.1 基本Myriad濾波方法

假設(shè)X=[x1,x2,…,xN]T是一組包含有噪聲的離散數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的采樣點(diǎn)數(shù)為N，Myriad濾波定義為[9-11]

(1)

式中:M為窗口長度;K是線性化參數(shù)。由(1)式可知，K值越大，則濾波器性能越接近于線性;K值越小，濾波器非線性特性越明顯。實(shí)際濾波過程中，應(yīng)根據(jù)噪聲的脈沖特性強(qiáng)弱適當(dāng)調(diào)整K。濾波器的運(yùn)算是尋找一個(gè)β，使得窗口內(nèi)的M級(jí)連乘式取得最小值，濾波器的輸出YK就是尋找到的β。在基本Myriad方法的基礎(chǔ)上，人們又提出了許多新的Myriad方法，例如加權(quán)Myriad方法[12]，F(xiàn)IR-Myriad方法[13]，等等。對(duì)(1)式進(jìn)行直接求解存在一定的難度，限制了Myriad濾波方法的使用。

為了便于更加直觀地了解Myriad濾波方法，以窗口長度M=5的Myriad濾波器為例予以解析。根據(jù)(1)式可以得到此時(shí)的Myriad濾波器表達(dá)式為

(2)

這里將濾波器的輸出表示成了關(guān)于β的函數(shù)f(β)。由(2)式可見，當(dāng)窗口長度M=5時(shí)，f(β)函數(shù)中自變量β的最高次數(shù)為10。顯而易見，當(dāng)濾波器窗口的長度為M時(shí)，濾波器中自變量β的最高次數(shù)將為2M;窗口選取得越長，β的最高次數(shù)越大。

用線性運(yùn)算方法就可以求解(2)式的最小值。若取濾波器輸出f(β)關(guān)于β的梯度f′(β)=0，求解該式理論上可得到一個(gè)β0，使得f(β0)=minf(β)。仍以窗口長度為M=5的濾波器為例，為便于求解，這里定義一個(gè)中間變量

(3)

這樣(2)式可以表示為

(4)

(4)式兩邊對(duì)β求導(dǎo)，得到

(5)

(6)

(6)式亦可表示為

(7)

在(7)式中，若K→∞，則(x2-β)2/K2→0，此時(shí)Myriad濾波器退化成線性的均值濾波形式

(8)

1.2 快速M(fèi)yriad濾波方法

若以上述線性化的方法求解濾波器輸出，會(huì)存在多解性的問題。仍以窗口長度M=5的濾波器為例，由(6)式或(7)式可見，該方程式的待求參數(shù)β的次數(shù)為9，直接求解將會(huì)得到9個(gè)解。一般地，若濾波器窗口長度為M，將會(huì)有2M-1個(gè)解。而濾波器每個(gè)窗口內(nèi)只有一個(gè)值輸出，多解的存在將會(huì)導(dǎo)致滑動(dòng)窗口每次的輸出值混亂。

(9)

其中，

(10)

再定義一個(gè)變量

則(9)式可簡化為

(11)

由(11)式，很容易解得

(12)

當(dāng)窗口長度為M時(shí)，可以得到

(13)

相比于直接的梯度求解方法以及隨機(jī)搜索方法，(13)式所示的快速M(fèi)yriad濾波方法運(yùn)算量小，而且穩(wěn)定性高。在實(shí)際應(yīng)用中，只要給定了窗口長度M和線性化參數(shù)K，直接使用(13)式便可得到窗口輸出數(shù)據(jù)。

2 理論模型測(cè)試

用一組理論模型數(shù)據(jù)對(duì)快速M(fèi)yriad濾波方法進(jìn)行測(cè)試。該理論模型由多道含有加性隨機(jī)噪聲的合成地震數(shù)據(jù)構(gòu)成。假設(shè)每道合成地震數(shù)據(jù)x由有用地震信號(hào)s和加性α穩(wěn)定分布隨機(jī)脈沖噪聲n組成，即x=s+n。

α穩(wěn)定分布是目前唯一的一類滿足廣義中心極限定理的分布，該分布相對(duì)于傳統(tǒng)的高斯分布的優(yōu)點(diǎn)在于，它能很好地描述帶有脈沖特性的數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性。除了幾種特殊情況外，α穩(wěn)定分布沒有確定的概率密度函數(shù)表達(dá)式，通常用特征函數(shù)來定義。α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)為[14]

(14)

其統(tǒng)計(jì)特性由4個(gè)參數(shù)決定，α∈(0,2]為特征指數(shù)，該參數(shù)取值越小，分布的拖尾越厚，即脈沖特性越強(qiáng);β∈[-1,1]為對(duì)稱參數(shù);γ∈(0,+∞)為分散程度;μ為位置參數(shù)。特別地，當(dāng)α=2，β=0時(shí)，α穩(wěn)定分布退化為一般的高斯分布。

理論模型測(cè)試采用Chambers提出的方法產(chǎn)生一組α穩(wěn)定分布隨機(jī)噪聲，各種方法的去噪效果用信噪比來衡量，信噪比SNR由下式定義

(15)

測(cè)試模型數(shù)據(jù)由30道含隨機(jī)噪聲的合成地震數(shù)據(jù)組成，數(shù)據(jù)采樣率為1ms，采樣點(diǎn)數(shù)為350。每道數(shù)據(jù)中的加性噪聲均為服從參數(shù)α=1.85，β=0.2，γ=2.0和μ=0的非高斯α穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)。不含隨機(jī)噪聲的合成地震數(shù)據(jù)及其加噪后的地震數(shù)據(jù)分別如圖1a和圖1b 所示。實(shí)際測(cè)得加噪后的地震數(shù)據(jù)的信噪比為-4.3257dB。由圖1b 可見，噪聲對(duì)有效信號(hào)的干擾很嚴(yán)重，噪聲的最大脈沖幅值甚至超過了有效信號(hào)的最大振幅，除了最大波峰附近外，其它地方有效信號(hào)的波形基本上已經(jīng)被噪聲淹沒。

為了通過比較來說明快速M(fèi)yriad方法在脈沖噪聲壓制中的優(yōu)勢(shì)，對(duì)測(cè)試模型數(shù)據(jù)分別采用均值濾波方法、中值濾波方法和快速M(fèi)yriad濾波方法進(jìn)行去噪處理。均值濾波方法是一種線性的濾波方法，如前文所述，當(dāng)線性化參數(shù)K→∞時(shí)，均值濾波器也可以看作是Myriad濾波的線性近似。中值濾波器是一種非線性濾波方法，對(duì)脈沖噪聲有效;它與均值濾波器以及Myriad濾波具有類似的結(jié)構(gòu)，先將滑動(dòng)窗中的數(shù)據(jù)排序，然后選取中間值作為輸出。為了便于比較，測(cè)試處理中3種方法的窗口長度均為M=5。

圖2a為含噪模型數(shù)據(jù)(圖1b)的均值濾波結(jié)果;圖2b為濾除的噪聲剖面，即圖1b與圖2a的差值剖面。由圖2b可見，均值濾波器濾除的噪聲幅值穩(wěn)定，這表明濾波結(jié)果中仍有脈沖噪聲沒有被濾除，在圖2a所示的濾波結(jié)果中可見明顯的噪聲也說明了這個(gè)問題。計(jì)算得出均值濾波后數(shù)據(jù)的信噪比為4.5534dB。

圖1 理論模型合成地震數(shù)據(jù)(a)及其加噪后的結(jié)果(b)

圖2 理論模型合成數(shù)據(jù)的均值濾波結(jié)果(a)及濾除的噪聲剖面(b)

圖3a為含噪模型數(shù)據(jù)(圖1b)的中值濾波結(jié)果;圖3b為濾除的噪聲剖面，即圖1b與圖3a的差值剖面。由圖3a可見，雖然中值濾波能較有效地去除脈沖噪聲，但同時(shí)對(duì)原信號(hào)波形損傷較大，在圖3a中振幅較小的地方，波形的橫向連續(xù)性已經(jīng)變差。在圖3b所示的噪聲剖面中，存在大量的有用信號(hào)，表明中值濾波在濾除噪聲的同時(shí)，將部分有用信號(hào)也誤當(dāng)成噪聲一起濾除，造成信號(hào)損傷。實(shí)際計(jì)算得到中值濾波后數(shù)據(jù)的信噪比僅為0.7799dB。

圖3 理論模型合成數(shù)據(jù)的中值濾波結(jié)果(a)及濾除的噪聲剖面(b)

圖4a為含噪模型數(shù)據(jù)(圖1b)的快速M(fèi)yriad濾波結(jié)果，可見有用信號(hào)的波形基本上已完全恢復(fù)。圖4b為濾除的噪聲剖面，即圖1b與圖4a的差值剖面，可以看出含噪數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲幾乎全部被清除，而且對(duì)原數(shù)據(jù)中的有用信號(hào)損傷很小。計(jì)算得到快速M(fèi)yriad濾波后數(shù)據(jù)的信噪比為17.5204dB。

圖4 理論模型合成數(shù)據(jù)的快速M(fèi)yriad濾波結(jié)果(a)及濾除的噪聲剖面(b)

通過圖2a，圖3a和圖4a的對(duì)比分析可以得出結(jié)論，快速M(fèi)yriad方法的濾波效果明顯優(yōu)于均值濾波方法及中值濾波方法。均值濾波器實(shí)際上是通過對(duì)數(shù)據(jù)做平滑處理而達(dá)到濾波的目的，當(dāng)噪聲中存在較大脈沖時(shí)，平滑方法就不一定能達(dá)到預(yù)期效果。因此，不難理解圖2中經(jīng)過均值濾波后的數(shù)據(jù)中仍含有明顯脈沖噪聲。而中值濾波則是通過對(duì)含噪信號(hào)在窗口內(nèi)的排序、挑選，因此很容易將脈沖排除出去。但是其缺點(diǎn)也很明顯，一是對(duì)從滑動(dòng)窗口中挑選出的信號(hào)中的噪聲沒做任何處理;二是信號(hào)中的大幅度值也會(huì)被誤當(dāng)成噪聲。所以，圖3 中中值濾波后的數(shù)據(jù)不僅連續(xù)性仍很差，而且部分有用信號(hào)也被濾除?？焖費(fèi)yriad方法顯然兼具了均值濾波和中值濾波所長，在濾除脈沖噪聲的同時(shí)，也有效地保護(hù)了有用信息，而且濾波后數(shù)據(jù)的信噪比要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于均值濾波和中值濾波的結(jié)果。

3 實(shí)際地震數(shù)據(jù)去噪

將均值濾波、中值濾波和快速M(fèi)yriad濾波3種方法分別應(yīng)用到實(shí)際地震數(shù)據(jù)的去噪處理中，以驗(yàn)證快速M(fèi)yriad濾波方法的實(shí)用性和有效性。3組濾波器窗口長度均為M=5。含有噪聲的疊前地震數(shù)據(jù)剖面如圖5所示，該剖面中共有120道地震數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)采樣時(shí)間范圍為1600～2400ms，采樣率為2ms。由圖5可見，疊前地震剖面上有3個(gè)強(qiáng)反射層，分別位于1600，1750，2100ms附近。

圖5 實(shí)際疊前地震數(shù)據(jù)剖面

圖6和圖7分別是圖5所示實(shí)際疊前地震數(shù)據(jù)的均值濾波和中值濾波結(jié)果。由于這兩種方法本身性能上的局限性，實(shí)際地震數(shù)據(jù)中的3個(gè)強(qiáng)反射層對(duì)其濾波效果都產(chǎn)生了很大的影響。均值濾波將窗口內(nèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單的求平均運(yùn)算，當(dāng)強(qiáng)反射響應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)入濾波窗口時(shí)，其很大的幅度值必然會(huì)對(duì)幅值較小的數(shù)據(jù)進(jìn)行錯(cuò)誤的修正;同理，幅值較小的數(shù)據(jù)也會(huì)將該幅值較大的數(shù)據(jù)平滑減小，從而進(jìn)一步產(chǎn)生錯(cuò)誤。而在中值濾波中，幅值較大的

數(shù)據(jù)甚至被直接排除。因此，在圖6b和圖7b的差值剖面中都可見這兩種濾波方法在強(qiáng)反射層位置處對(duì)有效信號(hào)產(chǎn)生了較大的損傷。

圖8a為經(jīng)過快速M(fèi)yriad方法濾波后的地震剖面(選取線性化參數(shù)K=0.5)，圖8b為疊前地震數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果的差值剖面，即濾波器所濾除的噪聲。由圖8a可見，經(jīng)快速M(fèi)yriad濾波后地震剖面上波形連續(xù)性增強(qiáng)，信噪比得到明顯提高;而圖8b中被濾除的噪聲幅度平穩(wěn)，且包含少許強(qiáng)脈沖，表明快速M(fèi)yriad方法不僅濾除了疊前地震數(shù)據(jù)中分布較平穩(wěn)的噪聲(如高斯分布的白噪聲)，同時(shí)也能將具有脈沖特性的噪聲濾除。

圖6 實(shí)際地震數(shù)據(jù)的均值濾波結(jié)果(a)及其差值剖面(b)

圖7 實(shí)際地震數(shù)據(jù)的中值濾波結(jié)果(a)及其差值剖面(b)

圖8 實(shí)際地震數(shù)據(jù)的快速M(fèi)yriad濾波結(jié)果(a)及其差值剖面(b)

實(shí)際地震數(shù)據(jù)中的噪聲分布是很復(fù)雜的，除了數(shù)據(jù)分布較平穩(wěn)的高斯噪聲外，不可避免的會(huì)含有脈沖噪聲，所以，單一針對(duì)高斯噪聲的濾波方法或?qū)ｉT針對(duì)脈沖噪聲的濾波方法有時(shí)很難達(dá)到人們預(yù)期效果?？焖費(fèi)yriad濾波方法則能很好地解決這個(gè)問題，因?yàn)镸yriad方法本身就是針對(duì)α穩(wěn)定分布噪聲提出的濾波方法，而α穩(wěn)定分布是一類滿足廣義中心極限定理的統(tǒng)計(jì)分布，高斯分布只是其特例。理論模型測(cè)試和實(shí)際地震資料應(yīng)用的結(jié)果表明，本文采用的快速M(fèi)yriad濾波方法的實(shí)用性和有效性都明顯強(qiáng)于經(jīng)典的均值濾波方法和中值濾波方法。

4 結(jié)束語

實(shí)際地震數(shù)據(jù)中的噪聲往往帶有很強(qiáng)的脈沖特性，這些特性是傳統(tǒng)的高斯分布函數(shù)所不能描述的，常用的基于高斯分布的濾波方法也很難達(dá)到理想的去噪效果。我們將一種非高斯噪聲濾波方法——快速M(fèi)yriad濾波方法應(yīng)用到疊前地震數(shù)據(jù)去噪處理中。針對(duì)同一組包含脈沖隨機(jī)噪聲的理論模型數(shù)據(jù)的測(cè)試結(jié)果表明，快速M(fèi)yriad濾波方法的濾波能力要遠(yuǎn)強(qiáng)于均值濾波和中值濾波方法。實(shí)際疊前地震數(shù)據(jù)的去噪處理結(jié)果中尖脈沖噪聲被完全濾除，數(shù)據(jù)的信噪比得到明顯增強(qiáng)，進(jìn)一步證實(shí)了快速M(fèi)yriad濾波方法在實(shí)際地震數(shù)據(jù)噪聲濾除中的實(shí)用性和有效性。相信隨著地震數(shù)據(jù)非高斯特性研究的不斷深入，Myriad濾波等新的非高斯信號(hào)處理技術(shù)必將在地震數(shù)據(jù)處理中得到廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。

參 考 文 獻(xiàn)

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