劉 勇，劉希強(qiáng)

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廣義KP-BBM方程的相似、約化、精確解及守恒律

*劉 勇，劉希強(qiáng)

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城 252059)

利用經(jīng)典李群方法對(2+1)維GKP-BBM方程對稱和約化，借助三個(gè)輔助方程得到了許多的精確解，并且給出GKP-BBM方程的守恒定律。

李群方法；gkp-bbm方程；精確解；對稱約化；守恒律

1 研究前沿

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們越來越關(guān)注于非線性科學(xué)。尋找非線性發(fā)展方程的精確解已成為一個(gè)重要的課題。因此一些有效的方法被提出，試圖尋找解決方案的非線發(fā)展方程，如擴(kuò)展的tanh函數(shù)展開法[1]，F(xiàn)-函數(shù)展開法[2]，指數(shù)函數(shù)展開法方法[3]，Jacobi橢圓函數(shù)展開法[4]，齊次平衡方法[5]，經(jīng)典和非經(jīng)典李群方法[6-8]，雙曲函數(shù)法[9]等。其中的經(jīng)典李群方法是一種有效的方法。

Wazwaz[10-11]研究 Kadomtsov-Petviashvili- Benjamin-BonaMahony (KP-BBM) 方程

和廣義KP-BBM方程

這里，和都是任意常系數(shù)。在文獻(xiàn)[10-11]中，作者利用sine-cosine法和擴(kuò)展的tanh法得到方程(1)的一些孤立子解和周期解。Abdou[12]在2008年得到了方程(1)的一些周期解、孤波解和三角函數(shù)解。此外，宋明[13]利用分叉法獲得了方程(2)的一些平滑周期波形解和周期沖擊波解。

方程(2) 轉(zhuǎn)化為：

本文利用經(jīng)典李群方法研究方程(3)。利用經(jīng)典李群方法是尋找方程(3)對稱，并借助對稱得到方程(3)的一些相似約化和精確解，包括雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)解，有理函數(shù)周期解，橢圓函數(shù)解等。

本文構(gòu)成如下: 第二部分，利用嚴(yán)拓的方法得到方程(3)的李典對稱群。第三部分，得到方程(3)的相似約化和精確解。第四部分，給出方程(3)的無窮維守恒定律。在第五部分，得到了相關(guān)的結(jié)論。

2 GKP-BBM方程的經(jīng)典對稱

首先，考慮一個(gè)單參數(shù)李群的無窮小變換:

求解此超定方程組可得：

同時(shí)，也得到上述對稱的生成元：

由(10)可得

其算子關(guān)系見表1。由表1可知，方程(3)滿足一個(gè)四維李代數(shù)。

表1 李括號運(yùn)算結(jié)果

若選取文獻(xiàn)[13]中，方程(3)的周期沖擊波解：

由此可知，將文獻(xiàn)[13]中得到的GKP-BBM方程的解進(jìn)行推廣，繼而得到大量的新精確解。

3 GKP-BBM方程的約化和精確解

為了求出方程(3)的相似約化和精確解，根據(jù)對稱(9)式可得到下述對應(yīng)的特征方程組：

考慮以下四種情況：

(15)

以下考慮情況(a)、(b)、(c)得到方程(3)的精確解。

設(shè)方程(21)有如下形式的解：

方程（22）轉(zhuǎn)化為：

類似情況 1, 設(shè)方程(25)有如下解的形式：

(26)

將(26)式和(27)式代入到(25)式, 可以得到如下結(jié)果：

由此, 可以獲得如下情況的解：

情況2.1 當(dāng)方程(3)有七組雙曲函數(shù)解：

為了得到方程(16)更多的解，以下利用輔助方程[17]求解，

將(26)式和(29) 式代入到(25)式中, 可以得到如下結(jié)果：

由此得如下解：

情況 3顯然, 方程(18) 具有如下形式的解：

此時(shí)方程(3)有一組解

此外, 若設(shè)(18) 式有如下形式的解：

利用(18)式和(30)式, 此時(shí)方程(3)有一組解：

情況 4 類似情況 2。這里省略。

4 GKP-BBM 方程守恒律

為了得到GKP-BBM方程的守恒律，以下介紹所需的符號和定理。

定義1 方程(33)的共軛方程可以定義為如下形式[18-20]：

其中

定理1 由方程(33)和它的共軛方程(34)構(gòu)成的系統(tǒng)[18-20]

有一個(gè)Lagrangian，即：

下面介紹由Ibragimov在參考文獻(xiàn)[20]中提出的“新的守恒定理”

其中是李特征元素且滿足

以下利用方程GKP-BBM的對稱和共軛方程來研究其守恒律。方程(3)的共軛方程形式如下：

和對稱形式下的Lagrangian

利用定理1, 守恒向量對應(yīng)的算子如下

由以上過程可求得算子：

利用這個(gè)算子進(jìn)而得到：

方程(3)的守恒律如下：

5 結(jié)論

本文利用經(jīng)典李群法，得到了GKP-BBM方程的對稱，李代數(shù)，相似約化。通過求解約化方程得到了GKP-BBM方程大量的精確解，這些精確解在數(shù)學(xué)物理中有著重要的作用。最后給出了GKP-BBM方程的守恒律。本文的行文過程也有力的說明了李群方法是一個(gè)非常有用的方法，值得進(jìn)一步深入研究。

圖1 當(dāng)h2=1,h4=-1,c1=c2=c3=a=h0=b=k=1,t=0,uc.1為鐘狀解

圖2 當(dāng)h2=1,h4=-1,c1=c2=c3=a=h0=b=k=1,t=0,ud.1為扭結(jié)解

圖3 當(dāng)h2=h4=c1=c2=c3=a=h0=b=k=1,t=0,ue.1為奇異解

圖4 當(dāng)h2=-1,h4=1,c1=c2=c3=a=h0=b=k=1,t=0,uf.1為三角周期解

[1] Wazwaz A M. The tanh method for travelling wave solution of nonlinear wave equations[J]. Appl. Math. Comput., 2007, 187: 1131-1142.

[2] Abdou M A. The extended F-expansion method and its application for a class of nonlinear evolution equation [J]. Chaos, Soliton Fract, 2007,31:95-104.

[3] He J H, Wu X H. Exp-function method for nonlinear wave equation[J].Chaos, Soliton Fract.,2006(3):700-708.

[4] Fan E G, Zhang J. Applications of the Jacobi elliptic function method to special-type nonlinear equations[J]. Phys. Lett.A ,2002,305:383-392.

[5] Wang M L. Exact solutions of a compound KdV-Burgers equation[J]. Phys. Lett. A, 1996,213: 279-287.

[6] Xin X P, Liu X Q, Zhang Lin-Lin. Explicit solutions of the BK equation[J]. Appl. Math.Comput.,2010,215: 3669-3673.

[7] Liu N, Liu X Q. Similarity reductions and similarity solutions of the (3+1)- dimensional Kadomtsev– Petviashvili equation[J]. Chin. Phys. Lett. 2008,25: 3527-3530.

[8] Wang L, Liu X Q, Dong Z Z. Study of (2+1)-dimensional higher-order Broer–Kaupsystem[J].Commun. Theor.Phys., 2007,47:403-408.

[9] Bai C L, Zhang X, Zhang H. Some new solutions derived from the nonlinear (2+1)-dimensional Toda equation-an efficient method of creating solutions[J]. Chin. Phys. B2009,18: 475.

[10] Wazwaz A M. Exact solutions of compact and noncompact structures for the KP-BBM equation[J]. Applied Mathematics and Computation.2005,169: 700-712.

[11] Wazwaz A M. The extended tanh method for new compact and noncompact solutions for the KP-BBM and the ZK-BBM equations[J]. Chaos,Solitons and Fractals. 2008,38:1505-1516.

[12] Abdou M A. Exact periodic wave solutions to some nonlinear evolution equations[J]. International,Journal of Nonlinear Science. 2008(6):145-153.

[13] Song M, Liu Z R.Periodic Wave Solutions and Their Limits for the Generalized KP-BBM Equation[J]. Journal of Applied Mathematics,. 2012(10): 1155-1180.

[14] Bai C L, Bai C J, Zhao H. A new generalized algebraic method and its application in nonlinear evolution equations with variable coef?cients [J].Z. Naturforsch, 2005, 60a: 211-220.

[15] Khalfallah M. Exact traveling wave solutions of the Boussinesq–Burgers equation, Math. Comput[J]. Model,2009,49:666-671.

[16] Yan Z Y, H Zhang Q. New explicit solitary wave solutions and periodic wave solutions for Whitham-Broer- Kaup equation in shallow water[J]. Phys. Lett. A, 2001,285: 355-362.

[17] Sirendaoreji, Sun J. Auxiliary equations method for solving nonlinear partial differential equations[J]. Phys, Lett. A , 2003,309:387-396.

[18] Zhang L H. Conservation laws of the (2 + 1)-dimensional KP equation and Burgers equation with variable coefficients and cross terms[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013,219: 4865-4867.

[19] Wang G W, Liu X Q, Zhang Y Y. Symmetry reduction, exact solutions and conservation laws of a new fifth-order nonlinear integrable equation[J]. Commun Nonlinear Sci Number simulat, 2013,18:2313-2320.

[20] Ibragimov NH. A new conservation theorem[J]. J Math Anal Appl: 2007, 333:311-328.

SYMMETRY REDUCTIONS, EXACT SOLUTIONS AND CONSERVATION LAWS OF THE GENERALIZED KADOMTSOV- PETVIASHVILI- BENJAMIN-BONAMAHONY EQUATION

*LIU Yong, LIU Xi-qiang

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng, Shandong 252059, China)

Based on the classical Lie group method, we find the classical symmetry and reductions of (2+1)-dimensional GKP-BBM equation.Some new solutions of the solutions should be derived by applying three auxiliary equations. Furthermore, we give the conservation laws of theGKP-BBM equation.

Lie group method; GKP-BBM equation; exact solutions; symmetry reduction; conservation laws

1674-8085(2014)01-0001-07

O175.2

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.01.001

2013-09-23；

2013-12-05

國家自然科學(xué)基金委員會-中國工程物理研究院聯(lián)合基金項(xiàng)目(11076015)

*劉 勇(1982-)，男，山東棗莊人，碩士生，主要從事非線性發(fā)展方程求解研究(E-mail: liuyong0616@163.com);

劉希強(qiáng)(1957-)，男，山東菏澤人，教授，博士，主要從事非線性發(fā)展方程系統(tǒng)研究(E-mail:liuxq@sina.com).