陳 琦, 胡錫健

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

隱馬爾可夫模型(Hidden Markov Model，HMM)是由Baum L E在20世紀(jì)60年代末提出的一個(gè)非常重要的統(tǒng)計(jì)分析模型，其在語(yǔ)音識(shí)別、故障診斷、生物統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用．評(píng)估問(wèn)題、隱狀態(tài)估計(jì)(解碼)問(wèn)題、參數(shù)估計(jì)(學(xué)習(xí))問(wèn)題是HMM的三個(gè)基本問(wèn)題.其中，隱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題在某種程度上其實(shí)就是一個(gè)貝葉斯估計(jì)問(wèn)題.當(dāng)HMM的隱狀態(tài)取連續(xù)值時(shí)，通常將其稱為狀態(tài)空間模型.對(duì)于線性高斯系統(tǒng)，可以利用卡爾曼濾波(Kalman Filter)得到解析解.對(duì)于狀態(tài)空間是離散的、有限的馬爾可夫鏈的系統(tǒng)，運(yùn)用基于網(wǎng)格的濾波方法(Grid-based methods)可以得到后驗(yàn)概率分布的解析解.但實(shí)際上這些條件在很多動(dòng)態(tài)隨機(jī)系統(tǒng)中很難滿足，大部分是非線性、非高斯的，無(wú)法求出解析解，因此，只能求助于次優(yōu)或逼近方法.文獻(xiàn)[1]提出擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF),但EKF存在線性化誤差，只適用于弱非線性系統(tǒng).文獻(xiàn)[2]提出UT的變換，并在EKF濾波框架里得到廣泛應(yīng)用，被稱為UKF，這種方法不必對(duì)非線性方程進(jìn)行線性化和計(jì)算雅克比矩陣，均值和方差均可精確到二階，比標(biāo)準(zhǔn)的EKF精度更高.但由于這兩種非線性估計(jì)方法都是把pk(xk|y1:k)用高斯逼近，如果真實(shí)的分布是非高斯的，那么就不能精確表示狀態(tài)的真實(shí)分布.然而，對(duì)于狀態(tài)空間是連續(xù)的但是可以劃分成有限的Ns個(gè)單元，那么仍然可以用基于網(wǎng)格的逼近方法來(lái)近似后驗(yàn)概率密度[3].近年來(lái)，將粒子濾波用于處理非線性、非高斯系統(tǒng)的估計(jì)，為貝葉斯估計(jì)提供了有效的新解法.但當(dāng)隱狀態(tài)空間維數(shù)很高時(shí)離子濾波方法有以下兩個(gè)不足之處：計(jì)算量特別大；不能精確近似目標(biāo)分布.此外，離子濾波還要求似然函數(shù)是逐點(diǎn)可知的，但在實(shí)際情況中通常不能滿足，而用近似貝葉斯計(jì)算方法(Approximate Bayesian Compute,ABC)可以避免這些問(wèn)題.本文將HMM隱態(tài)估計(jì)問(wèn)題看作一個(gè)貝葉斯濾波問(wèn)題，首先詳細(xì)介紹粒子濾波用于HMM隱狀態(tài)估計(jì)，然后將近似貝葉斯計(jì)算思想引入HMM隱狀態(tài)估計(jì)中.

1 問(wèn)題描述

HMM是一對(duì)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程{Xn}n≥1、{Yn}n≥1，其中xn∈dx是隱狀態(tài)，yn∈dy是觀測(cè)值。HMM隱狀態(tài)估計(jì)，就是給定觀測(cè)序列y0:n及模型參數(shù)θ，對(duì)隱狀態(tài)作出恰當(dāng)?shù)呐袛?，即在某種意義下求與此觀測(cè)序列對(duì)應(yīng)的最優(yōu)隱狀態(tài)序列x0:n.這一問(wèn)題的回答取決于對(duì)模型狀態(tài)物理意義的理解，根據(jù)不同的準(zhǔn)則，可能會(huì)選出不同的最優(yōu)狀態(tài)序列．

對(duì)?0≤k≤l及n>0,定義φk:l|n(y0:n，·)為給定Y0:n的條件下Xk:l的條件分布，對(duì)于具有轉(zhuǎn)移密度函數(shù)的HMM來(lái)說(shuō)，φk:l|n(y0:n，·)是Yn+1到Xl-k+1的轉(zhuǎn)移核，且有密度函數(shù)φk:l|n(xk:l|y0:n).對(duì)于隱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題有兩種原則，單點(diǎn)最優(yōu)原則對(duì)應(yīng)于條件分布φk|n(y0:n，·)=φk:k|n(y0:n，·),0≤k≤n；路徑最優(yōu)原則對(duì)應(yīng)于條件分布φ0:n|n(y0:n，·).

單點(diǎn)最優(yōu)原則下的隱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題其實(shí)是一個(gè)最優(yōu)濾波問(wèn)題[4]，HMM模型的隱狀態(tài)是由φk|n(xk|y0:n)而得到的，即時(shí)刻k(0≤k≤n)下最有可能的隱狀態(tài)為

(1)

(2)

2 基于離子濾波的HMM隱狀態(tài)估計(jì)

粒子濾波算法是通過(guò)非參數(shù)化的蒙特卡洛(MonteCarlo)模擬方法來(lái)實(shí)現(xiàn)遞推的貝葉斯濾波，適用于任何能用狀態(tài)空間模型描述的非線性系統(tǒng)，其核心思想是得到一批有權(quán)重的離散隨機(jī)采樣點(diǎn)(粒子)來(lái)近似狀態(tài)變量的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，然后利用他們得到估計(jì)值，當(dāng)?shù)玫降牧Ｗ雍芏鄷r(shí)，其精度可以逼近最優(yōu)估計(jì).

2.1 離子濾波估計(jì)過(guò)程描述

HMM隱狀態(tài)估計(jì)的核心是后驗(yàn)分布φ0:n|n(y0:n，·)，假設(shè)其密度函數(shù)存在，則

(3)

(4)

L(y0:n)φ0:n|n(x0:n|y0:n)=L(y0:n-1)φ0:n-1|n-1(x0:n-1|y0:n-1)q(xn-1,xn)g(xn,yn)

(5)

(6)

得φk|n(xk|y0:n)的估計(jì)為

(7)

2.2 建議分布選取

故(4)式的最優(yōu)建議分布為

(8)

2.3 重抽樣

在進(jìn)行序貫重要性采樣時(shí)，隨著 k的增大，將會(huì)出現(xiàn)權(quán)值退化問(wèn)題，當(dāng)n較大時(shí)，就將大量的時(shí)間浪費(fèi)在一些對(duì)估計(jì)結(jié)果不起任何作用的粒子更新上，針對(duì)權(quán)值退化問(wèn)題，Gordon等提出采用重抽樣(Resampling)方法，即評(píng)估粒子權(quán)值后重抽樣粒子以減少小權(quán)值的粒子而復(fù)制大權(quán)值的粒子.

2.4 粒子濾波算法

(a)當(dāng)k=0時(shí)

(b)當(dāng)k=1,2,…，n時(shí)

第k步抽樣：

第k步重抽樣：

由于

(9)

由(7)式知

(10)

(11)

設(shè)

(12)

(13)

3 基于ABC(Approximate Bayesian Compute)的HMM隱狀態(tài)估計(jì)

3.1 ABC的引入

粒子濾波算法是基于重點(diǎn)抽樣來(lái)近似目標(biāo)分布的序列，通常目標(biāo)分布的維數(shù)隨著時(shí)間參數(shù)的增加而增加.在維數(shù)很高時(shí)，離子濾波有計(jì)算量大、不能準(zhǔn)確地近似目標(biāo)分布等缺點(diǎn).第一個(gè)缺點(diǎn)歸因于進(jìn)行模擬和估計(jì)權(quán)值時(shí)的計(jì)算量都很大，第二個(gè)缺點(diǎn)是由于目標(biāo)分布本身的復(fù)雜性.此外，離子濾波通常要求g(xk,yk)是逐點(diǎn)可得的，但在一些應(yīng)用中不能滿足該要求.采用基于近似貝葉斯計(jì)算的方法可以解決此類問(wèn)題.

近似貝葉斯計(jì)算已經(jīng)成為貝葉斯范例的一個(gè)重要方面，在人們感興趣的許多實(shí)際問(wèn)題中，貝葉斯模型不可得，或者由于計(jì)算量太大而不能被擬合，或者所需的模擬方法不能處理問(wèn)題的復(fù)雜性.文獻(xiàn)[5]介紹了后驗(yàn)密度π(x|y)∝g(y|x)μ(x)的如下近似：

(14)

其中：Aε,y={u:ρ(s(u),s(y))<ε}；u是一個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)，∏A是集合A的示性函數(shù)，g是似然函數(shù)，μ是先驗(yàn)密度，s:dy→ds是一個(gè)數(shù)據(jù)的匯總統(tǒng)計(jì)量，ρ是一個(gè)距離測(cè)度.通常ds比dy小很多.如果s是充分的，可以看到當(dāng)ε趨于0時(shí)，πε(x|y)趨于π(x|y).可以采用拒絕抽樣[5]、馬爾可夫蒙特卡洛[6]或序貫蒙特卡洛[7-8])等方法對(duì)(14)式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，其中的關(guān)鍵點(diǎn)是，若不能對(duì)g(u|x)進(jìn)行數(shù)值估計(jì)，但對(duì)任一x，如果可以從g(·|x)進(jìn)行抽樣，仍就可以從πε(x|y)生成樣本.

3.2 ABC目標(biāo)的構(gòu)建

πn(x1:n|y1:n)的邊際ABC目標(biāo)為

(15)

3.3 ABC目標(biāo)的SMC算法

第1步：

4 結(jié)束語(yǔ)

文中將HMM的隱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題看成一個(gè)貝葉斯估計(jì)問(wèn)題，在單點(diǎn)原則下就是一個(gè)最優(yōu)濾波問(wèn)題，而解決濾波問(wèn)題的方法很多，但適用的條件及范圍各不相同，其得到的估計(jì)結(jié)果精度也不相同.離子濾波可以很好地對(duì)大部分HMM的隱狀態(tài)的后驗(yàn)密度進(jìn)行估計(jì)，但其也有自身的一些缺點(diǎn)，并且當(dāng)遇到g(xk,yk)逐點(diǎn)不可得時(shí)，無(wú)法對(duì)后驗(yàn)密度進(jìn)行估計(jì).而基于ABC的方法可以對(duì)此類情況進(jìn)行估計(jì)，從而使HMM隱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題得到了全面解決，而且也可以考慮將ABC方法用到其它更廣泛的領(lǐng)域中.

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