杜先存, 孫映成, 萬 飛
(1.紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院 云南蒙自661199;2.鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 江蘇鹽城224002)
關(guān)于三次不定方程
的整數(shù)解的問題一直是數(shù)論研究者關(guān)注的問題.文獻(xiàn)[1-5]給出了一些結(jié)果.
就起著重要的作用.然而關(guān)于不定方程組(2)的整數(shù)解的情況,目前僅就D為素?cái)?shù)時(shí),有一些結(jié)論:文獻(xiàn)[6]得出了方程組x+1=6Du2,x2-x+1=3v2無正整數(shù)解;文獻(xiàn)[7]得出了x-1=6Du2,x2+x+1=3v2僅有整數(shù)解(D,x,u,v)=(D,1,0,±1),(13,313,±2,±181).
本文將利用遞歸序列、Pell方程的解的性質(zhì)、Maple小程序,得出當(dāng)D含兩個(gè)互異的6k+1型素因子時(shí)方程組(2)的解的情況.
引理1[8]設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù),則丟番圖方程4x4-py2=1除開p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外,無其他的正整數(shù)解.
引理2[8]方程 x2-3y4=1 僅有整數(shù)解
定理1 設(shè)p,q為互異的奇素?cái)?shù),p≡q≡1(mod 6),則不定方程組
只有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1).
證明 1)先證存在性
將式(3)的x=1+6pqu2代入x2+x+1=3v2,整理得
設(shè)(xn,yn)(n∈Z)為Pell方程X2-3Y2=1的任意整數(shù)解,顯然 2 +是Pell方程X2-3Y2=1的基本解.于是式(4)的一切整數(shù)解可表示為
因此,4pqu2+1= ±yn(n∈Z),即4pqu2= ±yn-1.又 y-n= -yn,所以只需考慮
由式(5),得 yn≡1(mod 4).
容易驗(yàn)證下列各式成立:
對(duì)遞歸序列(6)取模4,得周期為4的剩余類序列,且僅當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí),有yn≡1(mod 4),所以只有當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí)式(5)才成立.
當(dāng) n≡1(mod 4)時(shí),不妨令 n=4m+1(m∈Z),則由式(5)、(7)和(8)得
即2pqu2=x2m+1y2m.
由式(7)得,gcd(x2m+1,y2m)=gcd(2x2m+3y2m,y2m)=gcd(2x2m,y2m)=gcd(2,y2m)=2.又由式(9)、(10)得,x2m+1≡2(mod 4),y2m≡0(mod 4),所以下列情形之一成立:
將式(13)中x2m+1=2a2代入x22m+1-3y22m+1=1,得4a4-3y22m+1=1.根據(jù)引理1知,a= ±1,此時(shí)x2m+1=2,則 m=0.再由式(6)得 y0=0,故由式(13)中 y2m=4pqb2,得 4pqb2=0,則 b=0,故 u=0,于是得到方程組(3)的平凡解(x,u,v)=(1,0,±1).
2)再證唯一性
由式(14)的 y2m=4b2得 xmym=2b2,又由式(10)知 ym?2(mod 4),而 gcd(xm,ym)=1,故 xm=2c2,ym=d2,因此有4c4-3y2m=1.根據(jù)引理1 知,c= ±1,ym= ±1.則由 c= ±1 得,xm=2,故 m=1.此時(shí)由式(11)得x3=26,故由式(14)的 x2m+1=2pqa2,得26=2pqa2,所以 a=1,pq=13,這與“p,q為互異的奇素?cái)?shù)”矛盾.所以該情形方程組(3)無整數(shù)解.
由式(15)的y2m=4pb2得xmym=2pb2,又由式(10)知ym?2(mod 4),而 gcd(xm,ym)=1,所以下列情形之一成立:
若式(17)成立,則有4c4-3y2m=1.由引理1 知,ym= ±1,則由式(18)ym=pd2,得1=pd2,則有p=1,這與“p為奇素?cái)?shù)”矛盾,所以該情形方程組(3)無整數(shù)解.
若式(18)成立,則有 x2m-3d4=1.由引理2 知,xm= ±1,±2,±7,故由式(18)xm=2pc2,有 2pc2=2,則p=1,這與“p為奇素?cái)?shù)”矛盾,所以該情形方程組(3)無整數(shù)解.
由式(16)的y2m=4qb2,仿式(15)的討論知,該情形方程組(3)無整數(shù)解.
綜上1)和2)可知,定理1成立.
從2018年初開始,合作社不再聘請(qǐng)執(zhí)行理事,所有經(jīng)營(yíng)管理由村兩委負(fù)責(zé)。合作社每年將召開全體成員大會(huì)一次,向全體社員匯報(bào)年度的重要工作、財(cái)務(wù)收支、股權(quán)分紅以及下一年度工作計(jì)劃。
定理2 設(shè)p,q為互異的奇素?cái)?shù),p≡q≡1(mod 6),則不定方程組
僅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).
事實(shí)上,將x=6pqu2-1代入x2-x+1=3v2,整理得
仿照定理1的證明可知式(20)的一切整數(shù)解可表示為
為此也只需考慮
由式(21),得 yn≡ -1(mod 4).
對(duì)遞歸序列(6)取模4,得周期為4的剩余類序列,且僅當(dāng)n≡-1(mod 4)時(shí),有yn≡-1(mod 4),所以只有當(dāng)n≡-1(mod 4)時(shí)式(21)才成立.
當(dāng) n≡ -1(mod 4),令 n=4m -1(m∈Z),則由(8)、(12)和(21)得
即
由式(6)知僅當(dāng)m=0時(shí),y2m=0.又由式(11)知對(duì)于任意整數(shù)m,均有x2m-1≠0,所以僅當(dāng) m=0時(shí),x2m-1y2m=0.
(i)m=0 時(shí),由式(22)得,u=0,此時(shí)得出方程組(19)的平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).
(ii)m≠0時(shí),仿定理1的證明可知不定方程組(19)無整數(shù)解.
綜上,定理成立.
對(duì)于方程組(2)的整數(shù)解的情況,本文僅僅給出了D含兩個(gè)互異的6k+1形素因子時(shí)的解的情況,對(duì)于D含3個(gè)及以上互異的6k+1形素因子時(shí)方程組(2)的解的情況還有待于進(jìn)一步研究.
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