国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

關(guān)于不定方程組x±1=6pqu2,x2?x+1=3υ2 的整數(shù)解

2014-03-20 06:49:12杜先存孫映成
關(guān)鍵詞:素?cái)?shù)方程組整數(shù)

杜先存, 孫映成, 萬 飛

(1.紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院 云南蒙自661199;2.鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 江蘇鹽城224002)

0 引言

關(guān)于三次不定方程

的整數(shù)解的問題一直是數(shù)論研究者關(guān)注的問題.文獻(xiàn)[1-5]給出了一些結(jié)果.

就起著重要的作用.然而關(guān)于不定方程組(2)的整數(shù)解的情況,目前僅就D為素?cái)?shù)時(shí),有一些結(jié)論:文獻(xiàn)[6]得出了方程組x+1=6Du2,x2-x+1=3v2無正整數(shù)解;文獻(xiàn)[7]得出了x-1=6Du2,x2+x+1=3v2僅有整數(shù)解(D,x,u,v)=(D,1,0,±1),(13,313,±2,±181).

本文將利用遞歸序列、Pell方程的解的性質(zhì)、Maple小程序,得出當(dāng)D含兩個(gè)互異的6k+1型素因子時(shí)方程組(2)的解的情況.

1 主要引理

引理1[8]設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù),則丟番圖方程4x4-py2=1除開p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外,無其他的正整數(shù)解.

引理2[8]方程 x2-3y4=1 僅有整數(shù)解

2 主要定理及證明

定理1 設(shè)p,q為互異的奇素?cái)?shù),p≡q≡1(mod 6),則不定方程組

只有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1).

證明 1)先證存在性

將式(3)的x=1+6pqu2代入x2+x+1=3v2,整理得

設(shè)(xn,yn)(n∈Z)為Pell方程X2-3Y2=1的任意整數(shù)解,顯然 2 +是Pell方程X2-3Y2=1的基本解.于是式(4)的一切整數(shù)解可表示為

因此,4pqu2+1= ±yn(n∈Z),即4pqu2= ±yn-1.又 y-n= -yn,所以只需考慮

由式(5),得 yn≡1(mod 4).

容易驗(yàn)證下列各式成立:

對(duì)遞歸序列(6)取模4,得周期為4的剩余類序列,且僅當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí),有yn≡1(mod 4),所以只有當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí)式(5)才成立.

當(dāng) n≡1(mod 4)時(shí),不妨令 n=4m+1(m∈Z),則由式(5)、(7)和(8)得

即2pqu2=x2m+1y2m.

由式(7)得,gcd(x2m+1,y2m)=gcd(2x2m+3y2m,y2m)=gcd(2x2m,y2m)=gcd(2,y2m)=2.又由式(9)、(10)得,x2m+1≡2(mod 4),y2m≡0(mod 4),所以下列情形之一成立:

將式(13)中x2m+1=2a2代入x22m+1-3y22m+1=1,得4a4-3y22m+1=1.根據(jù)引理1知,a= ±1,此時(shí)x2m+1=2,則 m=0.再由式(6)得 y0=0,故由式(13)中 y2m=4pqb2,得 4pqb2=0,則 b=0,故 u=0,于是得到方程組(3)的平凡解(x,u,v)=(1,0,±1).

2)再證唯一性

由式(14)的 y2m=4b2得 xmym=2b2,又由式(10)知 ym?2(mod 4),而 gcd(xm,ym)=1,故 xm=2c2,ym=d2,因此有4c4-3y2m=1.根據(jù)引理1 知,c= ±1,ym= ±1.則由 c= ±1 得,xm=2,故 m=1.此時(shí)由式(11)得x3=26,故由式(14)的 x2m+1=2pqa2,得26=2pqa2,所以 a=1,pq=13,這與“p,q為互異的奇素?cái)?shù)”矛盾.所以該情形方程組(3)無整數(shù)解.

由式(15)的y2m=4pb2得xmym=2pb2,又由式(10)知ym?2(mod 4),而 gcd(xm,ym)=1,所以下列情形之一成立:

若式(17)成立,則有4c4-3y2m=1.由引理1 知,ym= ±1,則由式(18)ym=pd2,得1=pd2,則有p=1,這與“p為奇素?cái)?shù)”矛盾,所以該情形方程組(3)無整數(shù)解.

若式(18)成立,則有 x2m-3d4=1.由引理2 知,xm= ±1,±2,±7,故由式(18)xm=2pc2,有 2pc2=2,則p=1,這與“p為奇素?cái)?shù)”矛盾,所以該情形方程組(3)無整數(shù)解.

由式(16)的y2m=4qb2,仿式(15)的討論知,該情形方程組(3)無整數(shù)解.

綜上1)和2)可知,定理1成立.

從2018年初開始,合作社不再聘請(qǐng)執(zhí)行理事,所有經(jīng)營(yíng)管理由村兩委負(fù)責(zé)。合作社每年將召開全體成員大會(huì)一次,向全體社員匯報(bào)年度的重要工作、財(cái)務(wù)收支、股權(quán)分紅以及下一年度工作計(jì)劃。

定理2 設(shè)p,q為互異的奇素?cái)?shù),p≡q≡1(mod 6),則不定方程組

僅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).

事實(shí)上,將x=6pqu2-1代入x2-x+1=3v2,整理得

仿照定理1的證明可知式(20)的一切整數(shù)解可表示為

為此也只需考慮

由式(21),得 yn≡ -1(mod 4).

對(duì)遞歸序列(6)取模4,得周期為4的剩余類序列,且僅當(dāng)n≡-1(mod 4)時(shí),有yn≡-1(mod 4),所以只有當(dāng)n≡-1(mod 4)時(shí)式(21)才成立.

當(dāng) n≡ -1(mod 4),令 n=4m -1(m∈Z),則由(8)、(12)和(21)得

由式(6)知僅當(dāng)m=0時(shí),y2m=0.又由式(11)知對(duì)于任意整數(shù)m,均有x2m-1≠0,所以僅當(dāng) m=0時(shí),x2m-1y2m=0.

(i)m=0 時(shí),由式(22)得,u=0,此時(shí)得出方程組(19)的平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).

(ii)m≠0時(shí),仿定理1的證明可知不定方程組(19)無整數(shù)解.

綜上,定理成立.

對(duì)于方程組(2)的整數(shù)解的情況,本文僅僅給出了D含兩個(gè)互異的6k+1形素因子時(shí)的解的情況,對(duì)于D含3個(gè)及以上互異的6k+1形素因子時(shí)方程組(2)的解的情況還有待于進(jìn)一步研究.

[1] 柯召,孫琦.關(guān)于丟番圖方程 x3±1=Dy2[J].中國(guó)科學(xué),1981,24(12):1453 -1457.

[2] 黃壽生.關(guān)于指數(shù) Diophantine方程 x3-1=2py2[J].?dāng)?shù)學(xué)研究與評(píng)論,2007,27(3):664 -666.

[3] 管訓(xùn)貴.關(guān)于 Diophantine方程x3±1=2py2[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,21(6):438 -441.

[4] 張海燕,王連芳.關(guān)于丟番圖方程x3±1=2Dy2[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1997,2(6):85 -87.

[5] 杜先存,趙東晉,趙金娥.關(guān)于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,39(1):42-43.

[6] 田曉霞.關(guān)于不定方程組 x+1=6py2,x2-x+1=3z2[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào),2009,22(1):30 -31.

[7] 牟全武.對(duì)文“關(guān)于指數(shù)Diophantine方程x3-1=2py2”的注記[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,11(4):43 -45.

[8] 曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989.

猜你喜歡
素?cái)?shù)方程組整數(shù)
孿生素?cái)?shù)
兩個(gè)素?cái)?shù)平方、四個(gè)素?cái)?shù)立方和2的整數(shù)冪
深入學(xué)習(xí)“二元一次方程組”
《二元一次方程組》鞏固練習(xí)
關(guān)于兩個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)素?cái)?shù)κ次冪的丟番圖不等式
一類次臨界Bose-Einstein凝聚型方程組的漸近收斂行為和相位分離
一類整數(shù)遞推數(shù)列的周期性
奇妙的素?cái)?shù)
聚焦不等式(組)的“整數(shù)解”
非自治耗散Schr?dinger-Boussinesq方程組緊致核截面的存在性
404 Not Found

404 Not Found


nginx
大方县| 高碑店市| 屯昌县| 武冈市| 涪陵区| 平舆县| 信宜市| 深水埗区| 嘉义市| 社旗县| 青河县| 健康| 抚州市| 渭源县| 开封市| 双牌县| 威信县| 宣汉县| 赤城县| 大同县| 黄龙县| 郧西县| 辛集市| 灵武市| 宜兰市| 广德县| 墨竹工卡县| 嵩明县| 营口市| 微山县| 兴城市| 化州市| 久治县| 庆安县| 罗定市| 太原市| 临猗县| 游戏| 当雄县| 华蓥市| 凯里市|