趙若愚，方喜峰，張勝文，汪通悅，劉遠偉

(江蘇科技大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212003)

交叉桿Stewart并聯(lián)機構(gòu)靜剛度分析和設(shè)計

趙若愚，方喜峰，張勝文，汪通悅，劉遠偉

(江蘇科技大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212003)

并聯(lián)機構(gòu)應(yīng)用于數(shù)控加工設(shè)備時要求具有很高的剛度，交叉桿機構(gòu)將原有Stewart機構(gòu)的3對驅(qū)動桿交錯分布，使得其在運動過程中可以平均分配驅(qū)動桿的伸長量。為了驗證該型機構(gòu)的剛度性能，采用羅德里格斯參數(shù)方法構(gòu)建了交叉桿并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣，推導(dǎo)出該型機構(gòu)的剛度計算公式，分析了其在不同位置時的最小剛度和兩個方向的單項剛度，并給出了其在工作空間中的分布規(guī)律。通過與傳統(tǒng)Stewart構(gòu)型的對比分析得出交叉桿并聯(lián)機構(gòu)的機構(gòu)特點與設(shè)計優(yōu)勢，為這種機構(gòu)的應(yīng)用和開發(fā)提供了理論依據(jù)。

并聯(lián)機構(gòu);靜剛度;雅克比矩陣;羅德里格斯參數(shù)

6自由度Stewart型并聯(lián)機構(gòu)由于兼具承載力強與高速輕質(zhì)的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于各種運動模擬設(shè)備中，近年來又被應(yīng)用于數(shù)控加工設(shè)備的研制之中。為了滿足數(shù)控機床高速重載的需求，以結(jié)構(gòu)剛度、靈巧性及奇異性分析為基礎(chǔ)的運動性能分析成為了機床設(shè)計中的一個研究重點［1］。交叉桿并聯(lián)機構(gòu)是平面平臺型Stewart并聯(lián)機構(gòu)的改進形式，其動平臺采用上下雙層結(jié)構(gòu)，6個頂點交叉布置，在犧牲了部分工作空間的前提下，可以在運動過程中平均分配各驅(qū)動桿的伸長量，以達到增強結(jié)構(gòu)剛度的目的。國內(nèi)外諸多學(xué)者對機床靜剛度作了大量的研究。GOSSELIN等［2］采用彈簧單元描述了虛擬鉸鏈的變形，建立了6自由度并聯(lián)機構(gòu)的剛?cè)狁詈响o剛度矩陣模型。PASHKEVICH等［3］在研究了6維彈簧虛擬鉸鏈的建模方法并計算了幾種典型過約束機構(gòu)的結(jié)構(gòu)剛度。AGINAGA等［4］以6-RUS并聯(lián)機構(gòu)為對象研究了奇異性軌跡與機床剛度的關(guān)系。PORTMAN等［5］采用共線剛度值的概念描述了含有奇異性軌跡的Gough-Stewart機構(gòu)的靜剛度，測定出了一定剛度要求下的機床工作空間。在國內(nèi)，李育文等［6］考慮了并聯(lián)機床支鏈與機架的變形，采用有限元法分析了6-UPS并聯(lián)機床的靜剛度并進行了實驗驗證。韓書葵等［7］采用螺旋理論推導(dǎo)出了4自由度并聯(lián)機器人的剛度計算公式并進行了分析。王友漁、汪滿新等［8－9］在少自由度并聯(lián)機床的剛度研究上做了大量工作，建立了Tricept、Bicept等機器人的剛度模型。

文中采用羅德里格斯參數(shù)構(gòu)造出機構(gòu)的雅克比矩陣，推導(dǎo)出并聯(lián)機構(gòu)一般剛度系數(shù)和各單項剛度系數(shù)的關(guān)系式，對比分析了交叉桿并聯(lián)機構(gòu)及傳統(tǒng)Stewart機構(gòu)的最小剛度、最大剛度和單向剛度，顯示出兩種結(jié)構(gòu)不同的特點與優(yōu)勢，對該型機構(gòu)的設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義。

1 并聯(lián)機構(gòu)的雅克比矩陣

交叉桿型并聯(lián)機床上定義兩個坐標(biāo)系，動坐標(biāo)系即工具坐標(biāo)系OA-xAyAzA固定在動平臺上，坐標(biāo)原點OA在動平臺下層幾何設(shè)計中心上;靜坐標(biāo)系即基礎(chǔ)坐標(biāo)系OB-xByBzB固定在定平臺上，坐標(biāo)原點OB在定平臺幾何設(shè)計中心。其實物圖與結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 交叉桿型并聯(lián)機床

任意一對頂點之間的連桿矢量可以表示為

式中:lk為桿的長度;

ek為桿的方向單位矢量;

ak為動平臺頂點在動坐標(biāo)系中的矢量，表示ak=(ax，kay，kaz，k)T，k=1，2，…，6;

bk為定平臺頂點在靜坐標(biāo)系中的矢量，表示為bk=(bx，kby，k0)T，k=1，2，…，6。

矢量P=(PxPyPz)T描述動平臺參考點在靜坐標(biāo)系的位置矢量，動平臺的姿態(tài)矩陣采用羅德里格斯矩陣的表示方式。Sx、Sy、Sz為3個獨立的羅德里格斯參數(shù)，旋轉(zhuǎn)矩陣R可以表示為R=［I－S］－1［I+S］，式中，I是3階單位矩陣，S是由3個獨立參數(shù)表示的反對稱矩陣，其表達式為

將式 (2)代入旋轉(zhuǎn)矩陣之中，得到由羅德里格斯參數(shù)表示的旋轉(zhuǎn)矩陣，其表達式為

將式 (1)兩邊取時間的導(dǎo)數(shù)，等式左邊即為驅(qū)動桿的輸入速度;定義一個速度旋量Vk=［v，ω］，則各驅(qū)動桿速度與動平臺位置速度的關(guān)系為

其中J即為運動雅克比矩陣，可以表示為

式中:ei為各驅(qū)動桿速度沿其運動方向的單位矢量，表示為(bi－Rai)/‖bi－Rai‖。

2 并聯(lián)機構(gòu)的剛度系數(shù)

2.1 一般剛度系數(shù)

假設(shè)并聯(lián)機構(gòu)的動、靜平臺皆為剛體，只考慮各運動分支的關(guān)節(jié)剛度，根據(jù)胡克定律，可以得到某一驅(qū)動桿上，微小力變量與關(guān)節(jié)變化量的關(guān)系為

將所有驅(qū)動桿上的變化量集合為一個整體，上式又可以表示為

其中:ki是由各運動分支剛度系數(shù)組成的對角矩陣，將動平臺運動速度和各驅(qū)動桿運動速度的映射關(guān)系Δq=J·Δp代入式 (7)，可以得到

考慮在靜力平衡時，動平臺受力與各運動分支間的受力關(guān)系

將式(8)與式(9)相結(jié)合，即得到動平臺受力與其運動變量之間的關(guān)系

令K=JTkiJ，K即是并聯(lián)機構(gòu)的剛度矩陣。

由于ki為一個對角矩陣，再根據(jù)雅克比矩陣的性質(zhì)，可以知道機構(gòu)的剛度矩陣是一個實Hermite矩陣，根據(jù)正規(guī)陣的性質(zhì)可知，存在一個標(biāo)準(zhǔn)正交的矩陣V，使得K可以分解為

其中，Λ=diag［λ1，λ2，…，λ6］，是剛度矩陣的6個特征值，將其排列為一個升序序列，表示為

相應(yīng)地，V=［v1，v2，…，v6］表示為對應(yīng)于各特征值的特征向量。其物理意義可以表示為當(dāng)有一個沿著v1方向的力施加在動平臺上，其在空間上會產(chǎn)生一個沿著v1方向的運動旋量。由于τ和Δp在形式上表現(xiàn)為6維向量，根據(jù)KHASAWNEH［10］的方法將剛度系數(shù)表示為兩個向量模長的比值

根據(jù)上述公式，即可得到并聯(lián)機構(gòu)在空間中的最小和最大剛度系數(shù)及其對應(yīng)的運動旋量。

2.2 單向剛度系數(shù)

由一般剛度系數(shù)的推導(dǎo)可以看出，作用在動平臺上的任意一個力旋量都會產(chǎn)生唯一的運動旋量與之對應(yīng)。因此，將并聯(lián)機構(gòu)剛度矩陣的特征向量矩陣看作是空間的一組基，則力旋量作用于動平臺上產(chǎn)生的微小運動旋量都可以表示為該組基上坐標(biāo)與特征向量的線性組合，即為

再根據(jù)公式 (10)，該力旋量可以表示為

取力旋量與運動旋量的內(nèi)積，得到

將式(16)和式(17)代入到式(13)中即可得到單向剛度系數(shù)S'的計算公式如下

3 機構(gòu)的剛度仿真與對比分析

表1是交叉桿并聯(lián)機床的基本參數(shù)，考慮驅(qū)動桿及鉸鏈等材料均為鋼，選取材料彈性模量為E=200 GPa，驅(qū)動桿的截面尺寸半徑為52.5 mm，初始位置時靜平臺中心到動平臺中心距離Zp=900 mm，計算得到兩組桿長L1=1 013 mm、L2=977 mm。

表1 動、靜平臺頂點坐標(biāo) (交叉桿機構(gòu))

根據(jù)圖1所示動、靜平臺分為內(nèi)外兩圈，靜平臺外圈半徑Rb=643.5 mm，動平臺外圈半徑為Ra=405 mm。將其作為一般Stewart并聯(lián)機構(gòu)的動、靜平臺半徑，可以得到該機構(gòu)動、靜平臺的頂點坐標(biāo)如表2所示。

表2 動、靜平臺頂點坐標(biāo) (一般Stewart機構(gòu))

圖2表示交叉桿并聯(lián)機構(gòu)以及一般Stewart機構(gòu)動平臺在Z=900 mm平面上 (相對于靜坐標(biāo)系)的最小剛度曲線圖。圖4、5顯示了兩個機構(gòu)在x、y兩個單向的剛度系數(shù)。通過計算結(jié)果可以看出，兩種機構(gòu)的剛度分布曲線趨勢較為相似，但交叉桿型機構(gòu)的在最小剛度及兩個單項剛度的剛度系數(shù)均高于一般Stewart機構(gòu)，驗證了其初始設(shè)計構(gòu)想。并且交叉桿型機構(gòu)在x、y兩方向的剛度系數(shù)值中心對稱性更好，不足之處在于其中出現(xiàn)了突變拐點，y方向的剛度變化波動較大。

圖2 最小剛度曲線圖

圖3 交叉桿構(gòu)型單項剛度曲線圖

圖4 Stewart構(gòu)型單項剛度曲線圖

表3 部分位姿下兩種機構(gòu)的剛度比較 105N/mm

表3給出了兩種機構(gòu)的動平臺在C1(φx=0，φy=0，φz=0，x=0，y=0，z=－900)，C2(φx= 0，φy=0，φz=0，x=－155，y=－155，z=－1 100)，C3(φx=10°，φy=－10°，φz=15°，x=0，y=0，z=－900)，C4(φx=10°，φy=－10°，φz=15°，x=－155，y=－155，z=－1 100)4種位姿下的最小剛度及x、y方向單項剛度系數(shù)，計算結(jié)果表明:交叉桿機構(gòu)在不同位置下的剛度更高，且x、y兩方向的剛度系數(shù)值較為接近，在工作空間中受位置及姿態(tài)變化的影響較小。

4 結(jié)論

(1)通過對交叉桿型并聯(lián)機構(gòu)與一般Stewart機構(gòu)的分析，可以看出兩者靜剛度系數(shù)隨坐標(biāo)值的變化具有相近似的變化趨勢，但交叉桿構(gòu)型的單項剛度系數(shù)的中心對稱性更好，在不同位姿下的剛度性能好于一般Stewart機構(gòu)。

(2)Stewart型并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度與其動靜平臺的鉸點位置選取有著密切的關(guān)系，其構(gòu)型設(shè)計及機構(gòu)參數(shù)優(yōu)化時需要考慮到工作空間中靜剛度隨位姿的變化。

［1］程世利，吳洪濤，王超群，等.平面平臺型Stewart并聯(lián)機構(gòu)的奇異性分析［J］.機械工程學(xué)報，2011，47(9):1－7.

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Analysis of Stiffness and Design for Stewart Parallel Mechanism of Cross Rods

ZHAO Ruoyu，F(xiàn)ANG Xifeng，ZHANG Shengwen，WANG Tongyue，LIU Yuanwei
(School of Mechanical Engineering of Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang Jiangsu 212003，China)

The high stiffness is required when the parallel mechanism is used in the machine tool.As three pairs of active rods in the manipulator are crossed，which is different from the original Stewart mechanism，the length of each rod are average distributed.In order to verify the stiffness performance of this parallel mechanism，Lodrigues parameters were used to build the Jacobian，and the expression of stiffness was given.The minimum stiffness and single stiffness in several different direction were described，and the stiffness distributions throughout the entire task workplace were given.The characteristics and advantages are shown through the comparative analysis，and the results offer the evidence for the design as well as the use of this type of parallel mechanism.

Parallel mechanism;Stiffness;Jacobian;Lodrigues parameters

TG502

A

1001－3881(2014)9－025－4

10.3969/j.issn.1001－3881.2014.09.007

2013－05－15

國家自然基金資助項目 (50375071);江蘇省重點實驗室開放基金資助項目 (HGDML-0809，CJ0905);江蘇省普通高校研究生創(chuàng)新計劃資助項目 (CXLX12_0686)

趙若愚 (1987—)，碩士，研究方向為并聯(lián)機構(gòu)與多體動力學(xué)。E－mail:roy.sikong@163.com。