王　英　楊曙年

(1.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢 430060；2.武漢市計(jì)量測試檢定(研究)所，武漢 430050)

0　引言

測量不確定度用于描述被測量值的真值的估計(jì)范圍。從測量不確定度的評定方法上講，包括統(tǒng)計(jì)不確定度和非統(tǒng)計(jì)不確定度兩類。對于統(tǒng)計(jì)不確定度而言，早已建立了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)模型。測量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的評定方法目前主要采用的是統(tǒng)計(jì)評定方法。設(shè)服從正態(tài)分布的測量值x的概率密度為P(x)，用Bessel方法可得其擴(kuò)展不確定度為ku，其中k為包含因子，u表示測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度(用測量數(shù)據(jù)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差來表征)。

在實(shí)際測量中，并非所有的擴(kuò)展不確定度都可以用統(tǒng)計(jì)方法評定，因此，非統(tǒng)計(jì)不確定度的評定就顯得非常重要。同時(shí)，總有一些比統(tǒng)計(jì)不確定度更復(fù)雜的情況。例如：在火箭發(fā)射試驗(yàn)、破壞性實(shí)驗(yàn)以及容易造成環(huán)境污染的試驗(yàn)中，測量數(shù)據(jù)非常少，其概率分布密度又未知。在這種情況下，用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)評定方法就顯得非常困難。

為了解決這個(gè)問題，本文采用模糊可用區(qū)間直接求取擴(kuò)展不確定度的方法。該方法允許測量數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)少，被測量的概率分布未知，且求得的擴(kuò)展不確定度區(qū)間具有很高的包含概率。

1　測量值的模糊可用區(qū)間

模糊數(shù)學(xué)是用隸屬函數(shù)研究具有模糊性的事物，探討事物對某一模糊概念的隸屬程度從真到假或從假到真兩個(gè)極端的中間過渡的規(guī)律性。在測量過程中，被測量的真值(設(shè)為X0)總是客觀、唯一存在的。因此，可以定義一個(gè)被測量真值的集合A為

A=(X0)

(1)

此時(shí)，集合A僅含有一個(gè)值(元素)X0。

由集合理論可知，實(shí)際測量值xi(i=1,2,…，n)和A滿足下列關(guān)于二值邏輯的特征函數(shù)

(2)

在模糊數(shù)學(xué)中，xi對A的隸屬關(guān)系可以被認(rèn)為是一種過渡，表示xi接近X0的程度，過渡區(qū)間為B，可以用圖1所示的下列隸屬函數(shù)描述

(3)

式中，μi(x)∈[0,1]，i=1、2。由圖1可知，μ1(x)是增函數(shù)，μ2(x)是減函數(shù)。

圖1　隸屬函數(shù)μ(x)

隸屬函數(shù)μ(x)描述了測量值xi是如何符合集合A的。如圖1，若取水平l，l∈[0,1]，相應(yīng)地，在x軸上的X0兩側(cè)附近有兩個(gè)區(qū)間s1和s2，則在隸屬水平為l的前提下，x隸屬于A的區(qū)間為

UFl=s1+s2

(4)

對所有測量值xi，若給定l=l*值，則UFl=UFl *唯一確定。即在隸屬水平l*時(shí)，測量值xi相對真值X0的分散范圍為UFl *。

區(qū)間B稱為模糊區(qū)間，若l*為最優(yōu)水平，則稱UFl *為l*水平下的模糊可用區(qū)間。于是有下列表征真值的特征函數(shù)

(5)

式(5)表明：凡落在區(qū)間UFl *中的值都是可用的(為真)，否則不可用(為假)。

結(jié)合測量理論不難理解，可以用UFl *來表征測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度。

2　l *和X0的確定

從模糊數(shù)學(xué)意義上講，l*劃定了事物從一個(gè)極端轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)極端的界限。實(shí)際上也可以將l*看作一個(gè)模糊數(shù)，而模糊數(shù)為0.5時(shí)最具模糊性，即亦真亦假。當(dāng)l≥0.5時(shí)，就意味著A中包含了幾乎所有有用的x。因此，在邏輯上可將l*確定為0.5。在具體處理數(shù)據(jù)時(shí)，當(dāng)測量值為有限個(gè)離散值時(shí)，一般取l*=0.4～0.5。當(dāng)測量值個(gè)數(shù)n較小時(shí)，可以取l*=0.4。

一般而言，真值X0是未知的，可用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)期望或模糊數(shù)學(xué)中的模糊期望來估計(jì)。根據(jù)圖1，本文用μ(x)=1時(shí)的x值來估計(jì)X0，即

X0≈x|μ(x)=1=xν

(6)

對于小樣本容量的測量數(shù)據(jù)樣本，用這種方法來估計(jì)X0是合理的。

3　參數(shù)的映射和求解

參數(shù)的映射的目的實(shí)際上就是將普通集合轉(zhuǎn)換為模糊集合。

3.1　參數(shù)的映射

模糊數(shù)學(xué)中的隸屬函數(shù)可用誤差理論中的概率分布密度表征。如果已知概率密度函數(shù)Y=P(x)，通過線性變換

μ(x)=(P(x)-Ymin)/(Ymax-Ymin)

(7)

其中，Ymax≠Ymin。由此式將Y映射至[0，1]區(qū)間，就得到μ(x)。

由式(6)和式(7)可知，xν對應(yīng)著最大概率分布密度值Ymax。

因?yàn)橐褜i看作模糊數(shù)，故其對真值的隸屬度應(yīng)滿足[0,1]區(qū)間。為此，通過線性變換

ην=(xν-xmin)/(xmax-xmin)

(8)

η(x)=(x-xmin)/(xmax-xmin)

(9)

t=t(x)

=|η(x)-ην|

=|x-xν|/(xmax-xmin)

(10)

將x映射在[0，1]區(qū)間，得到用模糊數(shù)t(x)表示的測量值。式中，xν可以用tν=0表示。

在區(qū)間[0，1]上，用ψFl表示UFl，用ξ1和ξ2分別表示s1和s2，式(4)就變?yōu)?/p>

UFl=s1+s2

=|x-xν|μ1(x)=l+|x-xν|μ2(x)=l

=(xmax-xmin)(t|μ1(x)=l)

+(xmax-xmin)(t|μ2(x)=l)

=(t|μ1(x)=l+t|μ2(x)=l)(xmax-xmin)

=(ξ1+ξ2)(xmax-xmin)

=ψFl(xmax-xmin)

(11)

這里

ψFl=ξ1+ξ2

(12)

于是，圖1變?yōu)閳D2。

圖2　參數(shù)映射

3.2　參數(shù)求解

若離散值μ1j(tj)和μ2j(tj)，j=1,2,…已知，就可以用下列方法求出μ1(t)和μ2(t)。

定義最大模范數(shù)

(13)

用正交多項(xiàng)式

(14)

(15)

分別逼近離散值μ1j(tj)和μ2j(tj)，就得到

μ1(t)=f1(t)

(16)

μ2(t)=f2(t)

(17)

設(shè)

r1j=f1(tj)-μ1j(tj)(j=1,2,…,ν)

(18)

r2j=f2(tj)-μ2j(tj)(j=ν,ν+1,…,n)

(19)

(20)

(21)

可求出待定系數(shù)al和bl。

在式(14)和式(15)中，多項(xiàng)式階次L一般取3，即可獲得較高的逼近精度。

式(20)和式(21)的約束條件分別為

f＇1=df1/dt≤0

(22)

和

f＇2=df2/dt≤0

(23)

式(22)和式(23)表明隸屬函數(shù)本身的單調(diào)下降特性。

這種逼近方法叫做最大模范數(shù)最小法，研究表明，其逼近誤差小于經(jīng)典的最小二乘法。

最后按下列兩式分別求解ξ1和ξ2

min|μ1(t)-l*|t =ξ1

(24)

min|μ2(t)-l*|t =ξ2

(25)

4　隸屬函數(shù)的建立

4.1　直方圖估計(jì)法

直方圖估計(jì)法是一種常見的方法，當(dāng)樣本容量n值較大時(shí)，例如n≥30，可將測量值分成q組，每組的中值為dj，頻率為mj。取頻率為最大值的組中值為xν，該組組號設(shè)為ν(若有t個(gè)最大頻率相等，可用算術(shù)平均值法確定xν和ν)，有

p1j(xj)=mj(j=1,2,…,ν)

(26)

p2j(xj)=mj(j=ν,ν+1,…,q+1)

(27)

4.2　線性估計(jì)法

將xi序列從小到大排列，形成新序列

(28)

定義

(29)

一般，Δi越小，測量值越密集；反之越疏松。即Δi和Δxi的分布密度有關(guān)。為此，假設(shè)線性隸屬函數(shù)

mj=1-(Δj-Δmin)/Δmax

(30)

Δmax=maxΔj，Δmin=minΔj(j=1,2,…,n-1)

為近似的概率分布密度因子。和直方圖估計(jì)法相類似，可以求出xν和ν，于是

(31)

(32)

然后由式(7)～式(23)即可求得μ1j(tj)、μ2j(tj)、μ1(t)和μ2(t)。用線性估計(jì)法確定隸屬函數(shù)，一般要求n≥4。

5　算法描述

上述有關(guān)公式的求解，是以最優(yōu)化理論為基礎(chǔ)的。目標(biāo)函數(shù)為式(20)、式(21)、式(24)和式(25)，約束條件為式(22)和式(23)，具體使用的優(yōu)化方法是序貫無約束極小化技術(shù)SUMT(Sequential Unconstrained Minimization Technique)。擴(kuò)展不確定度的評定步驟如下：

1)采樣xi，i=1,2,…,n；

4)由式(7)獲得μ1j(tj)(j=1,2,…,ν)和μ2j(tj)(j=ν,ν+1,…,n)之后，再用式(9)和式(10)計(jì)算η(x)和t；

5)用式(14)、式(15)、式(18)、式(19)、式(20)和式(21)創(chuàng)立數(shù)學(xué)模型f1和f2，約束條件為式(22)和式(23)；

6)通過式(16)和式(17)得到隸屬函數(shù)μ1(t)和μ2(t)；

7)在借助式(24)和式(25)計(jì)算出l=l*水平下的ξ1和ξ2之后，用式(11)獲得UFl *。

6　測量不確定度模糊評定的應(yīng)用

現(xiàn)仍以經(jīng)典評定中使用的電感耦合等離子體(ICP)發(fā)射光譜儀測量銅溶液濃度為例(參見《中國計(jì)量》2007年第6期)，在建立了式y(tǒng)=74.7947+3630.4492x標(biāo)準(zhǔn)曲線的基礎(chǔ)上，測量濃度值為3.00μg·mL-1的銅標(biāo)準(zhǔn)溶液GBW(E)130079的濃度，按本文4的要求計(jì)算，結(jié)果列入表1和表2。

表1　濃度測量線性估計(jì)法計(jì)算數(shù)據(jù)

按本文3的要求，使用SUMT優(yōu)化和罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法，得結(jié)果見表3。

表2　濃度測量直方圖法計(jì)算數(shù)據(jù)

由表3，電感耦合等離子體(ICP)發(fā)射光譜儀測量銅溶液(濃度在0～3.0000μg·mL-1范圍)的擴(kuò)展不確定度為：

U95=0.0325μg·mL-1

表3　計(jì)算結(jié)果

7　討論

用經(jīng)典的方法來評定測量的擴(kuò)展不確定度為0.0343μg·mL-1;用本文模糊集合理論來評定的擴(kuò)展不確定度為0.0325μg·mL-1。其相對誤差為(0.0343-0.0325)/0.0343=5.2％。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，測量值服從正態(tài)分布，對不確定度的評定誤差而言，本文采用的方法與經(jīng)典方法效果相當(dāng)。置信水平可達(dá)到95％以上。

本文采用的方法適用于不同條件，允許測量值不服從正態(tài)分布。采用的線性估計(jì)法能根據(jù)測量數(shù)據(jù)的離散特性(離散特性是已知或未知的)自動(dòng)識別隸屬函數(shù)μ(x)，從而可以在分布條件未知的情況下得到與真值很接近的結(jié)果。

本文采用方法的顯著特點(diǎn)是：允許采樣個(gè)數(shù)少。另一特點(diǎn)是：無論測量值的分布如何，可以不必像統(tǒng)計(jì)學(xué)那樣先評定標(biāo)準(zhǔn)差、再設(shè)計(jì)置信系數(shù)、最后得出不確定度值，而是直接求出l*水平下的不確定度。

與目前的許多方法相比較，本文的方法更適合于小樣本含量、分布條件未知的情況。

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