徐 瑩,于立新

(煙臺大學數(shù)學與信息科學學院, 山東 煙臺 264005)

1 前言和主要結(jié)果

考慮如下一階擬線性雙曲型方程組

(1)

其中:(u,v,w)T是未知向量函數(shù),λi和fi(i=1,2,3)是適當光滑函數(shù), 且滿足

λ1(0,0,0)<0,λ2(0,0,0)<0,λ3(0,0,0)>0

(2)

和

fi(0,0,0)=0 (i=1,2,3).

(3)

給定如下邊界條件

x=0:w=h3(t),

(4)

(5)

對任何給定的初始條件

t=0: (u,v,w)=(u0(x),v0(x),w0(x)), 0≤x≤L

(6)

和終端條件

t=T: (u,v,w)=(u1(x),v1(x),w1(x)), 0≤x≤L,

(7)

可以利用文獻[1-2] 中的結(jié)果, 通過邊界上的3個控制hi(t) (i=1,2,3)實現(xiàn)雙側(cè)精確邊界能控性. 如果u,v和w在方程組(1)中具有適當?shù)鸟詈详P(guān)系, 就可進一步實現(xiàn)單側(cè)精確邊界能控性. 這里, 適當?shù)鸟詈详P(guān)系意味著方程組(1)中的第三個方程的右端項f3(u,v,w)實質(zhì)上依賴于v:

或者依賴于u:

(8)

定理1(x=L處的單側(cè)能控性) 假設(shè)λi,fi∈C1(i=1,2),λ3,f3∈C2, 且式(2),(3)成立. 進一步假設(shè)式(8)成立,且有

(9)

對任何給定的初始狀態(tài)(u0,v0,w0)和終端狀態(tài)(u1,v1,w1)均為C1[0,L]×C1[0,L]×C2[0,L]向量函數(shù), 其模充分小, 對任何邊界函數(shù)h3∈C2[0,T], 其C2模充分小, 使得在點 (t,x)=(0,0)和 (T,0)處的C1相容性條件分別成立, 則存在x=L處的邊界控制(h1,h2)∈C1[0,T]×C1[0,T], 其模充分小, 使得混合初邊值問題(1),(6)和(4),(5)在區(qū)域R(T)={(t,x)|0≤t≤T, 0≤x≤L}上存在唯一的半整體C1×C1×C2解(u,v,w)=(u(t,x),v(t,x),w(t,x)), 其模充分小, 且精確滿足終端條件(7).

類似地, 當方程組(1)的第一個方程的右端項f1(u,v,w)實質(zhì)上依賴于w:

(10)

或者依賴于w:

(11)

時, 我們可以實現(xiàn)具有少量控制的雙側(cè)精確邊界能控性.

定理2 (具少量控制的雙側(cè)能控性) 假設(shè)λi,fi∈C1(i=2,3),λ1,f1∈C2, 且式(2),(3)成立. 進一步假設(shè)式(10)成立, 且

λ1≠λ2.

(12)

最后假設(shè)T>0 由式(9)定義. 對任何初始狀態(tài)(u0,v0,w0)和終端狀態(tài)(u1,v1,w1)均為C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]向量函數(shù), 其模充分小, 對任何邊界函數(shù)h1∈C2[0,T],其模充分小, 使得在點(t,x)=(0,L) 和 (T,L)處分別滿足C1相容性條件,則存在x=L處的邊界控制h2∈C1[0,T]和x=0 處的邊界控制h3∈C1[0,T],其模充分小,使得混合初邊值問題(1),(6)和(4),(5)在區(qū)域R(T)上存在唯一的半整體C2×C1×C1解(u,v,w)=(u(t,x),v(t,x),w(t,x)),其模充分小,且精確滿足終端條件(7).

2 輔助方程組的研究

為了證明方程組(1)的精確邊界能控性,我們首先考慮如下二階擬線性雙曲型方程組

(13)

其中:(u,s)T是(t,x)的向量函數(shù);λ=λ(u,ux,ut,s),μ=μ(u,ux,ut,s),ν=ν(u,ux,ut,s),c=c(u,ux,ut,s)和fi(i=1,2)均為光滑函數(shù),且成立

λ(0,0,0,0)<0,ν(0,0,0,0)<0,μ(0,0,0,0)>0

(14)

和

fi(0,0,0,0)=0 (i=1,2).

(15)

給定初始條件

t=0:u=φ0(x),ut=φ0(x),s=ψ0(x), 0≤x≤L,

(16)

其中:(φ0,φ0,ψ0)是C2×C1×C1向量函數(shù).

在x=0處給定如下邊界條件

x=0:G1(u,ux,ut,s)=H1(t),

(17)

其中:G1和H1為C1函數(shù).更進一步,不失一般性,我們假設(shè)

G1(0,0,0,0)=0,

(18)

且有

(19)

類似地,在x=L處給定如下邊界條件

(20)

其中:Gi和Hi(i=2,3)為C1函數(shù).更進一步,不失一般性,我們假設(shè)

Gi(0,0,0,0)=0 (i=2,3)

(21)

和

(22)

為了得到混合初邊值問題(13),(16),(17)和(20)的精確能控性,用常規(guī)方法我們很容易得到如下半整體解的存在唯一性定理.

定理3 假設(shè)λ,μ,ν,c,fi(i=1,2),Gi和Hi(i=1,2,3)為C1函數(shù),(φ0,φ0,ψ0)是C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]向量函數(shù).進一步假設(shè)式(14),(15),(18),(19)和(21),(22)成立.最后假設(shè)在點(t,x)=(0,0)和(0,L)處的C2相容性條件分別成立.那么,對任何事先給定的可能相當大的T>0,范數(shù)‖(φ0,φ0,ψ0)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]和‖(H1,H2,H3)‖C1[0,T]×C1[0,T]×C1[0,T]適當小,前向混合初邊值問題(13),(16),(17)和(20)在區(qū)域R(T)上存在唯一的半整體C2×C1解(u,s)=(u(t,x),s(t,x)),其模充分小.

類似地,可以得到方程組(13)后向混合初邊值問題的半整體解的存在唯一性.

同時,利用[3]中的方法很容易得到如下單側(cè)精確能控性和具少量控制的雙側(cè)精確能控性結(jié)果.

定理4(x=L處的單側(cè)能控性) 假設(shè)λ,μ,ν,c,fi(i=1,2)和Gi(i=1,2,3)為C1函數(shù).進一步假設(shè)式(14),(15),(18),(19)和(21),(22)成立.最后假設(shè)

(23)

令

(24)

對任何給定的初始狀態(tài)(φ0,φ0,ψ0)和終端狀態(tài)(φ1,φ1,ψ1)均為C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]向量函數(shù),其模充分小,對任何給定的邊界函數(shù)H1∈C1[0,T],其C1充分小,使得在點(t,x)=(0,0)和(T,0)處分別滿足C2相容性條件,則存在x=L處的控制函數(shù)Hi∈C1[0,T](i=2,3),其C1模小,使得混合初邊值問題(13),(16),(17)和(20)在R(T)存在唯一的半整體C2×C1解(u,s)=(u(t,x),s(t,x)),其C2×C1模小,其精確滿足終端條件

t=T:u=φ1(x),ut=φ1(x),s=ψ1(x), 0≤x≤L.

(25)

定理5(具少量控制的雙側(cè)能控性) 假設(shè)λ,μ,ν,c,fi(i=1,2)和Gi(i=1,2,3)為C1函數(shù).進一步假設(shè)式(14)，(15)，(18),(19)和(21),(22)成立.最后假設(shè)

令T>0由式(24)定義.對任何給定的初始狀態(tài)(φ0,φ0,ψ0)和終端狀態(tài)(φ1,φ1,ψ1)均為C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]向量函數(shù),其模小,對任何給定的邊界函數(shù)H2∈C1[0,T],其C1模小,使得在點(t,x)=(0,0)和(T,0)處分別滿足C2相容性條件,則存在x=0處的邊界控制H1∈C1[0,T]和x=L處的邊界控制H3∈C1[0,T],其模小,使得混合初邊值問題(13)，(16)，(17)和(20)在R(T)存在唯一的C2×C1解(u,s)=(u(t,x),s(t,x)),其C2×C1模小,其精確滿足終端條件(25).

3 主要定理的證明

定理1的證明由式(8)并注意到式(3),方程組(1)的第三個方程在(u,w,wx,wt,v)=(0,0,0,0,0)的某個鄰域內(nèi)可被等價改寫為

u=U(w,wx,wt,v),

(26)

其中U∈C2且有

U(0,0,0,0)=0.

把式(26)代入方程組(1)的第一個方程可以得到

(27)

其中：

由(6)和方程組(1)的第三個方程,可以得到(w,v)的初始條件:

(28)

顯然,(φ0,φ0,ψ0)∈C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]且‖(φ0,φ0,ψ0)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]足夠小.

類似地,由于式(7),關(guān)于(w,v)的終端條件為

(29)

顯然,(φ1,φ1,ψ1)∈C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]且‖(φ1,φ1,ψ1)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]足夠小.

進一步,由(4),(5),關(guān)于(w,v)的邊界條件為

x=0:w=h3(t),

(30)

(31)

顯然,在點(t,x)=(0,0)和(0,T)的C2相容性條件成立.

因此,原來一階擬線性雙曲方程組的混合初邊值問題(1)和(4)～(7)的精確能控性問題被化成二階擬線性雙曲方程組的混合初邊值問題(26)和(27)～(30)的精確邊界能控性問題.

令

λ=λ1,ν=λ2,μ=λ3,u=w,s=v

和

易證式(19),(22)和(23)都成立.從而定理4中的假設(shè)條件都滿足.因此,在x=L處存在向量函數(shù)(h1,h2)∈C1[0,T]×C1[0,T],其‖(h1,h2)‖C1[0,T]×C1[0,T]模小,使得混合初邊值問題(27),(28)和(30),(31)在區(qū)域R(T)上存在唯一的半整體C2×C1解(w,v)=(w(t,x),v(t,x)),其C2×C1模小,且精確滿足終端條件(29).

令

u=u(t,x)=U(w(t,x),wx(t,x),wt(t,x),v(t,x)).

易證(u,v,w)=(u(t,x),v(t,x),w(t,x))是混合初邊值問題(1),(6)和(4),(5)在區(qū)域R(T)上的半整體C1×C1×C2解,且滿足終端條件(7).

定理2的證明由式(10)并注意到式(3),方程組(1)的第一個方程在(u,w,wx,wt,v)=(0,0,0,0,0)的某個鄰域內(nèi)可被等價改寫為

w=W(u,ux,ut,v)

(32)

其中:W∈C2且

W(0,0,0,0)=0.

將(32)代入(1)的第三個方程,有

(33)

其中:

由(6)和方程組(1)的第一個方程,可以得到(u,v)的初始條件:

(34)

顯然,(φ0,φ0,ψ0)∈C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]且‖(φ0,φ0,ψ0)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]足夠小.

類似地,由(7),關(guān)于(u,v)的終端條件為

(35)

顯然,(φ1,φ1,ψ1)∈C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]且‖(φ1,φ1,ψ1)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]足夠小.

進一步,由(4),(5),關(guān)于(u,v)的邊界條件為

從而,混合初邊值問題(1)和(4)～(7)的精確邊界能控性問題被轉(zhuǎn)化成混合初邊值問題(33)和(34)～(37)的精確邊界能控性問題.

令

λ=λ1,ν=λ2,μ=λ3,s=v,

和

易證式(19),(22)和(23)成立.在方程組(13)中,當λ-ν被μ-ν替代時,定理5中的所有假設(shè)條件都滿足.從而存在x=L處的控制函數(shù)h2∈C1[0,T]和x=0處的控制函數(shù)h3∈C1[0,T],使得混合初邊值問題(33)和(34)～(36)在R(T)上存在唯一的半整體C2×C1解(u,v)=(u(t,x),v(t,x)),其模充分小,且精確滿足(35).

令

w=w(t,x)=W(u(t,x),ux(t,x),ut(t,x),v(t,x)).

易證(u,v,w)=(u(t,x),v(t,x),w(t,x))是混合初邊值問題(1)和(6),(5)在R(T)上的半整體C2×C1×C1解,且精確滿足終端條件(7).

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