董永照

在解決許多幾何計(jì)算問(wèn)題時(shí)，“解直角三角形”的思想常常會(huì)被應(yīng)用，即考慮將所求元素置于某直角三角形中，通過(guò)解直角三角形的方法將它們求出. 在此過(guò)程中，常常需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，才能構(gòu)造出想要的直角三角形. 現(xiàn)就常用的添加輔助線的方法作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹：

一、 作三角形的高

若三角形的內(nèi)角（或外角）中有特殊角時(shí)，則可過(guò)非特殊角的頂點(diǎn)作三角形的高，構(gòu)造出含特殊角的直角三角形.

例1 如圖1，某公園計(jì)劃在一塊三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知AB=20 m，AC=30 m，∠A=150°，若這種草皮每平方米售價(jià)為a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要（ ）元.

A. 450a B. 300a

C. 225a D. 150a

【解析】本題的關(guān)鍵是求△ABC的面積，可選AB作為底，過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高，如圖2. 在Rt△ADC中，已知一邊一角（AC=30 m，∠DAC=30°），便可通過(guò)解直角三角形求出高CD，進(jìn)而求出△ABC的面積.

二、 作梯形的雙高線

若梯形的內(nèi)角中有特殊角時(shí)，一般可作梯形的雙高，可構(gòu)造出兩個(gè)含特殊角的直角三角形以及一個(gè)矩形.

例2 如圖3，有一條人工河，河的兩岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排間隔為50 m的彩燈柱C、D、E…，某人在河岸MN的A處測(cè)得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175 m到達(dá)B處，測(cè)得∠CBN=45°，求這條河的寬度. （參考數(shù)據(jù)：sin21°≈，tan21°≈）

【解析】如圖3，分別過(guò)點(diǎn)A、C作AS⊥PQ、CT⊥BN，構(gòu)造出含有21°、45°的直角三角形. 設(shè)出河寬，利用相應(yīng)的三角函數(shù)表示出SD、BT的長(zhǎng)，利用等量關(guān)系SC=AT，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入，即可求得河寬.

三、 連接特殊四邊形的對(duì)角線

例3 公園里有一塊形如圖4中四邊形ABCD的草地，測(cè)得BC=CD=10 m，∠B=∠C=120°，∠A=45°. 請(qǐng)你求出這塊草地的面積.

【解析】若連接BD，則四邊形ABCD被分割成等腰△BCD和△ABD，通過(guò)計(jì)算∠ABD的大小，可以發(fā)現(xiàn)△ABD是一個(gè)等腰直角三角形，這樣便很容易求出四邊形ABCD的面積.

四、 延長(zhǎng)四邊形不相鄰的兩邊

若四邊形中相鄰的兩角互余時(shí)，可延長(zhǎng)不相鄰的兩邊使之相交，構(gòu)造出相應(yīng)的直角三角形.

例4 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=1，∠A=30°，∠B=60°，四邊形ABCD的面積為5，求AD的長(zhǎng).

【解析】顯然在四邊形ABCD中，有特殊角∠A和∠B，且它們互余，于是延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，可得Rt△AEB，進(jìn)一步可求出AE、BE的長(zhǎng). 最后設(shè)AD=x，通過(guò)四邊形ABCD的面積為5，建立關(guān)于x的方程，從而得解.

若四邊形中有一對(duì)對(duì)角均為直角時(shí)，可延長(zhǎng)不相鄰的兩邊使之相交，構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形.

例5 如圖6，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC，AD=7，tanA=2，求CD的長(zhǎng).

【解析】分別延長(zhǎng)DC、AB相交于點(diǎn)E，則由題意知：直角三角形△ADE和△CBE的兩條直角邊之比都是1∶2. 設(shè)AB=BC=k，則可得BE=2k，AE=3k，CE=k，DE=14. 進(jìn)一步，可在Rt△ADE中利用勾股定理，得到關(guān)于k的方程，進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng).

（作者單位：蘇州市立達(dá)中學(xué)校）

在解決許多幾何計(jì)算問(wèn)題時(shí)，“解直角三角形”的思想常常會(huì)被應(yīng)用，即考慮將所求元素置于某直角三角形中，通過(guò)解直角三角形的方法將它們求出. 在此過(guò)程中，常常需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，才能構(gòu)造出想要的直角三角形. 現(xiàn)就常用的添加輔助線的方法作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹：

一、 作三角形的高

若三角形的內(nèi)角（或外角）中有特殊角時(shí)，則可過(guò)非特殊角的頂點(diǎn)作三角形的高，構(gòu)造出含特殊角的直角三角形.

例1 如圖1，某公園計(jì)劃在一塊三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知AB=20 m，AC=30 m，∠A=150°，若這種草皮每平方米售價(jià)為a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要（ ）元.

A. 450a B. 300a

C. 225a D. 150a

【解析】本題的關(guān)鍵是求△ABC的面積，可選AB作為底，過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高，如圖2. 在Rt△ADC中，已知一邊一角（AC=30 m，∠DAC=30°），便可通過(guò)解直角三角形求出高CD，進(jìn)而求出△ABC的面積.

二、 作梯形的雙高線

若梯形的內(nèi)角中有特殊角時(shí)，一般可作梯形的雙高，可構(gòu)造出兩個(gè)含特殊角的直角三角形以及一個(gè)矩形.

例2 如圖3，有一條人工河，河的兩岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排間隔為50 m的彩燈柱C、D、E…，某人在河岸MN的A處測(cè)得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175 m到達(dá)B處，測(cè)得∠CBN=45°，求這條河的寬度. （參考數(shù)據(jù)：sin21°≈，tan21°≈）

【解析】如圖3，分別過(guò)點(diǎn)A、C作AS⊥PQ、CT⊥BN，構(gòu)造出含有21°、45°的直角三角形. 設(shè)出河寬，利用相應(yīng)的三角函數(shù)表示出SD、BT的長(zhǎng)，利用等量關(guān)系SC=AT，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入，即可求得河寬.

三、 連接特殊四邊形的對(duì)角線

例3 公園里有一塊形如圖4中四邊形ABCD的草地，測(cè)得BC=CD=10 m，∠B=∠C=120°，∠A=45°. 請(qǐng)你求出這塊草地的面積.

【解析】若連接BD，則四邊形ABCD被分割成等腰△BCD和△ABD，通過(guò)計(jì)算∠ABD的大小，可以發(fā)現(xiàn)△ABD是一個(gè)等腰直角三角形，這樣便很容易求出四邊形ABCD的面積.

四、 延長(zhǎng)四邊形不相鄰的兩邊

若四邊形中相鄰的兩角互余時(shí)，可延長(zhǎng)不相鄰的兩邊使之相交，構(gòu)造出相應(yīng)的直角三角形.

例4 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=1，∠A=30°，∠B=60°，四邊形ABCD的面積為5，求AD的長(zhǎng).

【解析】顯然在四邊形ABCD中，有特殊角∠A和∠B，且它們互余，于是延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，可得Rt△AEB，進(jìn)一步可求出AE、BE的長(zhǎng). 最后設(shè)AD=x，通過(guò)四邊形ABCD的面積為5，建立關(guān)于x的方程，從而得解.

若四邊形中有一對(duì)對(duì)角均為直角時(shí)，可延長(zhǎng)不相鄰的兩邊使之相交，構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形.

例5 如圖6，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC，AD=7，tanA=2，求CD的長(zhǎng).

【解析】分別延長(zhǎng)DC、AB相交于點(diǎn)E，則由題意知：直角三角形△ADE和△CBE的兩條直角邊之比都是1∶2. 設(shè)AB=BC=k，則可得BE=2k，AE=3k，CE=k，DE=14. 進(jìn)一步，可在Rt△ADE中利用勾股定理，得到關(guān)于k的方程，進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng).

（作者單位：蘇州市立達(dá)中學(xué)校）

在解決許多幾何計(jì)算問(wèn)題時(shí)，“解直角三角形”的思想常常會(huì)被應(yīng)用，即考慮將所求元素置于某直角三角形中，通過(guò)解直角三角形的方法將它們求出. 在此過(guò)程中，常常需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，才能構(gòu)造出想要的直角三角形. 現(xiàn)就常用的添加輔助線的方法作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹：

一、 作三角形的高

若三角形的內(nèi)角（或外角）中有特殊角時(shí)，則可過(guò)非特殊角的頂點(diǎn)作三角形的高，構(gòu)造出含特殊角的直角三角形.

例1 如圖1，某公園計(jì)劃在一塊三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知AB=20 m，AC=30 m，∠A=150°，若這種草皮每平方米售價(jià)為a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要（ ）元.

A. 450a B. 300a

C. 225a D. 150a

【解析】本題的關(guān)鍵是求△ABC的面積，可選AB作為底，過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高，如圖2. 在Rt△ADC中，已知一邊一角（AC=30 m，∠DAC=30°），便可通過(guò)解直角三角形求出高CD，進(jìn)而求出△ABC的面積.

二、 作梯形的雙高線

若梯形的內(nèi)角中有特殊角時(shí)，一般可作梯形的雙高，可構(gòu)造出兩個(gè)含特殊角的直角三角形以及一個(gè)矩形.

例2 如圖3，有一條人工河，河的兩岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排間隔為50 m的彩燈柱C、D、E…，某人在河岸MN的A處測(cè)得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175 m到達(dá)B處，測(cè)得∠CBN=45°，求這條河的寬度. （參考數(shù)據(jù)：sin21°≈，tan21°≈）

【解析】如圖3，分別過(guò)點(diǎn)A、C作AS⊥PQ、CT⊥BN，構(gòu)造出含有21°、45°的直角三角形. 設(shè)出河寬，利用相應(yīng)的三角函數(shù)表示出SD、BT的長(zhǎng)，利用等量關(guān)系SC=AT，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入，即可求得河寬.

三、 連接特殊四邊形的對(duì)角線

例3 公園里有一塊形如圖4中四邊形ABCD的草地，測(cè)得BC=CD=10 m，∠B=∠C=120°，∠A=45°. 請(qǐng)你求出這塊草地的面積.

【解析】若連接BD，則四邊形ABCD被分割成等腰△BCD和△ABD，通過(guò)計(jì)算∠ABD的大小，可以發(fā)現(xiàn)△ABD是一個(gè)等腰直角三角形，這樣便很容易求出四邊形ABCD的面積.

四、 延長(zhǎng)四邊形不相鄰的兩邊

若四邊形中相鄰的兩角互余時(shí)，可延長(zhǎng)不相鄰的兩邊使之相交，構(gòu)造出相應(yīng)的直角三角形.

例4 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=1，∠A=30°，∠B=60°，四邊形ABCD的面積為5，求AD的長(zhǎng).

【解析】顯然在四邊形ABCD中，有特殊角∠A和∠B，且它們互余，于是延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，可得Rt△AEB，進(jìn)一步可求出AE、BE的長(zhǎng). 最后設(shè)AD=x，通過(guò)四邊形ABCD的面積為5，建立關(guān)于x的方程，從而得解.

若四邊形中有一對(duì)對(duì)角均為直角時(shí)，可延長(zhǎng)不相鄰的兩邊使之相交，構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形.

例5 如圖6，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC，AD=7，tanA=2，求CD的長(zhǎng).

【解析】分別延長(zhǎng)DC、AB相交于點(diǎn)E，則由題意知：直角三角形△ADE和△CBE的兩條直角邊之比都是1∶2. 設(shè)AB=BC=k，則可得BE=2k，AE=3k，CE=k，DE=14. 進(jìn)一步，可在Rt△ADE中利用勾股定理，得到關(guān)于k的方程，進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng).

（作者單位：蘇州市立達(dá)中學(xué)校）