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利用邊界元法計(jì)算陰極保護(hù)電位分布

2014-03-21 08:49黃魯星勝利油田油氣集輸總廠
油氣田地面工程 2014年5期
關(guān)鍵詞:陰極保護(hù)邊界條件數(shù)學(xué)模型

黃魯星 勝利油田油氣集輸總廠

利用邊界元法計(jì)算陰極保護(hù)電位分布

黃魯星 勝利油田油氣集輸總廠

隨著計(jì)算機(jī)以及數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展,利用數(shù)值模擬來獲得陰極保護(hù)電位的分布逐步受到人們的重視。埋地管道陰極保護(hù)電位的邊界元計(jì)算過程為:物理模型建立→數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)→邊界條件的確定→邊界元算法離散→編程求解。對(duì)于埋地管道陰極保護(hù)電位分布的求解,通過建立物理模型,利用相應(yīng)邊界條件及邊界元算法推導(dǎo)出了數(shù)學(xué)模型;采用管單元對(duì)邊界進(jìn)行離散,從而實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)編程求解。當(dāng)遇到管道沿線土壤介質(zhì)不均勻以及管道出現(xiàn)拐點(diǎn)的地方,可利用本文提出的方法作相應(yīng)的處理。

陰極保護(hù);電位分布;邊界元;模型

在陰極保護(hù)工程中,電位是監(jiān)視和控制陰極保護(hù)效果的一項(xiàng)重要指標(biāo),掌握被保護(hù)體表面的陰極保護(hù)電位分布對(duì)于防腐控制很有意義。在傳統(tǒng)陰極保護(hù)工程中,陰極保護(hù)電位大都是采用實(shí)際測(cè)量或經(jīng)驗(yàn)估算的方法來獲得。但對(duì)于海底管道、海洋平臺(tái)、大罐罐底等保護(hù)結(jié)構(gòu),實(shí)地測(cè)量的難度很大,而經(jīng)驗(yàn)估算的方法所得結(jié)果的誤差很大,因此傳統(tǒng)的方法已經(jīng)難以滿足現(xiàn)代陰極保護(hù)安全性的要求。隨著計(jì)算機(jī)以及數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展,利用數(shù)值模擬來獲得陰極保護(hù)電位的分布逐步受到人們的重視。

埋地管道陰極保護(hù)電位的邊界元計(jì)算過程為:物理模型建立→數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)→邊界條件的確定→邊界元算法離散→編程求解。

1 物理模型的建立

外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)的物理模型如圖1所示。由于時(shí)間、試驗(yàn)條件等因素的限制,對(duì)所研究的問題作了一些簡(jiǎn)化[1]:①管道沿線土壤介質(zhì)為均一介質(zhì);②被保護(hù)金屬表面極化行為不瞬時(shí)改變;③電位場(chǎng)為穩(wěn)態(tài)場(chǎng);④電流通過土壤時(shí),遵循歐姆定律;⑤輔助陽極可以看成是集中點(diǎn)源,輸出電流恒定。

以上的簡(jiǎn)化假設(shè)條件,對(duì)于無限大土壤區(qū)域以及長時(shí)間的陰極保護(hù)情況,②、③、④、⑤的假設(shè)是基本滿足的。對(duì)于①的假設(shè),當(dāng)埋地管道是在區(qū)域站場(chǎng)內(nèi)的時(shí)候,可以認(rèn)為土壤介質(zhì)均一;但是對(duì)于長輸管道沿線經(jīng)過的地理環(huán)境差異很大的情況,土壤介質(zhì)則不能看作是均一的介質(zhì),此時(shí)應(yīng)采用分塊處理,即將管道沿線經(jīng)過的土壤區(qū)域分割成若干塊,認(rèn)為每一塊的土壤介質(zhì)是均一的,并且在相鄰兩塊土壤介質(zhì)的交界面上增加相應(yīng)的連續(xù)性條件。

圖1 陰極保護(hù)電位分布的物理模型

認(rèn)為在交界面處通過的法向電流密度相等,即

2 數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)及邊界條件的確定

經(jīng)分析推導(dǎo),得出含點(diǎn)源的土壤中的電位滿足Poission方程[2]為

對(duì)于式(2)所對(duì)應(yīng)的邊值問題的設(shè)置如圖2所示,其中Γb為管道表面,Γd為土壤與大氣的交界面,?!逓樘摴谇蜻吔纭?/p>

圖2所示的邊界條件可以做如下設(shè)置:

在邊界?!奚?,由于所示區(qū)域?yàn)榘霟o限大區(qū)域,故邊界?!奚系碾娢粸榱悖ㄏ嚯娏髅芏纫矠榱?。

圖2 邊值問題示意

在邊界Γd上,由于空氣的電阻率趨于無限大,外加陽極電流不能通過土壤介質(zhì)流入空氣介質(zhì),只能沿著地表流動(dòng),故可以把這個(gè)面當(dāng)做絕緣面來處理,通過該表面的法相電流密度為零[3]。

在陰極邊界Γb上,一般選用實(shí)際測(cè)量的陰極極化曲線。

綜上可得埋地管道陰極保護(hù)電位分布數(shù)學(xué)模型為

3 邊界元算法離散

邊界單元的選取有三角形、四邊形以及柱面單元等。若選擇三角形或四邊形單元,那么形成的節(jié)點(diǎn)會(huì)很多,離散成方程的時(shí)候,方程的個(gè)數(shù)會(huì)很多,給求解帶來很大的不便。而柱面單元的選取則會(huì)大大降低節(jié)點(diǎn)和方程的個(gè)數(shù),因此下面選擇柱面單元加以介紹。

采用管單元法的前提條件是[4]:①被保護(hù)體的幾何形狀適宜進(jìn)行柱面單元剖分;②同一柱面單元截口線上的電位可視為基本相同。

用上述的管單元離散邊界,應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的BEM公式,通過積分變化得到各單元的系數(shù)矩陣如下

以上兩式中,i≠j。K(k)是第一類完全橢圓積分,E(k)是第二類完全橢圓積分,在Matlab中直接調(diào)用即可;J、B是坐標(biāo)變換的結(jié)果;t為局部坐標(biāo);Zrn為管的最后節(jié)點(diǎn)的第三坐標(biāo)。

最后對(duì)式(7)、(8)進(jìn)行數(shù)值積分,對(duì)上述問題所得的標(biāo)準(zhǔn)BEM系統(tǒng)結(jié)果是

4 拐點(diǎn)的處理

對(duì)于常單元,由于單元內(nèi)u和q為常數(shù),沒有角點(diǎn)的問題,但是對(duì)于線性單元、二次單元和高次單元來說,角點(diǎn)問題必須處理,否則在拐點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生很大的誤差,下面討論幾種具體的處理方法。

(1)雙角節(jié)點(diǎn)法。當(dāng)角點(diǎn)為兩個(gè)邊界單元節(jié)點(diǎn)時(shí),可以在該角點(diǎn)的兩側(cè),離角點(diǎn)非常近的位置取兩點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)。由于這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)分別屬于不同的單元,因此節(jié)點(diǎn)上的邊界可以認(rèn)為是光滑的,這種方法簡(jiǎn)單實(shí)用,經(jīng)常被采用。

(2)非協(xié)調(diào)單元法。非協(xié)調(diào)單元法即單元邊界的兩個(gè)端點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)不一致,這種方法實(shí)際是在單元上進(jìn)行線性插值,取邊界單元的1/4處和3/4處為節(jié)點(diǎn),這樣節(jié)點(diǎn)必定在光滑邊界上,在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的現(xiàn)象。

(3)二重節(jié)點(diǎn)法。二重節(jié)點(diǎn)法即是在角點(diǎn)上配置兩個(gè)節(jié)點(diǎn),兩個(gè)節(jié)點(diǎn)有相同的坐標(biāo),但它們分別屬于兩個(gè)不同的單元,函數(shù)值相同但是導(dǎo)數(shù)值不同。在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上建立邊界積分方程時(shí),要附加兩節(jié)點(diǎn)函數(shù)值相同的邊界條件。

5 結(jié)論

對(duì)于埋地管道陰極保護(hù)電位分布的求解,通過建立物理模型,利用相應(yīng)邊界條件及邊界元算法推導(dǎo)出了數(shù)學(xué)模型;采用管單元對(duì)邊界進(jìn)行離散,從而實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)編程求解。當(dāng)遇到管道沿線土壤介質(zhì)不均勻以及管道出現(xiàn)拐點(diǎn)的地方,可利用本文提出的方法作相應(yīng)的處理。

[1]梁成浩,袁傳軍,黃乃寶.邊界元法計(jì)算凍土層管道陰極保護(hù)時(shí)的電位分布[J].大連海事大學(xué)學(xué)報(bào),2011,11(4):109-112.

[2]吳洪潭.邊界元法在傳熱學(xué)中的應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2008.

[3]郝紅娜,李自力,王太源,等.陰極保護(hù)數(shù)值模擬計(jì)算邊界條件的確定[J].油氣儲(chǔ)運(yùn),2011,30(7):504-507.

[4]孟憲級(jí),吳中元,梁旭巍,等.區(qū)域性陰極保護(hù)數(shù)學(xué)模型算法的改進(jìn)[J].中國腐蝕與防護(hù)學(xué)報(bào),1998(9):221-226.

(欄目主持楊軍)

10.3969/j.issn.1006-6896.2014.5.015

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