劉　程，夏繼強

(北京航空航天大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，北京　100083)

0　引言

共享式以太網(wǎng)采用CSMA/CD訪問機制，各節(jié)點采用二進制指數(shù)退避算法來處理沖突，這導(dǎo)致了以太網(wǎng)通信延遲不確定的缺點，成為以太網(wǎng)在工業(yè)實時控制領(lǐng)域應(yīng)用的最大障礙[1-2]。當今已經(jīng)提出了很多種改進方法來解決這個問題，比如通過修改以太網(wǎng)協(xié)議、在以太網(wǎng)MAC層上增加虛擬令牌等軟件實時方法[3]；改變以太網(wǎng)拓撲結(jié)構(gòu)[4-5]、進一步細分以太網(wǎng)結(jié)構(gòu)等硬件實時方法[6]；或者將信號的頻分復(fù)用傳輸應(yīng)用到以太網(wǎng)[7]。其中交換式以太網(wǎng)的出現(xiàn)極大地提高了以太網(wǎng)傳輸性能。交換機作為一種能隔絕沖突的二層網(wǎng)絡(luò)設(shè)備，在同一時刻可進行多個端口對之間的數(shù)據(jù)傳輸沖突機率大大減小，但多個端口同時嘗試與一個端口通信時依然存在沖突的可能，這可看作另外一種形式的搶占信息通道，只是發(fā)生概率減小。端口使用緩存能解決此類沖突，但增加了信息傳輸延時的不確定性。因此在工業(yè)控制背景下，定量研究和分析沖突機制，對于以太網(wǎng)技術(shù)能夠廣泛應(yīng)用到工業(yè)控制領(lǐng)域具有重要意義。

文中擬采用一種新方法來研究共享傳輸介質(zhì)的傳輸沖突特性，以工業(yè)共享式以太網(wǎng)為對象，首先建立基于CSMA/CD機制的以太網(wǎng)數(shù)學(xué)模型，然后基于此模型對以太網(wǎng)進行定量計算，考慮負載的變化(如節(jié)點數(shù)，數(shù)據(jù)到達率)對以太網(wǎng)性能的影響，從而進一步分析以太網(wǎng)的實時性及可靠性。

1　以太網(wǎng)模型

工業(yè)以太網(wǎng)具有周期信號多，傳輸信息量小，信息長度小，負荷平穩(wěn)的特點，因此采用以下以太網(wǎng)模型，符號含義如表1：

(1)堅持型CSMA，當某節(jié)點要送數(shù)據(jù)時，先監(jiān)聽總線，若總線忙，就堅持監(jiān)聽，直到信道空閑為止，當空閑時立即發(fā)送一幀數(shù)據(jù)。

(2)節(jié)點發(fā)生沖突后，按照二進制指數(shù)退避算法推遲發(fā)送，沖突次數(shù)達16次則發(fā)送失敗[8]。沖突后節(jié)點發(fā)送加強干擾信號(JAM信號)。

(3)星型網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點使用集線器連接，設(shè)任意兩節(jié)點之間的傳播延時都等于τ．

(4)由于發(fā)生3個及以上節(jié)點的沖突概率很小，遠遠小于兩節(jié)點的沖突概率，因此只考慮兩個節(jié)點之間的沖突。

表1　符號說明

2　原始負載模型分析

原始負載模型是指不考慮節(jié)點沖突后重傳數(shù)據(jù)幀，每個數(shù)據(jù)幀不管發(fā)送是否成功，只傳輸一次時的負載模型。

2．1相鄰數(shù)據(jù)幀到達時間間隙

N個節(jié)點以數(shù)據(jù)到達率λ0隨機且獨立地發(fā)送數(shù)據(jù)，由二項分布的定義可知，單個節(jié)點在任意的時隙t(t<<1/λ0)內(nèi)發(fā)送了數(shù)據(jù)的概率為：

P=λ0t=t/T0

(1)

如圖1所示，節(jié)點d4在0時刻開始發(fā)送數(shù)據(jù)，其后相繼到達的節(jié)點之間的時間間隔分別用t1、t2、t3、t4表示。在節(jié)點d4發(fā)送數(shù)據(jù)后的t時間段內(nèi)，若有其他節(jié)點嘗試占用總線(即節(jié)點d3落在0～t時間段內(nèi))，則t1

圖1　數(shù)據(jù)到達模型分析

由二項分布可得：

P(t1

(2)

(3)

(4)

(5)

對t1的分布函數(shù)式(2)求導(dǎo)可得t1的概率密度函數(shù)：

Ωt1(t)=λ0×(N-1)(1-p)N-2

(6)

2．2沖突模型分析

任意的數(shù)據(jù)幀發(fā)送時可能發(fā)送成功或發(fā)生沖突，其中沖突可分為等待沖突和延時沖突。等待沖突是指總線被占用時有多個節(jié)點需要發(fā)送數(shù)據(jù)，這些節(jié)點在總線變空閑后同時發(fā)送數(shù)據(jù)造成的相互之間的沖突。延時沖突是指一個節(jié)點已經(jīng)開始發(fā)送數(shù)據(jù)，但由于總線傳輸延遲，其他節(jié)點未檢測到總線被占用，并且發(fā)送數(shù)據(jù)所造成的沖突。

下面按照d0前一個節(jié)點d2的發(fā)送結(jié)果，分為成功和沖突2種情況，逐步分析d0的發(fā)送結(jié)果。分別以Ps、Pd、Pw表示發(fā)送成功、發(fā)生延時沖突和發(fā)生等待沖突的概率，可得Ps+Pd+Pw=1。

2．2．1節(jié)點d2發(fā)送成功

如圖2所示，節(jié)點d2從0時刻開始發(fā)送一幀數(shù)據(jù)，其成功發(fā)送的概率為Ps，由于數(shù)據(jù)在節(jié)點間傳輸存在時長為τ的延時，其他節(jié)點在ts+τ時刻才監(jiān)聽到總線空閑，因此d2占用總線從0時刻到ts+τ時刻。由于前提為d2成功發(fā)送，因此d0會在τ時刻之后到達，否則d2、d0發(fā)生延時沖突。

圖2　d2節(jié)點發(fā)送成功條件下d0節(jié)點的沖突模型

下面分4種情形討論d0的發(fā)送結(jié)果。

情形①：若d0、d1兩節(jié)點都在ts+τ時刻之前到達，即滿足t1+t2

Ps×P(t1+t2

(7)

情形②：若節(jié)點d1在ts+2τ之后發(fā)送數(shù)據(jù)，則d0、d1是否沖突取決于d0、d1發(fā)送數(shù)據(jù)的時間間隔t2，若t2>τ則節(jié)點d0成功發(fā)送數(shù)據(jù)，此情形發(fā)生概率為：

Ps×P((t1+t2>ts+τ)&(t2>τ))=

(8)

式中Ωt2(t)來自式(6)。

情形③：若節(jié)點d1在ts+2τ之后發(fā)送數(shù)據(jù)，且t2<τ則d0、d1發(fā)生延時沖突，此情形發(fā)生概率為：

Ps×P((t1+t2>ts+2τ)&(t2<τ))

(9)

情形④：若ts+τ

Ps×P(ts+τ

(10)

2．2．2節(jié)點d2發(fā)生沖突

節(jié)點d2發(fā)生沖突的概率為Pc，沖突對象可以分為節(jié)點d3和節(jié)點d02種，根據(jù)總線上數(shù)據(jù)幀之間的等效性，兩種沖突的概率相等，即Pc/2。

2．2．2．1節(jié)點d2與d0沖突

d2與d0發(fā)生沖突的概率占d2發(fā)生沖突概率的一半，即d0與d2發(fā)生等待沖突的概率為：

Pw/2

(11)

d0與d2發(fā)生延時沖突的概率為：

Pd/2

(12)

2．2．2．2節(jié)點d2與d3發(fā)生延時沖突

圖3顯示了d2、d3的延時沖突模型，兩節(jié)點分別在ta、tb時刻發(fā)送數(shù)據(jù)，節(jié)點d2在ta+τ時刻檢測到?jīng)_突，隨之發(fā)送時間長度為Tj的JAM信號。節(jié)點d3在tb+τ時刻檢測到?jīng)_突，并在tb+2τ+Tj時刻結(jié)束發(fā)送，由于傳輸延遲，其他節(jié)點認為總線一直被占用直到tb+2τ+Tj時刻才結(jié)束。因此從節(jié)點d2開始發(fā)送數(shù)據(jù)到整個沖突占用總線結(jié)束，所經(jīng)歷的時間長度為固定值2τ+Tj．

圖3　延時沖突

節(jié)點d2、d3發(fā)生延時沖突的概率為Pd/2。采用與2．2．1小節(jié)相同的分析方法，將d2數(shù)據(jù)幀占用總線時間由ts+τ變?yōu)?τ+Tj．同理可得d2與d3發(fā)生延時沖突時，d0發(fā)生等待沖突的概率為：

(13)

d0發(fā)送成功的概率為：

(14)

d0發(fā)生延時沖突的概率為：

Pd2×P((t1+t2>3τ+Tj)&(t2<τ))+

(15)

2.2.2.3節(jié)點d2與d3等待沖突

圖4為等待沖突模型，節(jié)點d2、d3等待總線空閑后同時向總線發(fā)送數(shù)據(jù)，經(jīng)過時間τ后被對方檢測出沖突，分別發(fā)送JAM信號，并且信息傳輸延遲1倍τ長的時間，即等待沖突占用總線總時長為2τ+Tj。

圖4　等待沖突

如圖5所示，由于等待節(jié)點d4發(fā)送結(jié)束，節(jié)點d2、d3推遲到ts+τ時刻發(fā)送數(shù)據(jù)，并發(fā)生等待沖突，沖突占用總線直到ts+3τ+Tj時刻，其發(fā)生概率為Pw/2。考慮節(jié)點d4成功發(fā)送數(shù)據(jù)，否則總線上連續(xù)5個數(shù)據(jù)幀發(fā)生沖突，此情形發(fā)生概率很小，文中忽略不計。

圖5　d2、d3發(fā)生等待沖突模型

此情形的分析方法與小節(jié)2．2．1相同，但是數(shù)據(jù)幀增多，時間增長，同樣原理分析可得d2、d3發(fā)生等待沖突時，d0發(fā)生等待沖突概率為：

(16)

d0發(fā)送成功的概率為：

(17)

d0發(fā)生延時沖突的概率為：

(18)

2．3發(fā)送沖突的概率Pc

由式(8)、式(14)、式(17)相加可得節(jié)點d0成功發(fā)送數(shù)據(jù)的概率Ps，式(7)、式(11)、式(13)、式(16)相加可得節(jié)點發(fā)送數(shù)據(jù)發(fā)生等待沖突的概率Pw，以及已知成功發(fā)送數(shù)據(jù)和發(fā)生沖突的概率和為1，因此可得以下方程組。

Ps=Ps×P((t1+t2>ts+2τ)&(t2>τ))+

(19)

Pw=Ps×P(t1+t2

Pw/2+Pw×P(t1+t2<2τ+Tj)/2+

(20)

Ps+Pw+Pd=1

(21)

由方程組，通過數(shù)值迭代法可解出Pw、Pd，從而計算出數(shù)據(jù)幀發(fā)生沖突的概率值Pc=Pw+Pd．

3　沖突次數(shù)的期望值Em

一個數(shù)據(jù)幀沖突后再次發(fā)送時仍然可能沖突，且沖突分為2種類型，一種為與新的節(jié)點沖突(如圖6中的分支b×Pc)，一種為與前一次沖突節(jié)點再次沖突(如圖6中的分支a×Tij)。采用同樣的方法分析數(shù)據(jù)幀第2次、第3次直到第15次發(fā)送，即可得數(shù)據(jù)幀沖突次數(shù)的模型，如圖6所示。

圖6　數(shù)據(jù)幀沖突次數(shù)分析

a：連續(xù)多次沖突的兩節(jié)點發(fā)生第一次沖突時的概率。

b：前一分支點所對應(yīng)的概率。圖中虛線指明系數(shù)a、b所代表的值。

Tij：節(jié)點從i-j+1次沖突開始，與同一節(jié)點連續(xù)沖突j次的概率。其中i表示節(jié)點當前總共沖突次數(shù)；j表示其連續(xù)與同一節(jié)點沖突的次數(shù)。

Qn：數(shù)據(jù)幀至少發(fā)送n+1次的概率(0≤n≤15)，即至少沖突了n次，其中Q0=1。

同樣原理分析可以得Tij的計算通式為：

(22)

在已知Pc的前提下，可以把圖6從左至右所有分支點都求解出來，之后將圖6第n列(1≤n≤16)概率相加可得至少沖突n次的概率Qn，即

(23)

再用Qn減去Qn+1即可得數(shù)據(jù)幀沖突n次(第n+1次發(fā)送成功)的概率Kn+1。

Kn+1=Qn-Qn+1

(24)

通過式(22)～式(24)，采用迭代法循環(huán)計算可得在已知沖突概率Pc時，數(shù)據(jù)幀發(fā)送n次才成功的概率值Kn．多次迭代數(shù)值穩(wěn)定后由數(shù)組K可得沖突次數(shù)的期望值Em：

(25)

4　迭代求解

由上一章節(jié)可知，在已知沖突概率Pc的前提下可以求得數(shù)據(jù)幀發(fā)送時沖突次數(shù)的期望值Em．沖突導(dǎo)致了部分數(shù)據(jù)幀需要多次發(fā)送，對此可看作節(jié)點需要發(fā)送的數(shù)據(jù)幀增多，數(shù)據(jù)到達率變大為λ1=λ0+λ0×Em．由于工業(yè)以太網(wǎng)負載小，上述所有算式依然近似成立，將新的數(shù)據(jù)到達率帶入式(1)～式(21)求出新的Pc值。如此反復(fù)迭代計算，數(shù)據(jù)值趨于穩(wěn)定時即在原始到達率λ0的條件下，實際總線上的傳輸情況。

5　仿真驗證

本節(jié)使用Matlab編程模擬以太網(wǎng)協(xié)議，節(jié)點沖突后按照二進制指數(shù)退避重傳。圖7、圖8顯示了在λ0=167 幀/s，幀長為64字節(jié)，網(wǎng)絡(luò)帶寬為100 Mbit/s，ts=5.12 μs，τ=1.2 μs時Pc、Em以及節(jié)點發(fā)送5～7次的概率K2～K7隨節(jié)點數(shù)N變化的值。理論值分別由式(19)、式(20)、式(21)、式(24)、式(25)計算。

圖7　Pc與Em隨N變化的仿真值與理論值對比

圖8　K5～K7隨N變化的仿真值與理論值對比

圖9、圖10顯示了在節(jié)點數(shù)N=50時，Pc、Em以及節(jié)點發(fā)送5～7次的概率K2～K7隨數(shù)據(jù)到達率λ0變化的值。其他參數(shù)同上，理論值由式(19)、式(20)、式(21)、式(24)、式(25)計算。

圖9　Pc與Em隨λ0變化的仿真值與理論值對比

圖10　K5～K7隨λ0變化的仿真值與理論值對比

6　結(jié)論

本文通過迭代法計算了以太網(wǎng)通信時數(shù)據(jù)幀沖突的概率以及發(fā)送次數(shù)的期望值，求解了各個參數(shù)對共享式以太網(wǎng)的影響，仿真結(jié)果顯示了算法的正確性和有效性。下一步可以采用迭代方法計算交換式以太網(wǎng)爭奪同一端口通信權(quán)的沖突概率，以此分析交換式以太網(wǎng)的性能。

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