林雪梅, 胡勁松, 劉 倩

(西華大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 四川 成都 610039)

在研究弱非線性離子聲波和空間帶電波的傳播時(shí),文獻(xiàn)[1]提出了對(duì)稱正則長(zhǎng)波(SRLW)方程

uxxt-ut=ρx+uux,

(1)

ρt+ux= 0.

(2)

關(guān)于SRLW方程(1)、(2)的定解問(wèn)題的適定性及數(shù)值方法的研究也引起了廣泛關(guān)注[2-5].但在實(shí)際問(wèn)題中,粘性耗散是不可避免的,且與色散一樣起著十分重要的作用.因此,本文考慮如下一類具有耗散項(xiàng)的SRLW方程的初邊值問(wèn)題

uxxt-ut+βuxx=ρx+uux,

(3)

ρt+ux= 0,

(4)

u(x,0)=u0(x),ρ(x,0)=ρ0(x),

x∈[xL,xR],

(5)

u(xL,t)=u(xR,t)=0,ρ(xL,t)=ρ(xR,t)=0,

t∈[0,T],

(6)

其中β是耗散系數(shù).不難證明,該問(wèn)題具有如下守恒律

(7)

(8)

在考慮耗散時(shí),方程(3)和(4)是反映非線性離子聲波運(yùn)動(dòng)本質(zhì)現(xiàn)象的合理模型[6].文獻(xiàn)[6-10]分別討論了方程(3)和(4)的解的適定性和整體存在唯一性以及解的長(zhǎng)時(shí)間性態(tài)等,但其解析解很難求出,于是,研究其定解問(wèn)題的數(shù)值解就很有意義.如果計(jì)算精度較高,而且還能模擬問(wèn)題本身的守恒性質(zhì),無(wú)疑是最理想的數(shù)值方法[2-4,9-10].文獻(xiàn)[11-12]對(duì)(3)～(6)式分別提出了一個(gè)具有二階精度的2層非線性差分格式和3層線性差分格式,文獻(xiàn)[13-14]又進(jìn)一步對(duì)帶有阻尼項(xiàng)的耗散SRLW方程進(jìn)行了數(shù)值研究,但都沒(méi)有考慮問(wèn)題的守恒律(7)和(8)式.本文利用Lax格式的離散思想,在保持二階理論精度的情況下,引入加權(quán)系數(shù)a,對(duì)問(wèn)題(3)-(6)提出了一個(gè)3層線性的加權(quán)差分格式,格式合理地模擬了(7)和(8)式,從而適合長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算.由于格式是線性的,數(shù)值求解是不需要迭代,計(jì)算時(shí)間比較節(jié)約;數(shù)值算例表明,通過(guò)適當(dāng)?shù)卣{(diào)整加權(quán)系數(shù)a,從而使計(jì)算結(jié)果比文獻(xiàn)[12]中的二階格式具有更高精度.

1 守恒律和差分解估計(jì)

(9)

(10)

(9)～(12)式對(duì)(7)和(8)式的數(shù)值模擬得定理1.

定理1(9)～(12)式關(guān)于離散能量守恒

(13)

(14)

證明(9)式兩端乘以h后對(duì)j求和,結(jié)合(12)式和(3)式,可得

遞推可得(13)式.

同理,對(duì)(10)式兩端乘以h后對(duì)j求和,然后遞推可得(14)式.

定理2設(shè)u0∈H1,ρ0∈L2,則(9)～(12)式的解滿足:‖un‖ ≤C,‖uxn‖ ≤C,‖ρn‖ ≤C,‖un‖∞≤C(n=1,2,…,N).

(15)

(17)

(18)

將(15)與(18)式相加,并結(jié)合(16)和(17)式得

令

a(‖ρn+1‖2+‖ρn‖2),

將上式遞推可得

Bn≤Bn-1≤ …≤B0=C,

又

則

(a-|1-a|)(‖un+1‖2+‖un‖2)+

(‖ρn+1‖2+‖ρn‖2) ≤Bn≤C,

由離散的Sobolev不等式[3]得

‖un‖∞≤C.

2 差分格式的收斂性和穩(wěn)定性

(20)

定理3設(shè)u0∈H1,ρ0∈ L2,則差分格式(9)～(12)式的解un以‖·‖∞,ρn以‖·‖L2收斂到初邊值問(wèn)題(3)～(6)式的解,且收斂階為O(τ2+h2).

(22)

(23)

(24)

由定理2以及Schwraz不等式得

‖en+1‖2+‖exn+1‖2+‖exn-1‖2),

(25)

又

(26)

(27)

再將(24)和(27)式相加,并結(jié)合(25)和(26)式,令

有

Dn-Dn-1≤τ‖rn‖2+τ‖sn‖2+Cτ(‖en+1‖2+

(28)

將(28)式從1到n求和有

(29)

其中

T·O(τ2+h2)2,

T·O(τ2+h2)2,

先用2層格式[11]計(jì)算出u1和ρ1,使之滿足D0≤O(τ2+h2)2,又類似(19)式有

(‖ηn+1‖2+‖ηn‖2)

‖ηn‖≤O(τ2+h2),

再由(3)式有

‖en‖∞≤O(τ2+h2).

與定理3類似,可以證明定理4.

定理4在定理3的條件下,差分格式(9)～(12)式的解un以‖·‖∞,ρn以‖·‖L2穩(wěn)定.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在t=0時(shí),由于耗散還沒(méi)有產(chǎn)生,所以在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,把(3)～(6)式中的初值函數(shù)取為SRLW方程(1)和(2)的初值函數(shù)[11](t=0時(shí))

固定-xL=xR=20,T=1.0,取β=1.由于方程(3)和(4)的精確解并不知道,用類似文獻(xiàn)[11]中的誤差估計(jì)方法,將細(xì)網(wǎng)格(τ=h=1/160)上的數(shù)值解作為精確解來(lái)估計(jì)誤差,就τ和h的不同取值時(shí),幾個(gè)不同時(shí)刻的l∞誤差(表1～2),及對(duì)守恒量的模擬(表3和4).

當(dāng)加權(quán)系數(shù)a=1時(shí),本文的格式即為文獻(xiàn)[14]中的格式.數(shù)值結(jié)果表明,加權(quán)系數(shù)a(a>1/2)取得越小,計(jì)算精度越高,特別當(dāng)a=1/2時(shí),計(jì)算精度比文獻(xiàn)[14]中的格式的計(jì)算精度有大幅度提高;另外格式對(duì)守恒量(7)和(8)式也進(jìn)行了很好的模擬,故本文的格式是有效的.

表 1 τ=h=0.05時(shí),就不同的參數(shù)a,在幾個(gè)不同時(shí)刻的l∞誤差Table 1 The error at various time step in norm ‖·‖∞ with τ=h=0.05

表 2 τ=h=0.025時(shí),就不同的參數(shù)a,在幾個(gè)不同時(shí)刻的l∞誤差Table 2 The error at various time step in norm ‖·‖∞ with τ=h=0.025

表 3 在不同時(shí)刻對(duì)守恒量(7)和(8)式的數(shù)值模擬和Table 3 Numerical simulations on two conservation invariants and with τ=h=0.05

表 4 在不同時(shí)刻對(duì)守恒量(7)和(8)式的數(shù)值模擬和Table 4 Numerical simulations on two conservation invariants and with τ=h=0.025

致謝西華大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(YCJJ201311)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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